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01
点、直线和平面的投影
点、直线和平面的投影
两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。
直线对一个投影面的投影特性
一、直线的投影特性
A
B
●
●
●
●
a
b
直线垂直于投影面
投影重合为一点
积　聚　性
直线平行于投影面
投影反映线段实长
ab=AB
直线倾斜于投影面
投影比空间线段短
ab=ABcosα
●
●
A
B
●
●
a
b
α
A
M
B
●
a≡b≡m
●
●
●
a
a
a
b
b
b
●
●
●
●
●
●
2 直线的投影
点、直线和平面的投影
直线投影的基本特性
一般情况下， 直线的投影仍然为直线，特殊情况为一个点。
点、直线和平面的投影
二、 直线在三个投影面中的投影特性
投影面平行线
平行于某一投影面而
与其余两投影面倾斜
投影面垂直线
正平线（平行于Ｖ面）
侧平线（平行于Ｗ面）
水平线（平行于Ｈ面）
正垂线（垂直于Ｖ面）
侧垂线（垂直于Ｗ面）
铅垂线（垂直于Ｈ面）
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
统称特殊位置直线
垂直于某一投影面
点、直线和平面的投影
1、投影面平行线
水平线
正平线
侧平线
点、直线和平面的投影
b
a
a
b
a
b
b
a
a
b
b
a
① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，
并反映直线与另两投影面倾角的实大。
② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
水平线
侧平线
正平线
γ
投 影 特 性：
与H面的夹角:α 与V面的角:β
与W面的夹角: γ
实长
实长
实长
β
γ
α
α
β
b
a
a
a
b
b
点、直线和平面的投影
2、 投影面垂直线
铅垂线
正垂线
侧垂线
点、直线和平面的投影
反映线段实长。且垂直
于相应的投影轴。
铅垂线
正垂线
侧垂线
② 另外两个投影，
① 在其垂直的投影面上，
投影有积聚性。
投影特性:
●
c (d )
c
d
d
c
●
a
b
a(b)
a
b
●
e
f
e
f
e (f )
点、直线和平面的投影
3、 一般位置直线
点、直线和平面的投影
投影特性：
三个投影都缩短。即: 都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三根投影轴都倾斜。
a
b
b
a
b
a
点、直线和平面的投影
◆ 若点在直线上, 则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：　
◆若点的投影有一个不在直线的同名投影上， 则该点必不在此直线上。
点在直线上的判别方法：
AC/CB=ac/cb= a c / c b
A
B
C
V
H
b
c
c
b
a
a
定比定理
点、直线和平面的投影
1 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。
2 定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即
A C: C B = a c : c b= a c : c b = a c : c b
A
B
b
b
a
a
X
O
c
c
C
c
直线上的点具有两个特性：
点、直线和平面的投影
点C不在直线AB上
例1：判断点C是否在线段AB上。
a
b
c
a
b
c
①
c
②
a
b
c
a
b
●
点C在直线AB上
点、直线和平面的投影
例2：判断点K是否在线段AB上。
a
b
●
k
因k 不在a b 上，
故点K不在AB上。
应用定比定理
a
b
k
a
b
k
●
●
另一判断法
点、直线和平面的投影
例题3 已知点C 在线段AB上，求点C 的正面投影。
b
X
a
a
b
c
c
ac
cb
X
O
A
B
b
b
a
a
c
C
c
H
V
点、直线和平面的投影
16
两直线的相对位置
平行
相交
点、直线和平面的投影
交叉
垂直相交
两直线的相对位置
点、直线和平面的投影
空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉。
⒈ 两直线平行
投影特性：
空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。
a
V
H
c
b
c
d
A
B
C
D
b
d
a
点、直线和平面的投影
a
b
c
d
c
a
b
d
例1：判断图中两条直线是否平行。
对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。
AB//CD
①
点、直线和平面的投影
b
d
c
a
c
b
a
d
d
b
a
c
对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。
求出侧面投影后可知：
AB与CD不平行。
例2：判断图中两条直线是否平行。
②
求出侧面投影
如何判断？
点、直线和平面的投影
H
V
A
B
C
D
K
a
b
c
d
k
a
b
c
k
d
a
b
c
d
b
a
c
d
k
k
⒉ 两直线相交
判别方法：
若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。
交点是两直线的共有点
点、直线和平面的投影
●
●
c
a
b
b
a
c
d
k
k
d
例：过C点作水平线CD与AB相交。
先作正面投影
点、直线和平面的投影
d
b
a
a
b
c
d
c’
1 (2 )
3(4 )
⒊ 两直线交叉
投影特性：
★ 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点的投影规律。
★ “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。
●
●
Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。
为什么？
1
2
●
●
3
4
●
●
两直线相交吗？
点、直线和平面的投影
例题 判断两直线的相对位置
b
a
a
c
d
d
c
b
X
1
1 d
1 c
1
点、直线和平面的投影
判断两直线重影点的可见性
X
O
B
D
A
C
b
b
a
a
c
c
d
d
(3 )4
1(2)
4
3
3
4
1
2
1
2
判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。
点、直线和平面的投影
b
b
c
d
d
c
X
a
a
3 (4 )
3
4
1
2
1(2)
例题 判断两直线重影点的可见性
点、直线和平面的投影
小 结
★点与直线的投影特性，尤其是特殊位置
直线的投影特性。
★点与直线及两直线的相对位置的判断方
法及投影特性。
★定比定理。
重点掌握：
点、直线和平面的投影
一、各种位置直线的投影特性
⒈ 一般位置直线
三个投影与各投影轴都倾斜。
⒉ 投影面平行线
在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。
⒊ 投影面垂直线
在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。
点、直线和平面的投影
二、直线上的点
⒈ 点的投影在直线的同名投影上。
⒉ 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影
成定比——定比定理。
三、两直线的相对位置
⒈ 平行
⒉ 相交
⒊ 交叉
同名投影互相平行。
同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空
间一个点的投影规律。
同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点
的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投
影。
点、直线和平面的投影

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