资源简介

(共22张PPT)
第十七章　
静定结构的位移计算
知识目标：
理解虚功的概念
了解变形体系的虚功原理及位移计算的一般公式
掌握单位荷载法
熟练掌握图乘法
了解弹性结构的四个互等定理
能力目标：
能够建立虚拟状态
能够熟练运用单位荷载法计算静定结构在荷载作用下的位移
熟练掌握用图乘法计算梁和刚架在荷载作用下的位移
能够用单位荷载法计算静定结构在温度改变、制造误差、支座位移等因素作用下的位移
第十七章
虚功原理及虚功方程
第二节
结构位移概述
第一节
单位荷载法
第三节
温度改变、制造误差、支座位移引起的结构位移计算
第五节
弹性结构的互等定理
第六节
静定结构在荷载作用下的位移计算
第四节
第四节
　
静定结构在荷载作用下的位移计算
一、积分法
返回
下一页
上一页
1. 积分法计算公式
平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式为
(17-12)
式中：FNP、FSP、MP ——实际荷载作用下的结构内力；
、 、 ——虚设单位荷载单独作用下的结构内力；
EA、GA、EI——杆件的抗拉（压）刚度、抗剪刚度、抗弯刚度；
k——剪力不均匀分布系数。
这种通过积分运算计算结构位移的方法称为积分法。
一、积分法
返回
下一页
上一页
根据不同结构的受力特点，可得到各种不同结构的位移实用计算公式:
（4）拱 拱是曲杆结构，在不考虑曲率对结构位移的影响时，一般只须考虑弯矩对结构位移的影响，此时可用公式（17-13）计算拱的位移。
当拱轴线与压力线相近或计算扁平拱（f＜l/5）中的水平位移时，应同时考虑轴力和弯矩对结构位移的影响，此时拱的位移计算公式为：
（17-13）
（1）梁和刚架:
（2） 桁架：
（17-14）
（17-15）
（3）组合结构：
（17-16）
一、积分法
2. 用积分法计算梁、刚架在荷载作用下结构的位移
　（1）解题步骤
1）根据所求位移建立虚拟力状态。
2）分别列出两种状态下结构的弯矩方程。
3）将所列弯矩方程代入公式计算出指定位移。
（2）注意事项
1）在第二步列弯矩方程时一定要做到“三个一致”：
① 两种状态下的结构分段要一致；
② 两种状态下同一段的坐标原点选取要一致；
③ 两种状态下同一段的弯矩假设要一致。
2）若计算结果为正，则说明所求位移的实际方向与虚设单位力的方向一致；若计算结果为负，则说明所求位移的实际方向与虚设单位力的方向相反。
返回
下一页
上一页
一、积分法
返回
下一页
上一页
【例17-1】试计算如图17-12（a）所示简支梁中点C的竖向位移ΔCV。
解：（1） 虚拟状态建立如图17-12（b）所示
（2） 绘制实际状态受力图如图17-12（c）所示， FA=FB=ql/2 （↑）
画出虚拟状态受力图如图17-12（d）所示，由对称性可知 （↑）
（a）
实际状态
（b）
虚拟状态
(c)
(d)
图17-12
一、积分法
返回
下一页
上一页
兼顾两种状态可知应把梁分成AC和CB两端列弯矩方程：
AC段：取A点为坐标x1的原点
（0≤x1≤0.5l）； （0≤x1≤0.5l）
BC段：取B点为坐标x2的原点
（0≤x2≤0.5l）； （0≤x2≤0.5l）
（3） 将以上各式代入公式（17-13）进行积分运算，可求出C点的竖向位移：
（↓）
一、积分法
【例17-2】 计算图17-13（a）所示刚架A处的水平位移ΔAH、竖向位移ΔAV及转角θA以及A与B两截面的相对转角θA-B。已知q=12kN/m，l=4m，EI=150×103kN·m2。
解：为计算方便，列弯矩方程时规定使刚架内侧受拉的弯矩为正弯矩。
（1） 计算A点的水平位移ΔAH
建立虚拟状态（一）如图17-13（b）所示，
返回
下一页
上一页
AB段： ， （0≤x1≤l）；
BC段： ， （0≤x2＜l）；
（→）
一、积分法
（2）计算A点的竖向位移ΔAV
建立虚拟状态（二）如图17-13（c）所示
返回
下一页
上一页
AB段： ， （0≤x1≤l）；
BC段： ， （0≤x2＜l）；
(↓)
AB段： ， （0＜x1≤l）；
BC段： ， （0≤x2＜l）；
（3）计算A截面的转角θA
建立虚拟状态（三）如图17-13（d）所示
( )
一、积分法
　　（4）计算A与B两截面的相对转角θA-B
建立虚拟状态（四）如图17-13（e）所示。
返回
下一页
上一页
AB段： ， （0＜x1＜l）；
BC段： ， （0＜x2＜l）；
（a） （b） （c） （d） （e）
图17-13
返回
下一页
上一页
3. 用积分法计算桁架在荷载作用下的结构位移
一、积分法
解题步骤：
1）计算桁架结构在实际荷载作用下的杆件轴力FNP；
2）根据所求位移建立虚拟状态，计算结构在虚拟单位荷载作用下的杆件轴力；
3）代入公式（17-14）计算指定位移。
【例17-4】试计算如图17-15（a）所示桁架中∠DBE的改变量。设各杆的EA都相同 。
解：1. 计算桁架结构在实际荷载作用下的杆件轴力FNP：
（1）画出图17-15（a）所示桁架结构的受力图如图17-15（b）所示，由对称性可知：FAx=0 FAy=FC=F(↑)
（2）用结点法分别计算出如图17-15（a）所示结构中各杆的轴力：
FNP1=FNP7=F(拉) ，FNP2=FNP6=-1.414F(压) ，FNP3=FNP5=0 ，FNP4=-F(压)
一、积分法
（1）画出如图17-15（c）所示桁架结构的受力图如图17-15（d）所示，显然其支座反力都为零。
返回
下一页
上一页
（2）由零杆判断常识可知： ,
其余各杆的轴力分别为: （压）, （拉）。
（a）
实际状态
（b）
（c）
虚拟状态
（d）
图17-15
为清晰起见，计算桁架位移时常采用表格式，把上述计算结果填入表17-2。
一、积分法
返回
下一页
上一页
杆名 杆长 材料弹性模量 杆横截面面积 实际荷载作用下杆件轴力 虚拟状态下杆件轴力
AB 2a E A F 0
AD 1.4a E A -1.4F 0
BD 1.4a E A 0 -1/1.4a
DE 2a E A -F 1/a
BE 1.4a E A 0 -1/1.4a
CE 1.4a E A -1.4F 0
BC 2a E A F 0
表17-2 桁架结构位移计算相关参数一览表
（3）代入公式（17-14）计算指定位移
一、积分法
4. 用积分法计算组合结构在荷载作用下的位移
返回
下一页
上一页
【例17-5】已知EI为常数，EA=2EI/a2，试计算如图17-16（a）所示组合结构上C点的竖向位移ΔCV。
解：（1）建立虚拟状态如图17-16（c）所示
（2）拆开铰A、截断BD杆，选取横梁AC（包含部分BD杆）为研究对象，分别画出其在两种状态下的受力图如图17-16（b）、（d）所示，先计算出两种状态下BD杆的轴力和A支座的反力：
实际状态下：FAx=-2qa（←），FAy=0，FNP1=-2.828qa（压）；
虚拟状态下: （←）， （↓）， （压）。
然后再分别列出AC杆AB段和BC段在两种状态下的弯矩方程：
假设AC杆弯矩以下侧受拉为正，则有
AB段：以A点为坐标x1的原点， ， ， x1∈[0,a] ；
BC段：以C点为坐标x2的原点， , , x2∈[0,a] ；
一、积分法
（3）将上述计算结果代入公式（17-15）得
返回
下一页
上一页
（↓）
（a）
实际状态
（b）
（c）
虚拟状态
（d）
图17-16
二、图乘法
1. 图乘法
通过图形相乘来计算结构位移的方法称为图乘法。
2. 应用图乘法计算结构位移的前提条件：
（1）杆轴为直线；
（2）EI为常数；
（3）两个图形中至少有一个是直线图形。
一般情况下，梁和刚架在荷载作用下的位移计算都可以使用图乘法。
3. 公式
用图乘法计算结构位移的公式为:
（17-17）
返回
下一页
上一页
二、图乘法
返回
下一页
上一页
4. 注意事项
（1）必须符合使用图乘法的三个前提条件，也就是说：曲杆不能用图乘法，EI沿杆长连续变化的杆不能用图乘法，阶梯形杆分段后才能用图乘法。
（2）弯矩竖标yC必须取自不弯不折的直线图形。即曲线图形是不能取yC的，折线图形在转折处分段后才可以取yC。也就是说
① 若两个图形都是直线图形，则弯矩竖标yC取自哪个图形都可以；
② 若MP图为曲线图形， 图为折线，则应分段图乘；
③ 若两个图形都是折线图形，则必须分段图乘。
（3）当计算面积A的图形的形心C（点）与另一图形上弯矩竖标yC（直线）在杆轴的同一侧时，乘积A·yC取正号；反之取负号。即同正异负。
二、图乘法
返回
下一页
上一页
5. 图乘法计算结构位移的一般步骤
（1）绘制出结构在实际荷载作用下的弯矩图MP图；
（2）根据拟求位移虚设单位荷载，并绘制出其弯矩图；
（3）将两个弯矩图进行图乘，计算出拟求位移：
① 根据结构情况和两个弯矩图的图形形状情况，决定是否需要分段图乘，每段内的图形是否需要进行图形分解（分块）。
② 经过分段及图形分解后的每块图形都是简单图形，简单图形图乘的过程是：
1）图形分工，即决定在哪个图上计算弯矩竖标yC；
2）计算取面积的图形的面积，并确定其形心C的位置；
3）对应C点到另一图形上找yC的位置，并计算出yC值；
4）分别将各段的A、yC值代入公式（17-17）计算出拟求位移。
　　【例17-6】试计算如图17-26（a）所示悬臂梁自由端B的转角。
返回
下一页
上一页
解：（1）画出MP图如图17-26（b）所示；
（2）建立虚拟状态如图17-26（c）所示，画出 图如图17-26（d）所示；
（3）在MP图上取面积，则有A=Pl2/2，在 图上找竖标，则有yC=1
（ ）
（a）
实际状态
（c）
虚拟状态
（b）
MP图
图17-26
（d）
图
二、图乘法
　【例17-9】 试用图乘法计算如图17-29（a）所示悬臂刚架上C点的竖向位移ΔCV。设EI为常数。
返回
下一页
上一页
解：画出MP图如图17-29（b）所示。
在C点施加竖向单位力，建立虚拟状态如图17-29（c）所示，画出
图如图17-29（d）所示。
将图17-29（b）和图17-29（d）进行图乘计算得
）
（a）实际状态 （b）MP图（kN·m） （c）虚拟状态 （d） 图（m）
图17-29
二、图乘法
返回
下一页
上一页
【例17-12】已知EI为常数，EA=2EI/a2，试计算如图17-32（a）所示组合结构上C点的竖向位移ΔCV。
解：画出MP图如图17-32（b）所示，并求出FNP1=-2.828qa（压）
建立虚拟状态如图17-32（c）所示，画出 图如图17-32（d）所示，并求得 （压），该组合结构上C点的竖向位移为：
（↓）
（a）实际状态 （b）MP图 （c）虚拟状态 （d） 图
图17-32
二、图乘法

展开更多......

收起↑