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第十七章　
静定结构的位移计算
知识目标：
理解虚功的概念
了解变形体系的虚功原理及位移计算的一般公式
掌握单位荷载法
熟练掌握图乘法
了解弹性结构的四个互等定理
能力目标：
能够建立虚拟状态
能够熟练运用单位荷载法计算静定结构在荷载作用下的位移
熟练掌握用图乘法计算梁和刚架在荷载作用下的位移
能够用单位荷载法计算静定结构在温度改变、制造误差、支座位移等因素作用下的位移
第十七章
虚功原理及虚功方程
第二节
结构位移概述
第一节
单位荷载法
第三节
温度改变、制造误差、支座位移引起的结构位移计算
第五节
弹性结构的互等定理
第六节
静定结构在荷载作用下的位移计算
第四节
第一节
结构位移概述
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一、位移概述
　　任何结构在结构的建造和使用过程中都会产生应力和应变，因而发生变形和位移。变形是指结构尺寸及形状的变化，位移是指结构上各点位置的改变。显然，变形和位移之间的关系是：结构产生变形必伴随有位移的发生，结构发生位移不一定产生变形。
　　结构的位移有两大类：一类是线位移，指结构上各点沿直线方向移动的距离；另一类是角位移，指结构上各截面转动的角度。
　　结构在建造和使用过程中将会受到多种因素的影响而产生结构位移，常见的因素有：荷载作用、支座位移、制造误差、温度变化和材料的热胀冷缩等。
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二、计算结构位移的目的
　　1.刚度计算的需要
　　在结构设计中，不仅需要结构必须满足强度要求，而且还需要结构具有足够的刚度，即保证结构在使用过程中不致于因产生过大的变形而影响使用。计算结构的位移，从而为进行结构的刚度计算做好准备工作。
　　2.超静定结构计算的需要
　　位移计算是超静定结构计算的基础。
　　3.指导施工工作
　　在结构的制作、架设、养护等施工过程中，常需要预先知道结构变形后的位置，以便采取一定的施工措施，使结构符合设计要求。
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三、结构位移计算基础
　　在结构力学中，计算结构位移的理论基础是虚功原理。计算结构位移的方法是单位荷载法。
在计算结构位移时，为了使计算简便易行，我们通常采用如下的假定：
　　（1）结构的材料服从虎克定律，即应力与应变成线性关系。
　　（2）结构的变形很微小，不影响荷载的作用，即在建立平衡方程时，可以忽略结构的变形，仍然用结构变形前的原有几何尺寸；同时，由于变形微小，变形与位移成线性关系。
　　（3）结构各部分之间为理想联结，无需考虑摩擦力等的影响。
　　（4）当一直杆在杆端承受轴向力并因同时受有横向力作用产生弯曲变形，不考虑由于杆变形所引起的杆端轴向力对弯矩及弯曲变形的影响（稳定分析问题例外）。
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第二节
虚功原理及虚功方程
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一、功的概念及其计算
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　　功就是力的空间累积效应。我们定义：质点所受的力在质点的位移方向上的分量与位移大小的乘积称为功。这种定义的功是机械功。
　　如图17-3所示，质点M在任意力F作用下做曲线运动，将质点M走过的路线分成许多微小的弧段，力F在每一微小弧段上做的功称为元功，记为δW，
力F在全路程上所做的功等于元功之和，即
或
或
（17-3）
（17-4）
一、功的概念及其计算
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图17-3
　　功只有大小没有方向，是一个标量。功的大小取决于力和位移两个因素，在国际单位制中，功的单位是焦耳（J），即牛顿·米（N·m）。
二、实功和虚功
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　　1. 实功
　　实功是指力在其本身引起的位移上做的功。
　　2. 虚功
　　虚功是指力在其它因素引起的位移上所做的功。
　　如图17-6所示为一简支梁AB，首先在C点加力F1，梁产生变形如图中虚线AC1B所示，然后再在D点加力F2，梁又产生变形如图中虚线AC2B所示，此时C点有新的位移C1C2，记为Δ12。在C点产生新位移Δ12的过程中，力F1之值始终保持不变且作用点沿其本身方向发生了位移而做虚功，用W12表示：
（17-7）
二、实功和虚功
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图17-6
　　在虚功中，力与位移分别属于同一体系的两种彼此无关的状态，通常把力所属的状态称为力状态或第一状态，位移所属的状态称为位移状态或第二状态。
三、虚功原理
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　　1. 质点的虚功原理
　　对于一个在平衡力系作用下的质点，若给该质点沿任意方向一个虚位移，在此虚位移过程中，该力系所做的虚功必然等于零。即具有理想约束的质点在外力作用下处于平衡的充分和必要条件是：质点所受各力在任何虚位移过程中所做的虚功之和等于零。
　　2. 刚体的虚功原理
　　刚体在外力作用下处于平衡的充分和必要条件是：对于任意的虚位移，外力所做的虚功之和恒等于零。
三、虚功原理
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　　3. 变形体系的虚功原理
　　变形体系处于平衡的充分和必要条件是：对于任意的虚位移，体系上所有外力所做的虚功总和恒等于体系各截面所有内力在微段变形上所做的虚功总和，即外力虚功等于内力虚功（又叫变形虚功），用式子表示为
　　　　　　　　　W =V （17-8）
式中：W——变形体系的外力虚功；
　　　V——变形体系的内力虚功。
四、虚功方程
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　　公式（17-8）又称为变形体系的虚功方程。变形体系虚功方程的具体计算公式为：
式中： Fi——结构所受的荷载
　 Ri——结构所受的支座反力
　　　Δi——与Fi相应的位移
　　 ci——与Ri相应的支座位移
FN 、FS、M——结构中杆件横截面上的轴力、剪力、弯矩
du、γds、dθ——微段ds上截面相应的相对轴向变形、相对剪切变形、相对转角。
（17-9）
五、虚功原理的应用
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　　虚功原理可以用来解决以下两类问题：
　　1. 平衡问题
　　对于给定的力状态，可以虚设一个位移状态，利用虚功方程求解力状态中的未知力。此时的虚功原理代表平衡条件，称为虚位移原理。虚位移原理可陈述为：
　　具有双面、定常、理想约束的静止质点系，其继续保持静止的充分和必要条件是：所有主动力在质点系任何虚位移上的虚功之和等于零。
　　虚位移原理在理论上具有很重要的意义，它是分析力学的基础，其应用相当广泛，本书后面介绍的“机动法绘制影响线”利用的就是这一原理。
　　2. 几何问题
　　对于给定的位移状态，可以虚设一个力状态，利用虚功方程求解位移状态中的位移。此时的虚功原理代表几何方程，称为虚力原理，本章计算结构位移就是用的这一原理。
第三节
单位荷载法
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一、单位荷载法
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　　在所求位移处根据所求的位移类别施加相应的单位荷载，然后利用虚功原理（虚力原理）计算出所要计算的位移。这种通过虚设单位荷载计算结构位移的方法称为单位荷载法。
　　需要强调的是拟求的位移不一样，则所虚设的单位荷载就不一样，虚设的单位荷载一定要与拟求位移相对应，拟求位移与虚设单位荷载的对应关系如下：
　　1. 绝对线位移
　　拟求结构上一个点（横截面）沿某一指定方向的线位移，则应该在该点沿指定方向虚设一个单位集中力，指向假设。
一、单位荷载法
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　　2. 相对线位移
　　拟求结构上某指定两点的相对线位移，则应该在这两点沿该两点的连线方向虚设一对方向相反的单位集中力，指向假设。
　　3. 绝对角位移
　　拟求结构上一个点（横截面）的转角，则应该在该点虚设一个单位力偶，转向假设。
　　4. 相对角位移
　　拟求结构上某指定两点（横截面）的相对转角，则应该在这两点虚设一对反向的单位力偶，转向假设。
二、结构位移的计算公式
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（17-10）
（17-11）
　　用单位荷载法计算结构上某指定位移ΔKi的计算公式为：
或
图17-10
（a） （b）

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