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第十八章　力法
知识目标：
　　了解超静定结构的概念
　　掌握超静定次数的确定方法
　　理解力法的基本原理
　　掌握力法的计算方法和解题步骤，熟练掌握简单超静定结构在荷载作用下的内力计算
　　掌握对称性的利用
　　了解超静定结构的位移计算方法
能力目标：
　　能够正确判定超静定结构的超静定次数
　　能够正确建立力法的基本体系
　　熟练掌握超静定梁、超静定平面刚架在荷载作用下的内力图，特别是弯矩图的绘制
　　能够利用结构的对称性简化计算
　　能够计算超静定结构的位移
　　能够完成超静定结构最后内力图的校核工作
第十八章
力法的几个基本点
第二节
超静定结构概述
第一节
力法典型方程
第三节
荷载作用下各种超静定结构的力法计算
第四节
温度改变和支座位移时超静定结构的内力计算
第六节
对称性的利用
第五节
超静定结构的位移计算和最后内力图的校核
第七节
超静定结构与静定结构的比较
第八节
第三节　　力法典型方程
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对于次超静定结构，它具有n个多余约束，用力法计算时，去掉n个多余约束，得到力法基本结构，在解除多余约束处代之以相应的多余约束力，有n个多余约束力就可以写出n个已知的位移条件，根据n个已知的位移条件，就可以建立n个关于多余约束力的方程
（18-4）
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第三节　　力法典型方程
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当原结构在多余约束力作用处沿多余约束力方向上的位移都等于零时，即Δi=0时，则公式（18-4）成为
（18-5）
公式（18-4）及（18-5）就是力法方程的一般形式，解此方程组即可求出多余约束力Xi(i=1,2,…n)。这就是力法典型方程。
第三节　　力法典型方程
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在以上的方程组中，等号左侧从左上角到右下角（不包括最后一项）所引的对角线称为主对角线，位于主对角线上的系数δii (i=1,2,…n)称为主系数，主系数的物理意义是：当单位力单独作用于基本结构时引起的基本结构上Xi作用点处沿Xi方向的位移，主系数与外荷载无关，不随荷载而改变，是基本结构所固有的常数，且恒为正值；不在主对角线上的系数δij (i≠j)称为副系数，副系数的物理意义是：当单位力单独作用于基本结构时引起的基本结构上Xi作用点处沿Xi方向的位移，副系数与外荷载无关，不随荷载而改变，也是基本结构所固有的常数，其值可正、可负、可为零；等号左侧最后一项Δip称为自由项，自由项的物理意义是：基本结构在实际荷载作用下引起的基本结构上Xi作用点处沿Xi方向的位移，它与荷载有关，由作用在原结构上的实际荷载所确定，因此自由项又叫荷载项，其值可正、可负、可为零。
第三节　　力法典型方程
第四节　　荷载作用下各种超静定结构的力法计算
一、力法的解题步骤
　　 1. 确定超静定结构的超静定次数；
2. 选取力法基本结构，建立力法的基本体系；
3. 写出力法基本方程；
4. 计算力法方程中的系数和自由项；
5. 解方程或方程组，求出各多余约束力；
6. 按题意要求计算原结构的其它未知力（反力、内力），并绘制原结构的内力图。
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　 【例18-2】用力法计算如图18-12（a）所示连续梁，并绘制出弯矩图。EI=常数。
　 1. 超静定梁和超静定刚架的计算
解：（1）经分析可知原结构为一次超静定结构。
（2）去掉C处的可动铰支座，选取如图18-12（b）所示的外伸梁为基本结构，建立如图18-12（c）所示的基本体系。
（3）基本体系在荷载F和多余约束力X1共同作用下C点的竖向位移应等于零，根据此位移条件写出力法方程为
二、力法计算举例
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（4）计算系数和自由项
绘制出基本结构在荷载作用下的弯矩图即MP图，通常称之为荷载弯矩图，如图18-12（f）所示；绘制出基本结构在单位力作用下的弯矩图，通常称之为单位弯矩图，如图18-12（g）所示。
（5）解方程得
（6）根据叠加原理可知： ，据此绘出连续梁的最终弯矩图如图18-12（h）所示。
二、力法计算举例
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图18-12
（a）原结构 （b）基本结构 （c）基本体系
（d） （e） （f）MP图
（g） 图 （h）M图
二、力法计算举例
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　　【例18-3】试计算如图18-13（a）所示的超静定刚架，并绘制内力图。
　　 解：（1）经分析可知，原结构是二次超静定结构。
（2）去掉B处的两个多余约束，选取如图18-13（b）所示的悬臂刚架为基本结构，从而建立如图18-13（c）所示的力法基本体系。
　　（3）建立力法方程
（4）先分别绘制出基本结构的荷载弯矩图和单位弯矩图，如图18-13（d）、（e）、（f）所示。然后利用图乘法计算各系数和自由项，则有
二、力法计算举例
　　（5）将上述各系数和自由项代入力法方程，解方程组得X1=28kN（↑），X2=6kN（←）；
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（6）先根据叠加原理绘制出原结构的弯矩图如图18-13（g）所示；然后再根据弯矩图绘制出原结构的剪力图如图18-13（h）所示；最后再根据剪力图绘制出原结构的轴力图如图18-13（i）所示。
二、力法计算举例
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图18-13
（a）原结构 （b）基本结构 （c）基本体系 （d）MP 图（kN·m）（e） 图（m）
（f） 图（m） （g）M图（kN·m） （h）FS图（kN） （i）FN图（kN）
二、力法计算举例
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解：（1）此桁架为一次超静定结构
（2）选取基本结构、建立基本体系如图18-14（b）（c）所示。
2. 超静定桁架
【例18-4】设各杆的EA相同，试计算如图18-14（a）所示超静定桁架中全部杆件的内力。
（3）写出力法方程：δ11·X1+Δ1P=0
（4）计算方程中的系数和自由项
按静定桁架内力计算的方法分别计算出基本结构在实际荷载作用下各杆的轴力和基本结构在多余约束力为单位力时即 单独作用下各杆的轴力，计算结果如图18-14（d）、（e）所示。
二、力法计算举例
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（5）解方程得多余约束力 （拉）
（6）利用叠加原理可计算出原结构中各杆轴力，
FN=FNP+ ·X1 计算结果可列表表示，详见表18-1。
二、力法计算举例
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杆名 杆长（m） 杆件弹性模量 杆件横截面面积 FNP（kN） FN（kN）
AF 4 E A -80 0 -80
AC 5 E A 100 0 -100
FC 3 E A -30 0.75 20.625
FE 4 E A -120 1 -52.5
FD 5 E A 50 -1.25 -34.375
EC 5 E A 100 -1.25 15.625
CD 4 E A 0 1 67.5
ED 3 E A -60 0.75 -9.375
BD 5 E A 50 0 50
BE 4 E A -40 0 -40
表18-1 超静定桁架结构力法计算相关参数一览表
二、力法计算举例
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（a）原结构 （b）基本结构 （c）基本体系
（d）FNP图（kN） （e） 图
图18-14
二、力法计算举例
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3. 超静定组合结构
【例18-5】已知横梁AB的EI=2×104kN·m2，其余各杆的EA=2×105kN，试用力法计算如图18-15（a）所示超静定组合结构的内力。
（2）切断竖向链杆CD，并代之以多余约束力X1，得到如图18-15（b）所示的基本体系。
（3）写出力法方程：δ11·X1+Δ1P=0
解：（1）经分析可知，原结构为二次超静定结构。
（4）绘制基本结构在实际荷载作用下横梁AB的弯矩图，并计算各杆的轴力FNP，计算结果如图18-15（c）所示；绘制基本结构在单位力单独作用下横梁的弯矩图，并计算出各杆的轴力，计算结果如图18-15（d）所示。由位移计算公式可计算出力法方程中的系数和自由项
二、力法计算举例
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二、力法计算举例
（5）解方程得多余约束力　　　　　　　　　　　　　（压）
　　（6）计算原结构的内力
　　由叠加公式　　　　　　可绘制出横梁的弯矩图，由叠加公式　　　　　　　　　
　　　　　　　可计算出其余各杆的轴力。计算结果如图18-15（e）所示。
二、力法计算举例
图18-15
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二、力法计算举例
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4. 铰结排架
单层工业厂房通常采用排架结构，所谓排架结构是指由屋架（或屋面大梁）、柱和基础共同组成的结构。柱与基础之间的连接通常简化为刚性连接，屋架与柱顶的连接通常简化为铰链连接。排架有单跨或多跨、等高或不等高等多种形式。一单跨铰结排架及其相应的结构计算简图如图18-16（a）、（b）所示。
用力法计算铰结排架时，一般把链杆作为多余约束而切断，并代之以多余约束力，利用切口两侧截面相对线位移（即链杆两端柱顶的相对线位移）等于零的条件建立力法方程。
（a） （b）
图18-16
二、力法计算举例
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【例18-6】试分析如图18-17（a）所示铰结排架在风荷载作用下柱的内力。设I2=3I1。
解：（1）此排架是一次超静定结构。
（2）切断链杆代之以多余约束力X1，得到如图18-17（b）所示的力法基本体系。
（3）写出力法方程δ11·X1+Δ1P=0
（4）绘制出基本结构的荷载弯矩图和单位弯矩图如图18-17（c）、（d）所示。由于柱子的各段惯性矩不同，系数和自由项应分段计算，结果为
二、力法计算举例
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（5）多余约束力 （压）
（6）按公式 即可绘制出最后的弯矩图如图18-17（e）所示。
二、力法计算举例
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（a）原结构 （b）基本体系 （c）MP图（kN·m）
（d） 图（m） （e）M图（kN·m）
图18-17

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