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01
点、直线和平面的投影
点、直线和平面的投影
1 点的投影
§2 点在三面投影体系中的投影
§3 两点间的相对位置关系
§1 点在两面投影体系中的投影
本章重点提示：
　点在三投影体系中的投影规律及其投影图的作图方法。
　同时引导同学逐步培养起根据点的多面正投影图想象点在三维空间的位置和两点间相互关系
的空间分析和想象能力。
点、直线和平面的投影
1 点的投影
H
A
作图：过空间点A作投射线垂直于投影面H，投射线与H面的交点a为空间点A在H面上的投影。
a
§1.点在两面体系中的投影
一、点的单面投影
由空间点向选定的投影面进行投射，其投影是唯一的。
点、直线和平面的投影
1 点的投影
作图：因为过投影b的垂线上所有点(点B1、B2、…Bn）的投影都是b，所以已知点B的一个投影b是不能唯一确定空间点B的位置的。
H
b
B2
B1
B3
反之：由点的一个投影不能确定空间点的位置。
点、直线和平面的投影
1 点的投影
投影的可逆要求
工程上的图示法和图解法是有可逆要求的：即要求能根据空间几何元素和形体得到唯一确定的投影，也要求根据投影能唯一确定空间几何元素和形体的形状与位置。
显然，只有物体的一个投影是不能确定该物体的。必须进行补充条件，形成能满足可逆性要求的适用于工程技术上的投影图，增加投影面－多面正投影图。
P
a
c
b
A1
B1
C1
A2
B2
C2
点、直线和平面的投影
1 点的投影
为了根据点的投影确定点在空间的位置，可引入两个互相垂直的投影面V和H。
H
V
0X--投影轴（简称X轴）
O
X
二、两面体系的构成
H--水平投影面（简称水平面）
V--正立投影面（简称正面）
点、直线和平面的投影
1 点的投影
H
V
O
X
将空间点A放入两面投影体系中：
经过点A向H面作正投影得到投影a，则a称为点A的水平投影；
经过点A向V面作正投影得到投影a （规定表示符号），则a 称为点A的正面投影。
a
a
A
aX
三、点的两面投影图
1、空间模型图：
点、直线和平面的投影
1 点的投影
2、投影图：
规定V面固定不动，将H面绕OX轴向下旋转900与V面重合，同时去掉空间点A，即得到点A的两面投影图。
O
H
V
X
a
a
aX
O
H
V
X
a
a
aX
去掉投影面边框，得到简化投影图。
点、直线和平面的投影
1 点的投影
点的正面投影到OX轴的距离，反映该点到H面的距离；即a ax＝Aa
H
V
O
X
a
a
A
aX
a
O
H
V
X
a
aX
　点的正面投影和水平投影的连线（称为投影连线）一定垂直于OX轴。a a OX
点的水平投影到OX轴的距离，反映该点到V面的距离；即aax＝Aa
四、点的两面投影规律
　点的投影与空间位置关系
点、直线和平面的投影
1 点的投影
五、特殊点的两面投影
H
V
O
X
a'
b
A
b'
a
B
a
O
X
a'
b
b'
B
A
c
c
c
c
投影轴上的点：
点的两个投影落在OX轴上。
投影面内的点：
点的一个投影落在OX轴上
点的另一个投影与其本身重合。
点、直线和平面的投影
1 点的投影
§2.点在三面投影体系中的投影
H
V
w
三面投影体系是在H-V两面投影体系的基础上，再增加同时与H、V面垂直的W面，W面称为侧立投影面（简称侧面）。
　对于空间点仅用两个投影就能唯一确定其空间位置，但对于一个具体的物体而言，有时两面投影仍然不能反映其空间形状，这时就应考虑再增加一个投影面。
一、三面投影体系形成
点、直线和平面的投影
1 点的投影
三个投影面彼此相交的三条互相垂直的交线统称为投影轴。
H
V
W
三投影轴垂直相交于一点O，称为原点。
V和H的交线称为OX轴，简称X轴。
H和W的交线称为OY轴，简称Y轴。
V和W的交线称为OZ轴，简称Z轴。
X
O
Y
Z
点、直线和平面的投影
1 点的投影
将空间点A放入三面投影体系中：
经过点A分别向H、V、W面作正投影得a、a 、a ，则称为点A的水平投影、正面投影和侧面投影。
注意投影方向
H
V
W
X
O
Z
Y
A
a
a
a
二、点的三面投影图
点、直线和平面的投影
1 点的投影
投影图：
H
V
W
X
O
Z
Y
a
a
a
A
规定V面固定不动，将H面绕OX轴向下旋转900与V面重合，将W面绕OZ轴向右旋转900与V面重合，同时去掉空间点A，即得到点A的三面投影图。
H
a
a
a
V
W
X
O
Z
YW
YH
注意Y轴的位置
点、直线和平面的投影
1 点的投影
H
a
a
a
V
W
X
O
Z
YW
YH
H
V
W
X
O
Z
Y
a
a
a
A
aX
aX
aY
aZ
aZ
aYW
点的投影连线垂直于投影轴。即： a a OX a a OZ
三、点的三面投影规律
点的投影到投影轴的距离，反映该点到相应投影面的距离；即：
a ax＝ a ayw＝Aa
aax＝aaz＝Aa
a az＝aayw＝Aa
点、直线和平面的投影
分析：若已知一个点的两面投影，则该点的空间位置就已确定，因此其第三投影也唯一确定。
作图方法一：
aZ
a
a
X
O
Z
YW
YH
aX
a
(1)过a 作一水平线交OZ轴于az
（2）再其上量取一段距离，使它等于aax，即得到a 。
四、点的三面投影作图方法
例1：已知点A的水平投影和正面投影,求其侧面投影。
点、直线和平面的投影
作图方法二：
a
a
X
O
Z
YW
YH
aX
(1)过原点O作直角YHOYW的角平分线
（2）从点a引一水平线与角平分线相交
（3）再过交点作垂直于Ｙw轴的直线
（4）过a 作Z轴的垂线与垂直Ｙw轴的直线相交于a ，即为A的W面投影
a
点、直线和平面的投影
五、点的投影与坐标的关系
投影面与坐标面的关系：
H面－XOY坐标面
V面－XOZ坐标面
W面－YOZ坐标面
H
V
W
X
O
Z
Y
点的投影与坐标的关系：
点A到W的距离=x坐标
点A到V的距离=y坐标
点A到H的距离=z坐标
a
a
a
A
x
y
z
投影轴与坐标轴的关系：
坐标轴是有方向的。　
点、直线和平面的投影
例2：已知点A的坐标为(50, 30, 40)，
求其三面投影。
（2）点的任意两个投影包含了点的三个坐标，由此可以得到：根据点的三个坐标值和点的投影规律，就能作出该点的三面投影图。
X
O
Z
Y
a
a
a
A
x
y
z
分析：
（1）点的一个投影由其中的两个坐标所决定：
V面投影a 由x和z确定
H面投影a由x和y确定
W面投影a 由y和z确定
点、直线和平面的投影
　作图方法：
（1）画坐标轴，且分别在X、Y、Z轴上量取：
Oax=50 OayH =30 OaZ=40
X
O
Z
YW
YH
aX
aZ
aYH
点、直线和平面的投影
（2）根据点的投影规律：投影连线垂直于投影轴
分别过ax作OX轴的垂直线、过az作Z轴的垂直线,两垂直线的交点得点A的V面投影a ,
过ayH作OY轴的垂直线与a ax的延长线相交得点A的H面投影a
X
O
Z
YW
YH
aX
aZ
aYH
a
a
点、直线和平面的投影
（3）过原点O作∠YHOYW的角平分线
（4）延长ayH与平分线相交，再过交点作垂直于Ｙw轴的直线
（5）过a 作Z轴的垂线与垂直Ｙw轴的直线相交于a ，即为A的W面投影。
X
O
Z
YW
YH
aX
aZ
aYH
a
a
a
例4: 已知点A的坐标为（15，5，10），
画出点A的投影图及空间位置。
X
O
Z
YH
YW
a’
a
a”
V
H
W
X
Y
Z
O
45°
a
a”
A
a’
ax
az
ax
az
aY
aY
aY
点、直线和平面的投影
d”
X
Z
YH
YW
b’
b
b”
e”
e
e'
d’
d
g’
g”
c'
c
c”
g
例：根据点的两面投影,求第三投影。
O
点、直线和平面的投影
点、直线和平面的投影
§3.两点间的相对位置关系
1、根据它们在投影图中的各组同面投影来判断，即：
Y
H
V
W
a'
a
a"
A
X
b'
b
b"
B
Z
b'
b
b"
X
O
YW
YH
a'
a
a"
上
下
上
下
正面和侧面投影反映上下关系
正面和水平投影反映左右关系
水平和侧面投影反映前后关系
左
右
左
右
点、直线和平面的投影
§3.两点间的相对位置关系
2、通过比较两点的坐标（坐标差）来判断它们的相对位置，即：
YH
Y
H
V
W
a'
a
a"
A
x
y
z
b'
b
b"
X
b'
b
b"
B
Z
X
O
YW
a'
a
a"
x
y
z
Z
上
下
上
下
左
右
左
右
后
前
后
前
x坐标大的点在左方；
y坐标大的点在前方；
z坐标大的点在上方。
点、直线和平面的投影
例3：已知空间点A和空间点B的三面投影，
试判断A、B的相对位置。
分析：
因a'在b'上方，即：zA>zB, 故点A在点B的上方；
因a在b前方，即：yA>yB, 故点A在点B的前方；
因a在b左方，即：xA>xB, 故点A在点B的左方；
结果：点A在点B的左、前、上方。
YH
b'
b
b"
X
O
YW
a'
a
a"
x
y
z
Z
§3.两点间的相对位置关系
例4：根据投影图，判断两点的相对位置关系。
X
Z
YH
YW
O
d”
c”
c’
d’
e
f
f”
e”
a’
b’
a
b
g
g’
h’
h”
点、直线和平面的投影
点、直线和平面的投影
二、重影点及其投影的可见性
1、 重影点
当空间两点位于某一投影面的同一投射线上时，它们在该投影面上的投影重合成一个点，此两点称为对该投影面（对H、V、W面）的重影点。
a
b
c
(c ) d
d
C
D
a(b)
A
B
点A在点B的正上方，则两点A、B是对H面的重影点。
点D在点C的正前方，则两点C、D是对V面的重影点。
重影点必然有两对同名坐标值相等，而另一对坐标值不等。
§3.两点间的相对位置关系
点、直线和平面的投影
2、重影点投影可见性判断
判断方法：可见性判断与投影方向有关，并且要比较两点不相同的那个坐标，其中坐标大的可见，坐标小的不可见，不可见点的投影加上圆括号。
a
b
c
(c ) d
d
C
D
a(b)
A
B
§3.两点间的相对位置关系
点、直线和平面的投影
a
b
c
(c ) d
d
C
D
a(b)
A
B
a(b)
a
b
a
b
　对H面重影点：
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　从上向下观察
　A、B的x和y坐标相同，z坐标不等，因zA>zB，因此，a可见，b不可见应加括号。
点、直线和平面的投影
a
b
c
(c ) d
d
C
D
a(b)
A
B
d (c )
　对V面重影点：
c
d
d
c
　从前向后观察
　C、D的x和z坐标相同，y坐标不等，因yｄ>yｃ，因此， d 可见，c 不可见应加括号。
点、直线和平面的投影
　对W面重影点：
e (f )
f
e
e
f
F
E
e (f )
e
f
e
f
　从左向右观察
　E、F的y和z坐标相同，z坐标不等，因xE>xF，因此，e”可见，f”不可见应加括号。
点、直线和平面的投影
b
b
b
( )
YH
X
O
YW
Z
求点A的投影：利用点的三面投影规律
a
a
a
求点B的投影：利用重影点的三面投影规律
求点C的投影：利用重影点的三面投影规律。
c
c
c
例5：已知空间点A距离H面30mm，距离V面15mm，距离W面20mm，B点在A点的正上方10mm，C点在A点前方8mm，左方15mm，下方10mm，画出A、B、C三点的三面投影。
点、直线和平面的投影
例6：判断投影图中两点的可见性。
X
Z
YH
YW
O
a’
a”
b’
b”
（ ）
点、直线和平面的投影
例10：判断投影图中两点的可见性。
X
Z
YH
YW
O
d’
c
c’
d
（ ）
点、直线和平面的投影
１、点的单面投影作图及投影的可逆性要求
H
A
b
B2
B1
B3
a
小　　结
点、直线和平面的投影
2、两面投影体系和三面投影体系的形成：
　投影面：H V W
　投影轴：X Y Z
H
V
O
X
H
V
W
X
O
Z
Y
点、直线和平面的投影
3、点的三面正投影的形成及其投影规律:
　投影方向
　空间位置与投影的对应关系
H
V
W
X
O
Z
Y
A
a'
a
a"
H
a'
a
a"
V
W
X
O
Z
YW
YH
点、直线和平面的投影
4、掌握已知点的二面投影,求点的第三投影的两种作图方法
aZ
a'
a
X
O
Z
YW
YH
aX
a"
a'
a
X
O
Z
YW
YH
aX
a"
点、直线和平面的投影
5、投影与坐标的对应关系：掌握根据点的三个坐标值和点的投影规律，作出点的三面投影图的基本作图过程。
H
V
W
a'
a
a"
A
x
y
z
点、直线和平面的投影
6、由点的投影图想象出点的空间位置。
H
V
W
a'
a
a"
A
x
y
z
X
O
Z
YW
YH
aX
aZ
aYH
a
a'
a"
aYW
点、直线和平面的投影
7、掌握空间两点的相对位置关系及其判别方法
YH
Y
H
V
W
a'
a
a"
A
x
y
z
b'
b
b"
X
b'
b
b"
B
Z
X
O
YW
a'
a
a"
x
y
z
Z
上
下
上
下
左
右
左
右
后
前
后
前
点、直线和平面的投影
8、 掌握重影点的概念及其表示方式; 判断重影点可见性的方法。
a
b
c
(c )d
d
C
D
a(b)
A
B
a
b
a
b
a(b)

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