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(共33张PPT)
第十六章 静定平面桁架及组合结构
教学目标：
理解桁架的三条假定
了解桁架的组成特点及受力特点
了解桁架的分类情况
掌握结点法
掌握截面法
能够准确地对桁架进行分类
能够灵活运用结点法、截面法熟练计算静定平面桁架的内力
能够计算组合结构的内力
能力目标：
本单元内容
平面桁架的数解法
第二节
桁架的组成和分类
第一节
桁架外形与受力性能的比较
第三节
组合结构
第四节
第一节　桁架的组成和分类
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一、桁架的概念
　　桁架是由直杆组成，所有结点均为铰结点的结构。杆件轴线和外力均在同一平面内的桁架称为平面桁架。在平面桁架的计算中通常有三条假定：
　　（1）各杆均为直杆，且杆轴线通过铰的中心；
　　（2）杆与杆之间的连接均为无摩擦的理想铰；
　　（3）荷载只作用在结点上，各杆只承受轴力作用。
　　我们把满足上述三条假定的桁架称为理想桁架。理想桁架中各杆只承受轴力。
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一、桁架的概念
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　　如图16-1所示为一钢桁架桥的一片主桁架的计算简图。在上下水平平面内的杆件分别称为上弦杆和下弦杆；中间的杆件称为腹杆，其中腹杆又可分为竖杆和斜杆；两结点之间的距离称为节间距离；两支座之间的水平距离称为跨度；从支座连线到桁架最高结点之间的距离称为桁架高度。
图16-1
二、桁架的分类
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　　1.按照几何组成情况把桁架分为三种类型：
　　（1）简单桁架
　　由一个基本铰结三角形开始，依次增加二元体组成的桁架，称为简单桁架。
　　（2）联合桁架
　　由几个简单桁架按照一定的几何组成规则组成的桁架，称为联合桁架。
　　（3）复杂桁架
　　凡不属于前两类的桁架均称为复杂桁架。
　　2.按照外形特征把桁架分为平行弦桁架、抛物线形桁架、三角形桁架等类型。
第二节　平面桁架的数解法
　　求解桁架内力的方法通常有结点法、截面法以及两者的联合运用。
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一、结点法
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　　如果所截取的脱离体中只包含一个结点，其受力构成平面汇交力系，只需建立两个独立的平衡方程即可求出杆件内力的方法，称为结点法。在取出隔离体进行受力分析时，通常假定各杆受力为拉力，即背离结点向外，求出结果若为正值，说明杆件受拉，求出结果若为负值，说明杆件受压。
一、结点法
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　【例16-1】 试用结点法求图16-101（a）所示桁架结构中各杆件的内力。
图16-101
解：（1）以整体为研究对象，其受力图如图16-101（b）所示，计算支座反力：
得
（2）以结点为研究对象，其受力图如图16-101（c）所示，列平衡方程
一、结点法
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（3）以结点为研究对象，其受力图如图16-101（d）所示，列平衡方程
YAE 求出后，AE杆的内力NAE及水平分力XAE可由相似三角形的比例关系，如图16-101（e）、（f）所示，得到
由 得
（4）以结点E为研究对象，其受力图如图16-101（g）所示，列平衡方程
（5）以结点为研究对象，如图16-101（h）所示，列平衡方程
由相似三角形的比例关系得到
一、结点法
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　　【例16-2】 试用结点法求图16-12（a）所示桁架结构中指定杆件的内力。
图16-12
　　（2）以结点F为研究对象，画出其受力图如图16-12（c）所示，列平衡方程
一、结点法
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　　解：（1）以整体为研究对象，画出其受力图如图16-12（b）所示，计算支座反力：
　　（3）以结点H为研究对象，画出其受力图如图16-12（d）所示，列平衡方程
一、结点法
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　　（5）以结点E为研究对象，画出其受力图如图16-12（f）所示，列平衡方程
　　解得：
　　（4）以结点G为研究对象，画出其受力图如图16-12（e）所示，列平衡方程
　　解得： 　　　　　　，
一、结点法
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　　（6）以结点C为研究对象，画出其受力图如图16-12（g）所示，列平衡方程
　　　得
　　（7）以结点D为研究对象，画出其受力图如图16-12（h）所示，列平衡方程
　　　得　　　　　　　，
一、结点法
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　　桁架内力的计算技巧如下：
　　（1）如果一个结点只连接两根不共线的杆件，那么这两根杆件的内力必为零，如图16-13（a）所示。
　　（2）如果一个结点连接三根杆件，并且其中两根共线，那么第三根杆（又称为截面单杆）内力必为零，如图16-13（b）所示。
　　（3）如果一个结点连接的杆组成“K ”形，那么不共线的两杆的内力大小相等，正负号相反，共线的两杆内力不相等，如图16-13（c）所示。
　　（4）如果一个结点连接的杆组成“X”形，那么共线的两根杆的内力大小相等，正负号相反，如图16-13（d）所示。
一、结点法
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　　另外，为了简化计算，避免使用三角函数，经常需要把斜杆的轴力FN分解为水平分力FNx和竖向分力FNy（如图16-14a、b所示）。假设斜杆的长度为l，其水平和竖向投影长度分别lx和ly，则有相似三角形的比例关系可得：
FN /l= FNx /lx= FNy /ly
图16-14
图16-13
一、结点法
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　　【例16-3】 试标出图16-15（a）、（b）桁架中所有的零杆。
　　解：1、如图16-15（a）
所示，首先可以判断出分别
与结点B、F相连的两根链杆
内力为零，进而判断出剩余
零杆，结果标在图16-15（a）
中。
　　2、对于图16-15（b），
则以整体为研究对象，可求出
支反力，如图16-15（c）所示，
依据结点I 的平衡条件，可推
出FNIH=0，进而推出其它零杆，
结果标在图16-15（d）中。
图16-15
一、结点法
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　　在桁架结构中，我们把杆件轴力为零的杆统称为零杆。需要注意的是：零杆虽然不受力，但对于维持结构的几何不变性来说不是多余的，是不能去掉的。
　　对于简单桁架或当求所有结点的内力时，通常采用结点法。当用结点法计算杆件内力时，一般从只有两个未知力的结点开始，依次计算，通常情况下计算顺序与几何构造顺序相反。
二、截面法
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　　当所截取的脱离体中包含两个或两个以上结点，需要建立平面任意力系的平衡方程才能求出杆件内力的方法，称为截面法。
　　【例16-4】试用
截面法计算图16-16
（a）所示桁架中杆
1、2、3三杆的内力。
　　解：（1）以整
体为研究对象画受力
图，如图16-15（b）
所示，计算支反力：
图16-16
二、截面法
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　　（2）计算1、2、3杆的内力
　　用截面m－m截断1、2、3杆，取截面左侧为隔离体，画出其受力图如图16-16（c）所示，其中只有三个未知力FN1、FN2、FN3，因此可以利用隔离体的三个平衡方程求解。
二、截面法
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　　应用平衡方程求轴力时，应注意避免解联立方程。例如为了求未知力FN1，可取其它两个未知力FN2和FN3的交点C为矩心，列出力矩平衡方程。
　　同样，为了求未知力FN3，可取两个未知力FN1和FN2的交点H 为矩心，列出力矩平衡方程：
　　可得
　　最后求FN2，由投影方程
　　由相似三角形的比例关系可得
二、截面法
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　　（3）校核
　　仍以左侧隔离体为研究对象，∑Fy=17.5－10－7.5=0，故求解结果正确。
　　用截面法求解内力时，通常情况下所截断的未知轴力杆件数不应超过三个，这样，可列出平面任意力系的三个平衡方程求出三个未知轴力。当截断根数超过3根时，除一根杆外，其余三根杆件如果相交于一点或互相平行，如图16-17（a）和16-18（a）所示，仍可求出该杆的轴力。
　　如图16-17(b)所示，由整体平衡可求出结构的支座反力FG=1.5F，用m－m截面截断四根杆，取截面右侧部分为研究对象，画出其受力图如图16-17（c）所示，由∑MD=0，可求出杆4的轴力为FN4=2F。
二、截面法
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　　又如图16-18(b)所示，m－m截面截断四根杆，取上部隔离体为研究对象，由∑Fx=0，可得杆2的轴力FN2=0。
　　对于联合桁架或求某指定杆的内力时，通常采用截面法。
图16-18
图16-17
三、截面法和结点法的联合应用
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　　截面法和结点法各有所长，有时需要联合运用这两种方法才能顺利求解相关问题。
　　【例16-5】试联合运用截面法和结点法求图16-102（a）所示桁架中杆IH、MH两杆的内力。
　　解：
分析：我们观察发现结点处为“K”形桁架，用截面n－n 截断时，有四个未知力，看似无法求解，但是我们根据“K”形桁架的特点，可以得出NMH=-NMC，这样独立的四个未知量变成了三个，所以仍可利用平面任意力系平衡方程求解。具体求解过程如下。
（1）以整体为研究对象，画出其受力图如图16-102（b）所示，计算支反力：
　　
此结果也可由结构和荷载的对称性得到。
三、截面法和结点法的联合应用
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　 （2）计算杆的内力
用截面m-m截断IH、IM、MB、BC杆，取截面左侧为隔离体，画出其受力图如图16-102（c）所示，有四个未知力，以结点为矩心，列出力矩平衡方程：
　 （3）计算杆的内力
为了求解杆MH的内力，用截面n-n截断IH、MH、MC、BC杆，仍然以截面左侧部分为隔离体研究对象，画出其受力图如图16-102（d）所示。
可取两未知力NMC和NBC的交点C为矩心，列出力矩平衡方程：：
注意：“K”形桁架也可以全部采用结点法来分析，比如可从最外部结点J和F开始，依次利用结点法，另一半利用对称性求出，分析结果如图16-102（e）所示。通过该图，我们可以分析得到：“K”形桁架通常可用在桁架高度较大的结构中以减小斜支撑的长度，结间剪力被平分给上下两根对角支撑，一支撑受拉，另一支撑受压。
三、截面法和结点法的联合应用
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图16-102
三、截面法和结点法的联合应用
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　　【例16-6】试联合运用截面法和结点法求图16-103（a）所示桁架所有杆件的内力及支反力。
　　解：分析：由于在、、支承处有4个约束，以整体为研究对象，由于只能列出三个独立的静力平衡方程，不能求出所有的支座反力，但是通过观察，我们知道在支座处的水平支反力可以通过在轴方向的合力为零的平衡条件首先求出，从而打开本题求解的大门。
（1）以整体为研究对象，画出其受力图如图16-103（b）所示，计算支反力：
　 （2）用截面m-m截断FE、BC两根杆，并取左侧部分为研究对象，画出其受力图如图16-103（c）所示，列力矩平衡方程和投影方程如下：
　　
三、截面法和结点法的联合应用
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(3) 以结点B和结点F为研究对象，如图16-103（d）、（e）所示，可求出杆AF、AB、BF的内力。
(4) 以截面右侧为研究对象，画出其受力图如图16-103（f）所示，分别对C、D点取矩，可分别求出D、C处的支反力；再以结点C和结点E为研究对象，如图16-103（g）、（h）所示，可求出杆CD、CE、DE的内力。所有内力及支反力的计算结果如图16-103(i)所示。
三、截面法和结点法的联合应用
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图16-103
三、截面法和结点法的联合应用
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　　截面法和结点法各有所长，有时需要联合运用这两种方法才能顺利求解相关问题。
　　【例16-7】试联合运用截面法和结点法求图16-19（a）所示杆a、b、c三杆的内力。
　　解：（1）以整体为研究对象，画出其受力图如图16-19（b）所示，计算支反力：
　　由结构和荷载的对称性可知　　　，　　　　　　；
　　（2）求杆c的内力
　　用n－n截面截断杆a、b、c三根杆，并取左侧部分为研究对象，画出其受力图如图16-19（c）所示，对H点取矩，
解得
三、截面法和结点法的联合应用
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图16-19
三、截面法和结点法的联合应用
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　　（3）求杆a、b的内力
　　1）求杆a的内力
　　如图16-19（d）所示，以内力FNb和FNc的交点C为矩心，并将力FNa在G点进行正交分解，列力矩平衡方程：
解得　　　　　　　，由比例关系可得
　　2）求杆b的内力
　　如图16-19（c）所示，力FNa和力FNc的延长线相交于点I，点A到I的距离为x，由相似三角形的比例关系，则有1/2=8/(6+x) 解得x=10m，以点I为矩心，并将力FNb在C点进行正交分解，列力矩平衡方程：
三、截面法和结点法的联合应用
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解得　　　　　　，由比例关系可得
也可以用结点法求杆a、b的内力，计算过程如下：
　　首先，先以结点B为研究对象，画出其受力图如图16-19（e）所示，可求得
　　其次，再以结点A为研究对象，画出其受力图如图16-19（f）所示，可求得
　　最后，以结点H为研究对象，如图16-19（g）所示，列平衡方程：
　　解得：

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