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第十四章　静定梁和静定平面刚架
知识目标：
了解梁、刚架的组成特点及受力特点
了解梁、刚架的分类情况
了解梁、刚架内力图的画法
掌握梁、刚架内力图的规律
巩固截面法，熟练掌握梁、刚架的内力计算
掌握区段叠加法
能力目标：
能够迅速绘制出多跨静定梁的层次图
能够熟练运用截面法计算梁、刚架上各指定截面的内力
能够熟练地绘制梁、刚架的内力图，特别是弯矩图
第十四章
多跨静定梁
第二节
单跨静定梁
第一节
静定平面刚架
第三节
第一节　单跨静定梁
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一、单跨静定梁的形式
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　　在荷载作用下，杆件的轴线由直线变成曲线，这种变形称为弯曲变形。以弯曲变形为主要变形的非竖直杆件称为梁。如房屋建筑中的楼板梁、门窗过梁、阳台挑梁、楼梯斜梁，还有交通工程中的各种桥梁等。
　　1. 梁的分类情况
　　（1）按跨数把梁分为单跨梁和多跨梁
　　梁在两支座之间的部分称为跨，两支座之间的距离称为跨度。所谓单跨梁是指只用一个支座或两个支座支承的梁，如图14-1（a）、（b）所示；所谓多跨梁是指用两个以上支座支承的梁，如图14-1（c）、（d）所示。
一、单跨静定梁的形式
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　　（2）按计算方法把梁分为静定梁和超静定梁
　　所谓静定梁是指只用静力平衡方程就可求出全部反力和内力的梁，如图14-1（a）、（c）所示；所谓超静定梁是指只用静力平衡方程无法求出全部反力或内力的梁，如图14-1（b）、（d）所示。
图14-1
一、单跨静定梁的形式
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　　在力学研究中通常结合上述两种分类方式综合考虑把梁分为四大类型，分别是：单跨静定梁、单跨超静定梁、多跨静定梁、多跨超静定梁。
　　梁的其它分类方式还有：按梁的摆放方式把梁分为水平梁和斜梁两种，如图14-2所示；按梁轴线的形状把梁分为直梁、折梁和曲梁三种，如图14-3所示。
图14-2
图14-3
一、单跨静定梁的形式
　　2. 单跨静定梁的形式
　　单跨静定梁按支座情况可分为三种形式，分别是：悬臂梁、简支梁、外伸梁。
　　（1）悬臂梁
　　一端是固定端支座、另一端自由的梁称为悬臂梁，如图14-1（a）所示。
　　（2）简支梁
　　一端是固定铰支座、另一端是可动铰支座的梁称为简支梁，如图14-2（a）所示。
　　（3）外伸梁
　　梁身的一端或两端伸出支座的简支梁称为外伸梁（又叫伸臂梁），如图14-3（a）所示。
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二、支座反力和内力的计算
　　1. 支座反力的计算
　　要计算梁的支座反力，只须取全梁为隔离体，画出梁的受力图，利用平面一般力系的平衡方程即可确定支座反力的数值和实际方向。
　　2. 截面法
　　计算梁内力的基本方法是截面法，即在所求内力处用一截面将梁假想地切开，取截面任一侧的部分为隔离体，画出其受力图，隔离体在外力（荷载和支座反力）和截面内力的共同作用下处于平衡状态，利用静力平衡条件可以求得截面内力。梁的横截面上一般存在三种内力：轴力、剪力和弯矩。
梁内力的正负号规定：轴力为拉正压负；剪力以使脱离体顺时针转动为正，反之为负；弯矩以使梁产生下凸变形为正，反之为负。
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二、支座反力和内力的计算
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　　【例14-1】计算如图14-4（a）所示梁的支座反力及C右截面处的内力。
　　解：（1）计算梁的支座反力
　　选取梁AD为研究对象，画出其受力图如图14-4（b）所示。
图14-4
， 　　　　　　　 ， 　　　　　　　 （→）
，　　　　　　　　　　　　　　，　　　　（↑）
二、支座反力和内力的计算
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，　　　　　　　　　　　　　　，　　　（↑）
　　（2）计算C右截面处的内力
　　在C点右侧把梁切开，取左侧部分为研究对象，画出其受力图如图14-4（c）所示。
， 　　　　　　 ， 　　　　　　 （压）
，　　　　　　 ，
，　　　　　　 ，
二、支座反力和内力的计算
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　　3. 直接观察法
　　通过截面法的计算，可以总结出梁截面上的内力与作用在梁上的外力之间存在着下列关系：
　　（1）梁内某截面上的轴力，在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力沿梁轴线方向投影的代数和。
　　计算时注意：背离截面的外力在梁轴线方向投影取正号，反之取负号。
　　（2）梁上任一截面的剪力，在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力沿截面方向投影的代数和。
　　计算时注意：当截面左侧外力沿截面方向投影向上或截面右侧外力沿截面方向投影向下时取正号，反之取负号。概括为“左上右下剪力为正”。
二、支座反力和内力的计算
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　　（3）梁上任一截面的弯矩，在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力对该截面形心之矩的代数和。
　　计算时注意：当截面左侧外力对截面形心产生顺时针力矩或截面右侧外力对截面形心产生逆时针力矩时取正号，反之取负号。概括为“左顺右逆弯矩为正”。
　　按照上述规律计算梁截面的内力是对截面法的最大简化，省略了取脱离体、列平衡方程等过程，在截面一侧外力均为已知的条件下直接写出截面上的内力表达式，从而计算出该截面的内力值。这种计算内力的方法称为直接观察法。
二、支座反力和内力的计算
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　　【例14-2】 简支梁受力情况如图14-5（a）所示，试用直接观察法计算梁上各指定截面的内力。
　　解：（1）计算支座反力
　　取梁为研究对象，画出梁的受力图如图14-5（b）所示。
图14-5
，　　　　　　　　　　　，　　　　（↑）
，　　　　　　　　　　　，　　　　（↑）
二、支座反力和内力的计算
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（2）计算指定截面的内力
三、内力图的绘制
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　　1. 梁内力图的画法
　　在土建工程中，习惯上将弯矩图绘在杆件的受拉侧，并标明正负号；剪力图和轴力图则是正的画在杆轴上方，负的画在杆轴下方，并标明正负号。
　　2. 梁内力图的绘制方法
　　绘制梁内力图的方法主要有内力方程法、微分关系法和叠加法三种。其中内力方程法是绘制梁内力图的基本方法，其主要工作是建立截面内力与截面位置的函数关系，因此又叫函数法；微分关系法是绘制梁内力图的常用方法，其主要工作是利用弯矩M、剪力FS、荷载集度q三者之间的微分关系判断梁内力图的线形；叠加法是在掌握了梁承受简单荷载作用时的内力图的基础上利用叠加原理绘制梁内力图的一种方法，是绘制梁内力图的简单方法。
　　在实战中广泛应用的则是简捷法，它是把微分关系法和区段叠加法结合在一起使用所产生的实用方法，该方法因其简单快捷而得名。
三、内力图的绘制
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　　3. 梁内力图的几条重要规律
　　（1）若梁段内无荷载作用，则该段内剪力图为平直线，弯矩图为直线。
　　（2）若梁段内受有均布荷载作用，则该段内剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线，且其凸向与均布荷载指向一致。
　　（3）在集中力作用处左右两侧面剪力值发生突变，其改变量等于该集中力的大小，弯矩值无变化；在集中力作用处剪力图有突变，弯矩图有尖角。
　　（4）在集中力偶作用处左右两侧面剪力值无变化，弯矩值发生突变，其改变量等于该力偶的力偶矩大小；在集中力偶作用处剪力图没有变化，弯矩图发生突变。
　　（5）在梁上剪力为零处弯矩有极值。
三、内力图的绘制
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【例14-3】 试绘制如图14-6（a）所示外伸梁的内力图。
图14-6
三、内力图的绘制
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　　解：（1）计算支座反力
　　取梁为研究对象，绘制出梁的受力图如图14-6（b）所示。
，　　　　　　　　　　　　 　　，　 　　（↑）
，　　　　　　　　　　　　 　　　　，　 　　（↑）
（2）列表
段名 q情况 剪力图情况 弯矩图情况
线形 控制值（kN） 线形 控制值（kN·m）
AC 平直线 直线
CB 斜直线 下凸的二次抛物线
BD 斜直线 下凸的二次抛物线
三、内力图的绘制
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　　注：在外力作用处，可能会出现截面两侧的某些内力分量产生突变，为了使内力的表示符号不致出现混淆，我们采用双字母下标来表示内力，其中第一个下标表示内力所处的位置，第二个下标和第一个下标一起来表示内力所属的杆段，如MAB表示梁上AB杆段A端的弯矩，MBA表示梁上AB杆段B端的弯矩。
　　（3）绘图
　　根据计算结果绘制出梁的剪力图如图14-6（c）所示。
BC段中点处弯矩值为
在BC段K截面剪力为0处弯矩有极值
，
三、内力图的绘制
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根据计算结果画出梁的弯矩图如图14-6（d）所示。
BD段中点处的弯矩值为
三、内力图的绘制
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　　4. 斜梁的计算
　　在实际工程中，常见的斜梁是楼梯梁和刚架中的斜杆。斜梁与水平梁的区别仅在于斜梁的轴线为斜直线，水平梁的轴线为水平直线，在竖向荷载作用下，水平梁不产生轴力，而斜梁将产生轴力。斜梁的弯矩通常不因梁轴倾斜而受到影响。斜梁与水平梁的计算方法是完全相同的。
　　5. 曲梁
　　与斜梁相比，斜梁横截面的倾角为一个常数，曲梁横截面的倾角是逐点变化，即曲梁每个横截面的倾角随截面位置而变化。曲梁与斜梁的受力特点相同，计算方法也相同，由于曲梁倾角的变化，其内力图不是一个简单的图形。
三、内力图的绘制
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【例14-4】如图14-7（a）所示斜梁AB承受沿其轴线方向分布的竖向均布荷载作用，试建立该梁的内力方程并求最大内力。
解： （1）计算支座反力
取斜梁AB为研究对象，画出其受力图如图14-7（b）所示，由平衡条件求得梁的反力为 （↑）
（2）列梁的内力方程
以A点为坐标原点，在距A点水平距离为处将梁切开，选取AK段为研究对象，画出其受力图如图14-7（c）所示，则有
（：0～l）
三、内力图的绘制
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（3）求最大内力值
由内力方程可得知：最大弯矩发生在跨中截面，其值为 ;
最大剪力发生在杆端截面，其值为 ; 最大轴力发生在杆端截面，其值为
图14-7
三、内力图的绘制
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【例14-5】 已知如图14-8（a）所示曲梁的轴线方程为，试绘制出该梁的内力图。
解：（1）计算支座反力
取曲梁AB为研究对象，画出曲梁受力图如图14-8（b）所示。
，
， ， （↑）
， ， （↑）
（2）列梁的内力方程
以A点为坐标原点，在距A点为x处的K截面把梁切开，画出AK段的受力图如图14-8（c）所示，注意曲梁上各个截面的倾角为
则有
三、内力图的绘制
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（3）绘制梁的内力图
根据弯矩方程绘制出梁的弯矩图如图14-8（d）所示；
根据剪力方程绘制出梁的剪力图如图14-8（e）所示；
根据轴力方程绘制出梁的轴力图如图14-8（f）所示。
图14-8
四、叠加法作弯矩图
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　　1. 叠加原理
　　当荷载引起的某一效应（反力、内力、应力、变形等）是荷载的线性函数时，多个荷载共同作用引起的该效应等于各个荷载单独作用下相应效应的代数和。这种关系称为叠加原理。叠加原理是力学中经常用到的一个原理。
　　2. 用叠加法绘制弯矩图
　　利用叠加原理绘制梁内力图的方法称为叠加法。注意：所谓叠加，不是把两个内力图进行简单的叠放，而是将同一截面上的内力值代数相加。
　　用叠加法画弯矩图的步骤是：先把作用在梁上的复杂荷载拆分成几个简单荷载（其弯矩图简单易绘制），分别绘制出各简单荷载单独作用下的弯矩图；然后把它们相应的纵坐标代数相加，就得到梁在复杂荷载作用下的弯矩图。
四、叠加法作弯矩图
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　　【例14-6】 用叠加法绘制出如图14-9（a）所示梁的弯矩图。
　　解：首先将荷载分为集中荷载F和均布荷载q单独作用的情况，如图14-9（b）、（c）所示，并分别绘制出集中荷载F和均布荷载q单独作用下的弯矩图，如图14-9（d）、（e）所示。将图14-9（d）、（e）两图的相应纵坐标代数相加，得到梁的弯矩图如图14-9（f）所示。
四、叠加法作弯矩图
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图14-9
四、叠加法作弯矩图
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　　3. 区段叠加法
　　将梁划分成若干个梁段、分段运用叠加原理绘制梁的弯矩图, 这种绘制梁弯矩图的方法称为区段叠加法。其中分段运用叠加原理绘制梁的弯矩图就是把这段梁看成是与其同跨度同荷载的简支梁、将该段梁两端的弯矩作为外力偶加在简支梁上，然后用叠加法绘制出该简支梁的弯矩图，这就是这段梁的弯矩图。因此，区段叠加法又叫相应简支梁法。
　　用区段叠加法绘制梁的弯矩图的一般步骤是：
　　（1）计算梁的支座反力；
　　（2）根据梁的受力情况对梁进行适当分段，使每段梁上所受的荷载都是简单荷载；
四、叠加法作弯矩图
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　　（3）分别计算各分段点处截面的弯矩值，并按比例在图上画出其弯矩竖标；
　　（4） 连线：对于没有任何荷载作用的梁段直接将两端截面弯矩竖标的顶点连成直线 （实线）；对于有均布荷载作用的梁段，应先将两端截面弯矩竖标的顶点以虚线相连，在虚线中点处将弯矩竖标沿均布荷载的方向叠加长度等于ql2/8的一段竖标，将该竖标顶点和两端截面弯矩竖标的顶点连成一条光滑的二次抛物线；对于只受一个集中力作用和只受一个集中力偶作用的情况请读者自行思考。

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