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第九章 梁的承载能力计算
知识目标：
理解纯弯曲、横力弯曲的概念
熟悉梁横截面上的正应力及强度计算公式
理解提高梁弯曲强度的措施
了解梁的变形计算
能力目标：
会描述梁横截面上的正应力和剪应力分布规律
熟练掌握梁的弯曲正应力强度计算
会进行梁的剪应力强度校核
能阐述提高梁弯曲强度的措施
第九章
梁横截面上的切应力
第二节
纯弯曲梁横截面上的正应力
第一节
梁的弯曲强度计算
第三节
提高梁的弯曲强度的措施
第四节
梁的变形及刚度计算
第六节
梁的应力状态
第五节
第六节　梁的变形及刚度计算
一、平面弯曲梁的变形描述
　　当荷载作用在梁的纵向对称平面内时，梁就会发生平面弯曲变形，梁的轴线由直线弯曲成一条光滑的曲线，这条曲线称为梁的挠曲线，如图9-34所示。
　　弯曲变形的梁上每个横截面都发生了移动和转动，因为梁上各横截面沿轴线方向的线位移很微小，可忽略不计，所以通常用如下两个位移量来描述梁的变形：挠度和转角。
　　1. 挠度：梁横截面的形心在垂直于梁轴线方向上的线位移称为挠度，用y表示，并规定向下为正，反之为负，其单位与长度单位一致。
　　2. 转角：梁横截面绕其中性轴转动的角度称为转角，用θ表示，并规定顺时针的转角为正，反之为负，其单位用弧度（rad）表示。
图9-34
二、平面弯曲梁的变形计算
　　1. 梁的挠曲线方程
　　在材料力学中计算梁的变形时，通常选梁的左端点为坐标原点，以变形前的梁轴线为x轴，x轴以向右为正，y轴以向下为正，建立平面直角坐标系，如图9-34所示。一般来说，梁的挠度y和转角θ都随截面位置x的变化而变化，它们都是截面位置x的函数，y=f(x)称为梁的挠曲线方程，θ=θ(x)称为梁的转角方程。由微分学知，过挠曲线上任意点的切线与x轴夹角的正切就是挠曲线在该点处的斜率，即tanθ=dy/dx，梁在小变形的条件下，θ值很微小，θ≈tanθ，于是梁的挠度与转角的关系可写为：θ=tanθ=dy/dx=y’
上式表明，梁的挠曲线方程对x的一阶导数就是梁的转角方程。因此，计算梁变形的关键就是确定梁的挠曲线方程。
　　
二、平面弯曲梁的变形计算
　　2. 梁的挠曲线近似微分方程
　　略去了剪力对梁弯曲变形的影响，并且在推导过程中略去了高阶微量，利用力学及数学知识可推导出梁的挠曲线近似微分方程为
（9-16）
求解这一微分方程，就可以得到梁的挠曲线方程，从而可求得梁上任一横截面的挠度和转角。
　　3.平面弯曲梁的变形计算
　　工程中计算梁变形的方法很多，在材料力学中计算梁变形的方法主要有积分法和叠加法两种，其中积分法是最基本的方法，叠加法是较为简便的实用方法。
二、平面弯曲梁的变形计算
　　（1）积分法
　　将公式（9-16）逐次积分，就得到梁的转角方程（9-17）和挠曲线方程（9-18）
（9-17）
（9-18）
　　这种利用两次积分求出挠曲线方程的方法称为二次积分法，简称积分法。方程中的积分常数C1、C2，可由梁的边界条件（梁的约束条件）和变形的连续条件确定。
二、平面弯曲梁的变形计算
　　（2）叠加法
　　在梁的变形微小且梁的材料在线弹性范围内工作时，梁的挠度和转角都与梁上的荷载成线性关系，满足叠加法的适用条件。因此，当梁在几个荷载同时作用时，其任一横截面处的挠度（或转角）等于各个荷载单独作用时该截面处的挠度（或转角）的代数和。
　　【例9-10】 简支梁受荷载作用如图9-37（a）所示，已知梁的EI为常数，试用叠加法计算梁中点C的挠度和两端截面A、B的转角。
（a） 　　　 （b）
（c）
图9-37
二、平面弯曲梁的变形计算
二、平面弯曲梁的变形计算
　　解：①梁的变形是均布荷载和集中力偶共同作用引起的，把梁上的荷载分为两种简单的荷载，如图9-37（b）、（c）所示。
　　 ②查表可知
　　梁在均布荷载单独作用下
梁在集中力偶单独作用下
，
，
，
，
二、平面弯曲梁的变形计算
③根据叠加原理可得
三、梁的刚度校核
　　1. 梁的刚度条件
　　在实际工程中，根据强度条件对梁进行设计后，常常还要对梁进行刚度校核，即核查梁的位移是否在规定的范围内。在土建工程中通常只校核梁的挠度，其许用值通常以最大挠度f与梁跨度l的比值作为标准。梁的刚度条件为
（9-19）
三、梁的刚度校核
　　2. 梁的刚度校核
　　根据梁的刚度条件可以对梁进行刚度计算，在工程实际中主要是梁的刚度校核。
　　【例9-11】 图9-38所示为一建筑主梁，跨长l=4m，梁上荷载，梁为25b工字钢，梁上作用荷载q=30kN/m,许用挠跨比[f/l]=1/500，弹性模量E=2.10×105MPa，试校核此梁的刚度。
图9-38
三、梁的刚度校核
　　解：查附录三型钢表得25b号工字钢，Iz=5280cm4，
　　梁的最大挠度在跨中截面，查表9-2得
　　所以，25b号工字钢不满足刚度要求，需重新设计。选择28b工字钢，查附录三型钢表得Iz=7480cm4
故选用28b号工字钢，此梁满足刚度要求。
三、梁的刚度校核
　　3. 提高梁抗弯刚度的措施
　　由梁的挠曲线近似微分方程可见，梁的弯曲变形与弯矩及抗弯刚度有关，而影响梁弯矩的因素又与荷载、支承情况及梁的有效长度有关。因此，提高梁的刚度，可采用以下一些措施：①增大截面的抗弯刚度EI；②调整加载方式或支座位置，改善梁的结构，减小弯矩；③减小梁的跨度或增加支座等。
本 章 小 结 ：
本章主要介绍了纯弯曲和横力弯曲的概念、梁横截面上的应力及强度计算公式、提高梁弯曲强度的措施、梁的变形和刚度计算等。
1.在梁横截面上各点一般同时存在有两种应力，即剪应力和正应力，与剪力对应的是剪应力，与弯矩对应的是正应力。
2.梁内既不拉伸也不压缩、长度不变的层称为中性层，中性层与横截面的交线称为中性轴 。
3.平面弯曲梁横截面上各点的正应力与所在截面的弯矩成正比，与截面对中性轴的惯性矩成反比；正应力沿截面高度方向成直线规律分布，中性轴上正应力等于零，离中性轴愈远正应力愈大，在离中性轴最远的上、下边缘分别达到最大拉应力或最大压应力 。
4.梁的正应力强度条件为：
5.梁的剪应力强度条件为：
6.通常用挠度和转角两个位移量来描述梁的变形。
本 章 小 结 ：
7.我们把通过受力构件内一点沿不同方位所有截面上的应力情况，统称为该点处的应力状态。为了描述该点处的应力状态，通常是围绕该点取一个单元体作为研究对象。用单元体的三个互相垂直平面上的应力来表示一点处的应力状态。
8.剪应力为零的平面称为主平面，作用在主平面上的正应力称为主应力，三个主应力分别用符号σ1 、 σ2 、σ3 表示，并按代数值大小排序。
9.平面应力状态的求解方法有数解法和应力圆法两种。
10.比较著名的强度理论有四个古典强度理论及莫尔强度理论。
四个古典强度理论分别是：最大拉应力理论（第一强度理论）、最大拉应变理论（第二强度理论）、最大剪应力理论（第三强度理论）、形状改变比能理论（第四强度理论）。
11.提高梁的承载能力的措施主要有：
（1）合理选择梁的截面形状；
（2）合理安排梁的荷载和支座；
（3）合理设计梁的外形；

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