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第八章 梁的内力
知识目标：
了解梁平面弯曲的概念
掌握计算梁内力的截面法
掌握应用内力方程绘制弯矩图和剪力图的方法
熟练掌握弯矩图和剪力图的作图规律和作图方法
熟悉叠加原理，掌握叠加法作弯矩图的步骤
能力目标：
能熟练运用直接观察法计算梁指定横截面上的内力
能利用内力图的特征和规律，快速简捷地绘制内力图
会用叠加法作弯矩图
第八章
梁的内力——剪力和弯矩
第二节
梁的弯曲
第一节
内力方程法
第三节
剪力图、弯矩图的作图规律
第四节
叠加法绘制弯矩图
第五节
第三节　内力方程法
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一、剪力图和弯矩图
　　反映剪力在全梁范围内变化规律的图形称为梁的剪力图，反映梁上各横截面弯矩变化规律的图形称为梁的弯矩图。
　　绘图时，以平行于梁轴线的坐标表示梁横截面的位置，以垂直于轴的纵坐标（按适当的比例）表示相应横截面上的剪力或弯矩。在土建工程中，对于水平梁而言，习惯将正剪力画在轴的上面，负剪力画在轴的下面，并标明正、负号；正弯矩画在轴的下面，负弯矩画在轴的上面。即弯矩图总是画在梁受拉的一侧。对于非水平梁而言，剪力图可以画在梁轴线的任一侧，并标明正、负号；弯矩图画在梁受拉的一侧。
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二、 用内力方程法绘制梁的内力图
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　　梁横截面上的剪力和弯矩一般是随横截面的位置而变化的。若横截面沿梁轴线的位置用横坐标x表示，则梁内各横截面上的剪力和弯矩就都可以表示为坐标x的函数，即
和
以上两函数分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。
　　在建立剪力方程、弯矩方程时，剪力、弯矩仍然可使用截面法或用直接观察法计算。通过梁的剪力方程和弯矩方程，可以画出梁的内力图，从而找到剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律。这种根据梁的内力方程绘制梁内力图的方法称为内力方程法。
二、 用内力方程法绘制梁的内力图
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　　用内力方程法绘制梁内力图的步骤：
　　（1）计算梁的支座反力；
　　（2）分段；梁的端截面、集中力作用截面、集中力偶的作用截面、分布荷载的起止截面都是梁分段时的界线截面。
　　（3）分别列出各段梁的内力方程；
　　（4）绘制梁的内力图。
　　【例8-3】绘制图8-15（a）所示悬臂梁在集中力作用下的内力图。
图8-15
二、 用内力方程法绘制梁的内力图
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　　解： (1) 列剪力方程和弯矩方程
　　选定梁的左端点A为坐标x的原点，并取距A端为x的截面左侧研究。
　　剪力方程为： 　　　　（　　　　）
　　弯矩方程为： 　　　　（　　　　）
　　(2) 绘制剪力图和弯矩图
　　因为剪力方程为x的常函数，所以剪力图为一条与x轴平行的直线，而且在x轴的下侧。绘制梁的剪力图如图8-15(b)所示。
　　因为弯矩方程为x的一次函数，所以弯矩图为一条直线。
　　当　　时 ，　　　 ；当　　时 ，　　　 ；绘制梁的弯矩图如图8-15（c）所示。
二、 用内力方程法绘制梁的内力图
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图8-16
　　【例8-4】绘制图8-16（a）所示简支梁在集中力作用下的内力图。
　　解：（1）求支座反力
(↑)
(↑)
，
，
　　（2）分段
　　该梁在C截面上作用一个集中力，使AC段和CB段的剪力方程和弯矩方程不同，因此列方程时要将梁从C截面处分成两段。
二、 用内力方程法绘制梁的内力图
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（　　　　　）
（　　　　　）
CB段：以B端为x2的坐标原点，则有
（　　　　　）
（　　　　　）
　　（3）列剪力方程和弯矩方程
AC段：以A端为x1的坐标原点，则有
　　（4）绘制剪力图和弯矩图
　　根据方程的情况判断剪力图和弯矩图的形状，确定控制截面的个数及内力值。
二、 用内力方程法绘制梁的内力图
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　　剪力图：不论AC段还是CB段剪力方程均是的常函数，所以AC段、CB段的剪力图都是与轴平行的直线，每段上只需要计算一个控制截面的剪力值，AC段：剪力值为　　；CB段：剪力值为　　　，绘制剪力图如图8-16（b）所示。
　　弯矩图：不论AC段的弯矩方程还是CB段的弯矩方程均是的一次函数，所以AC段、CB段的弯矩图都是一条斜直线，每段上分别需要计算两个控制截面的弯矩值。
　　AC段：当　　时，　　；当　　时，　　　　；
　　将　　　及　　　　　两点连线即可以绘制出AC段的弯矩图。
二、 用内力方程法绘制梁的内力图
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　　CB段：当　　时，　　；当　　时，　　　　；
　　将　　　及　　　　　两点连线即可以绘制出CB段的弯矩图。
　　绘制出梁的弯矩图如图8-16（c）所示。
　　注意：画图时应将内力图与梁的计算简图对齐，并写出图名（FS图、M图）、控制截面内力值、标明内力的正、负号的情况下，可以不作出坐标轴。本例就采用了这种方法。习惯上作图时常用这种方法。
　　由例8-3和例8-4可以看出：在梁上无荷载作用的区段，其剪力图都是平行于轴的直线。在集中力作用处，剪力图是不连续的，我们称之为剪力图突变，突变的绝对值等于集中力的数值；在梁上无荷载作用的区段，其弯矩图是斜直线，在集中力作用处，弯矩图发生转折，出现尖角现象。
二、 用内力方程法绘制梁的内力图
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图8-17
　　【例8-5】绘制图8-17（a）所示外伸梁在集中力偶作用下的内力图。已知：
　　解：（1）求支座反力
(↓)
(↑)
　　（2）分段
　　以梁的端截面、集中力作用截面、集中力偶的作用截面为分段点将梁分成AB、BC、CD三段。
，
，
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（　　　　　）
（　　　　　）
（　　　　　）
（　　　　　）
（　　　　　）
（　　　　　）
　　（3）列剪力方程和弯矩方程
　　AB段：以A为坐标x1的原点，则有
　　BC段：以C为坐标x2的原点，则有
　　CD段：以D为坐标x3的原点，则有
　　（4） 绘制剪力图和弯矩图
　　剪力图：AB段、BC段、CD段的剪力方程均为常函数，所以每段只需要确定一个控制截面的剪力值即
二、 用内力方程法绘制梁的内力图
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可。AB段的剪力值为，BC段的剪力值为0，CD段的剪力值为0，绘制出梁的剪力图如图8-17（b）所示。
　　弯矩图：AB段的弯矩方程为一次函数，需要确定两个控制截面的弯矩值；BC段、CD段的弯矩方程为常函数，只需要分别确定一个控制截面的弯矩值即可。AB段： 当　　时，　　；当　　 时 ，
　　　　；BC段：该段上的弯矩值恒为　　；CD段：该段上的弯矩值恒为0；绘制出梁的弯矩图如图8-17（c）所示。
　　由例8-5可以看出：在集中力偶作用处，剪力图无变化；弯矩图不连续，发生突变，突变的绝对值等于集中力偶的力偶矩数值。而且在梁上无荷载作用的区段，当剪力图为与x轴重合的直线（即剪力图为平行于x轴的直线，且数值为零）时，弯矩图是一条平行于x轴的直线；特殊情况下与x轴重合。
二、 用内力方程法绘制梁的内力图
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　　【例8-6】绘制图8-18（a）所示简支梁在均布荷载作用下的剪力图和弯矩图。
　　解：（1）求支座反力
　　由对称关系可知：　　
　(↑)
图8-18
　　（2）列剪力方程和弯矩方程
　　以梁的左端点为x坐标原点，则有
（　　　）
（　　　）
二、 用内力方程法绘制梁的内力图
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　　当　　时，　　　；当　　时 ，　　　；当
　　（3）绘制剪力图和弯矩图
　　梁的剪力方程为x的一次函数，剪力图为一条斜直线，需要确定两个控制截面的数值。
　　当　　时，　　　 ；当　　时， 　　　　；
绘制出梁的剪力图如图8-18（b）所示。
　　梁的弯矩方程为的二次函数，弯矩图为一条二次抛物线，至少需要确定三个控制截面的数值。
　　　时 ，　　　 ；绘制出梁的弯矩图如图8-18
（c）所示。

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