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第九章 梁的承载能力计算
知识目标：
理解纯弯曲、横力弯曲的概念
熟悉梁横截面上的正应力及强度计算公式
理解提高梁弯曲强度的措施
了解梁的变形计算
能力目标：
会描述梁横截面上的正应力和剪应力分布规律
熟练掌握梁的弯曲正应力强度计算
会进行梁的剪应力强度校核
能阐述提高梁弯曲强度的措施
第九章
梁横截面上的切应力
第二节
纯弯曲梁横截面上的正应力
第一节
梁的弯曲强度计算
第三节
提高梁的弯曲强度的措施
第四节
梁的变形及刚度计算
第六节
梁的应力状态
第五节
第四节 提高梁弯曲强度的措施
　　一般控制弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，由等直梁的正应力强度条件σmax=Mmax/ Wz≤[σ]，可以看出，要提高梁的弯曲强度，就要尽量减小梁的最大工作应力，这主要有两个途径：降低最大弯矩值Mmax和增加抗弯截面系数Wz。
一、降低最大弯矩值的措施
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　　1．合理安排梁的受力情况
　　最大弯矩值不仅与荷载的大小有关，而且与荷载的作用位置和作用方式有关。如果工程条件允许，应尽量将荷载分散或使荷载靠近支座。
　　2．合理安排支座位置
　　由于梁的最大弯矩与梁的跨度有关，如果可能，尽量减小梁的跨度或适当增加支座，从而降低最大弯矩值。
二、选择合理的截面形状
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　　1．选择抗弯截面模量Wz与截面面积A比值高的截面
　　梁横截面上应力的大小与抗弯截面模量Wz成反比。Wz与横截面面积的大小及面积分布有关。梁的合理截面应该是，用最小的面积得到最大的抗弯截面模量。若用比值Wz/A来衡量截面的经济程度，则该比值越大，截面就越经济。
二、选择合理的截面形状
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　　2．根据材料的特性选择截面
　　对于抗拉和抗压强度相等的塑性材料，可采用对称于中性轴的截面，如矩形、圆形、工字形等截面。
对脆性材料来说，由于其抗拉强度远低于梁的抗压强度，应采用不对称于中性轴的截面，使梁的形心靠近受拉的一侧。
二、选择合理的截面形状
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　　3．采用变截面梁
　　根据弯矩图的形状，沿梁轴线在弯矩值大的部位，相应采用较大尺寸的截面；在弯矩值小的部位，相应采用较小尺寸的截面。这种横截面沿轴线变化的梁称为变截面梁。
　　最理想的变截面梁是等强度梁，即是使梁的各横截面的最大工作应力相等，且接近材料的容许应力。
第五节 梁的应力状态
一、应力状态的概念
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　　为了解释梁的破坏现象，仅研究梁横截面上的应力是不够的，还需要研究各个斜截面上的应力，即研究所有截面上的应力情况。
　　我们把通过受力构件内一点沿不同方位所有截面上的应力情况，统称为该点处的应力状态。为了描述该点处的应力状态，通常是围绕该点取一个单元体作为研究对象。所谓单元体，是围绕一点用三对互相垂直的平面截取的边长无限小的正六面体。用单元体的三个互相垂直平面上的应力来表示一点处的应力状态。
　　切应力为零的平面称为主平面，作用在主平面上的正应力称为主应力，三个主应力分别用符号σ1、σ2、σ3表示，并按代数值大小排序，即σ1≥σ2≥σ3。围绕一点按三个主平面取出的单元体称为主应力单元体。
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　　根据三对主应力存在的不同情况，可将一点处的应力状态分为单向应力状态、二向应力状态和三向应力状态。三对主平面中只有一对主应力不等于零的单元体应力状态，称为单向应力状态；有二对主应力不等于零的单元体应力状态，称为二向应力状态；三对主应力均不为零的单元体应力状态，称为三向应力状态 。设单向应力状态和二向应力状态的单元体的平行课本纸面的一对平面上应力恒为零，则可以用一平面图形（正方形）来表示这样的单元体，所以又将单向应力状态和二向应力状态统称为平面应力状态，三向应力状态又称为空间应力状态。
一、应力状态的概念
二、平面应力状态的数解法
——斜截面上的应力计算公式
　　一平面应力状态下某点的单元体如图9-26（a）所示，在单元体上建立直角坐标系，使x、y轴的正向分别与两个互相垂直的平面的外法线方向一致。这两个平面分别称为x平面和y平面。x平面与y平面上的正应力分别为σx、σy，切应力分别为τx、τy，与z轴垂直的两平面上无应力作用。
设任一斜截面m-m的外法线n与x轴的夹角为α，该斜截面称为α截面，用σα、τα表示α截面上的正应力和切应力。若已知σx、σy及τx、τy，τx=τy，则此单元体任意平行于z轴的斜截面α上的应力σα、τα可用下式计算：
（9-8）
二、平面应力状态的数解法
——斜截面上的应力计算公式
图9-26
二、平面应力状态的数解法
——斜截面上的应力计算公式
　　式（9-8）反映了平面应力状态下任一斜截面上的应力值随角变化的规律。运用这一公式，就可以从单元体上的已知应力、及、，求得任意斜截面上的正应力和切应力。并且由式（9-8）出发，还可以求得单元体的最大正应力（主应力）和最大切应力的大小和作用面方位。
　　注意：正应力以拉应力为正，压应力为负；切应力以对单元体内任一点产生顺时针转动的力矩时为正，反之为负。对于夹角α，则规定从轴到截面外法线的转向是逆时针转向时为正，反之为负。
二、平面应力状态的数解法
——斜截面上的应力计算公式
【例9-8】一单元体如图9-27所示，试求在α=300的斜截面上的应力。
图9-27
　　解：根据应力和角的符号规定可知
σx=10MPa，σy=30MPa，τx=20MPa，τy=-20MPa，α=300；将其代入式（9-8），可得斜截面上的应力为:
　　所得正应力为负值，表明它是压应力；切应力为正值，其方向如图9-27所示。
三、平面应力状态的图解法
——应力圆法
　　1. 应力圆方程
　　现将式（9-8）进行移项、两边平方然后相加，可得：
（9-9）
　　应力圆表示了单元体斜截面位置变化时应力变化规律的函数图像，圆上一点的坐标即表示单元体某一斜截面上的应力数值。
　　式（9-9）除了变量σα和τα外，其余各项σx、σy、τx均为单元体上已知的应力值。对比平面解析几何中圆心坐标为（α，0）、半径为R的圆的方程(x-a)2+y2=R2可知，若以σα为横坐标、τα为纵坐标，则式（9-9）是一个圆的方程，圆心坐标为[﹙σx+σy﹚/2，0]，半径为 ，这个圆称为应力圆（或莫尔圆），如图9-28所示。
三、平面应力状态的图解法——应力圆法
　　2. 应力圆的作法
　 （1）编号、定坐标
　　将单元体铅垂平面编号为①，水平平面编号为②。将这两个平面上的应力值表示为点的坐标：D1(σx ,τx)，D2(σy ,-τx)，如图9-28（b）所示。
图9-28
三、平面应力状态的图解法——应力圆法
　　（2）取坐标轴、定比例、描点
　　取横坐标σα表示正应力，纵坐标τα表示切应力。按照已知应力值σx、σy、τx，选择适当的比例，在横坐标轴上量取　　　，　　　，确定点D1；量取，确定点D2。点D1和D2的坐标值分别代表平面①与②上的应力，如图9-28（b）所示。
　　（3）连坐标点、定圆心和半径
点D1(σx,τx)、D2 (σy,τy)的连线与横坐标轴的交点C，即为应力圆的圆心，其坐标为。从圆心到坐标点D1与D2的
长度R为应力圆的半径，　　　　　　。
三、平面应力状态的图解法——应力圆法
　　3. 应力圆与单元体之间的对应关系
　　（1）点面对应: 应力圆上一个点的坐标值代表了单元体上一个面上的应力值。
　　（2）倍角对应: 应力圆上两点间圆弧的圆心角是单元体上相应的两个面之间夹角的二倍。
　　（3）转向对应:　应力圆上由基准点D1到点E的转向和单元体上基准面到面的转向一致。　　
4. 主应力和最大切应力
　　（1）主应力
　　在应力圆的横坐标轴上，A1、A2两点的纵坐标都等于零，表示单元体上对应的截面上切应力为零，因此这两个截面即为主平面，A1、A2两点的横坐标分别表示主平面上的两个主应力值：
（9-10）
三、平面应力状态的图解法——应力圆法
　　（2）主平面方位
（9-11）
　 （3）最大切应力及其作用面的位置
　　在图9-28（b）所示的应力圆上F1点及F2点处有最大切应力和最小切应力，其值为：
（9-12）
（9-13）
从A1点到F1点旋转了900，单元体上相应面的法线间夹角为450，如图9-28（d）所示。这说明：单元体中的最大切应力等于两个主应力之差的一半，其作用面与主平面成450角。
三、平面应力状态的图解法——应力圆法
　　【例9-9】如图9-29(a)所示，已知σx=60MPa，σy=0，τx=-τy=20MPa，试求单元体的主应力、主平面方位及最大切应力值。
图9-29
三、平面应力状态的图解法——应力圆法
　　在单元体上，从x轴顺时针转α0= -17.20，得A1点对应的σ1作用面的法线，从而确定了σ1所在的主平面。同样，从x轴逆时针转α1=72.80，得A2点对应的σ3作用面的法线，从而确定了所在的主平面。
　　解：画出应力圆如图9-29（b）所示。
　　应力圆上A1、A2点代表单元体上的主平面，它们所对应的横坐标即是主应力值。可按作图的比例量出：
∵　　　　　　　　　∴
应力圆上F1点有最大切应力：
　　四、梁的主应力迹线
　　1. 梁内主应力
　　图9-30（a）表示一个横力弯曲的梁。从任一横截面m-m上取1、2、3、4、5五个单元体。将σx=σ、 σy=0、τx=τ代入式（9-10）及式（9-13）则有
（9-14）
（9-15）
　　从（9-14）式可以判定σmax一定大于零，σmin一定小于零。所以σmax是主拉应力σ1，σmin是主压应力σ3，平行于纸面的主平面上σ2=0。
　　四、梁的主应力迹线
图9-30
　　四、梁的主应力迹线
　　2. 梁的主应力迹线
　　若在梁内取若干个横截面，从其中任一横截面1－1上的任一点a开始，求出a点处的主应力（主拉应力或主压应力）方向，将它延长，与邻近一个横截面2－2相交于点，由求出b点处的主应力方向，延长后与邻近的3－3横截面相交，再求出交点处的主应力方向，……如此继续进行下去，便可得到一条折线，如图9-31（a）所示。如果截面取得很多且很密集，这折线就成为一条光滑的曲线。这根曲线上任意一点的切线方向就是该点处主应力的方向，此曲线称为梁的主应力迹线。
　　四、梁的主应力迹线
　　一根梁可以画出很多条主拉应力迹线（如图9-31b中的实线）和主压应力迹线（如图9-31b中的虚线）。因单元体的主拉应力和主压应力方向总是相互垂直的，所以主拉应力迹线和主压应力迹线必成正交。梁的上、下边缘处，主应力迹线为水平线，梁的中性层处主应力迹线的倾角为45°。
图9-31
五、应力现象分析
　　1. 梁的主拉应力分析
　　钢筋混凝土梁中，主拉应力会使混凝土沿主拉应力迹线方向受拉而产生裂纹。梁内沿主拉应力迹线配置了受拉钢筋，这些钢筋在靠近跨中部分时布置在梁的下侧，在靠近支座附近开始逐渐弯起，就是为了抵抗上述的主拉应力，提高梁的强度，如图9-31（c）所示。
五、应力现象分析
　　2. 低碳钢屈服现象分析
　　在第四章介绍拉伸试验时，我们都知道低碳钢拉伸时会出现屈服现象，试件表面出现滑移线，图9-32（a）为拉伸试件的应力单元体，它的应力圆如图9-32（b）所示。从应力圆可以看出，在与横截面成45°的斜面上出现极值剪应力，低碳钢拉伸时之所以出现屈服现象，表面产生滑移线是因为低碳钢的抗剪强度低于抗拉强度，首先发生了剪切破坏，产生了较大的塑性变形所致。因此，可以认为低碳钢达到屈服阶段就已破坏了。
图9-32
五、应力现象分析
　　3. 铸铁压缩破坏现象分析
　　在第四章中我们知道，铸铁压缩破坏时会发生沿与轴线大致成45°的斜面断裂，图9-33（a）为压缩试件的应力单元体，它的应力圆如图9-33（b）所示。从应力圆可以看出，在与横截面成45°的斜面上出现极值切应力，铸铁压缩时之所以发生沿与轴线大致成45°的斜面断裂现象，是由于铸铁的抗剪强度低于它的抗压强度，首先发生了剪切破坏，所以会发生沿与轴线成45°的斜面的剪切破坏。因此我们可以这样说：铸铁的压缩破坏实际上是一种剪切破坏。
图9-33

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