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第八章 梁的内力
知识目标：
了解梁平面弯曲的概念
掌握计算梁内力的截面法
掌握应用内力方程绘制弯矩图和剪力图的方法
熟练掌握弯矩图和剪力图的作图规律和作图方法
熟悉叠加原理，掌握叠加法作弯矩图的步骤
能力目标：
能熟练运用直接观察法计算梁指定横截面上的内力
能利用内力图的特征和规律，快速简捷地绘制内力图
会用叠加法作弯矩图
第八章
梁的内力——剪力和弯矩
第二节
梁的弯曲
第一节
内力方程法
第三节
剪力图、弯矩图的作图规律
第四节
叠加法绘制弯矩图
第五节
第一节　梁的弯曲
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一、弯曲变形的概念
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　　杆件的轴线由直线变成曲线，这种变形称为弯曲。凡是以弯曲为主要变形的非竖直杆件称为梁。
　　梁是工程中一种常用的杆件，尤其是在建筑工程中，它占有特别重要的地位。例如房屋建筑中常用于支承楼板的梁（图8-2）、梁式桥的主梁（图8-6）等。
图8-6
图8-2
二、平面弯曲的概念
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图8-8
　　梁横截面的对称轴和梁轴所组成的平面称为梁的纵向对称平面，如图8-8所示。
　　如果作用于梁上的全部外力（包括荷载和支座反力）都作用在梁的同一纵向对称平面内时，梁变形后的轴线也在该平面内，这种力的作用平面与梁的变形平面相重合的弯曲称为平面弯曲。
　　平面弯曲是弯曲问题中最常
见，而且最简单的弯曲。本章只讨论平面弯曲的情况。
第二节　梁的内力——剪力和弯矩
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一、剪力和弯矩的概念
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　　产生平面弯曲的梁在其横截面上一般有两种内力：其一是与梁横截面相切的内力，称为剪力，用FS表示；其二是作用在梁纵向对称平面内的内力偶，其力偶矩称为弯矩，用M表示，如图8-9所示。
　　计算梁的内力的基本方法仍然是截面法。
图8-9
二、剪力和弯矩的正负号规定
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　　1.剪力的正负号规定
　　当截面上的剪力　使所研究的梁段有顺时针方向转动趋势时，剪力为正；有逆时针方向转动趋势时剪力为负，如图8-10所示。
图8-10
二、剪力和弯矩的正负号规定
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　　2.弯矩的正负号规定
　　当截面上的弯矩M使所研究的水平梁段产生下凸的变形（即梁段的下部受拉、上部受压）时弯矩为正；产生上凸的变形（即梁段的上部受拉，下部受压）时弯矩为负，如图8-11所示。
图8-11
三、用截面法计算梁上指定截面的剪力和弯矩
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　　用截面法计算梁上指定截面内力的步骤：
　　(1) 求支座反力。
　　(2) 用假想的截面将梁从欲求内力的位置截开。
　　(3) 取截面的任一侧为隔离体，画出其受力图。
　　(4) 列平衡方程计算内力。
　　【例8-1】已知：　　　，　　，
　　　　　，用截面法求图8-12（a）所示外伸梁指定截面上的剪力和弯矩。
图8-12
三、用截面法计算梁上指定截面的剪力和弯矩
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(↓)
　　解：（1）求支座反力
(↑)
　　（2）求1-1截面上的剪力和弯矩
　　取1-1截面的左侧梁段为隔离体，画出其受力图如图8-12（b）所示。　　
，
，
三、用截面法计算梁上指定截面的剪力和弯矩
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　　（3）求2-2截面上的剪力和弯矩
　　取2-2截面的左侧梁段为隔离体，画出其受力图如图8-12（c）所示。
，
，
，
，
三、用截面法计算梁上指定截面的剪力和弯矩
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　　（5）求4-4截面的剪力和弯矩
　　取4-4截面的右段为隔离体，画出其受力图如图8-12（e）所示。
　　（4）求3-3截面的剪力和弯矩
　　取3-3截面的右段为隔离体，画出其受力图如图8-12（d）所示。
，
，
，
三、用截面法计算梁上指定截面的剪力和弯矩
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，
　　对比1-1、2-2截面上的内力会发现：在A偏左及偏右截面上的剪力不同，而弯矩相同，左、右两侧剪力相差的数值正好等于A截面处集中力的大小，我们称这种现象为剪力发生了突变；对比3-3、4-4截面上的内力会发现：在D偏左及偏右截面上的剪力相同，而弯矩不同，左、右两侧弯矩相差的数值正好等于D截面处集中力偶的大小，我们称这种现象为弯矩发生了突变。
三、用截面法计算梁上指定截面的剪力和弯矩
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　　计算梁内力时的注意事项：
　　（1） 对简支梁和外伸梁必须求支座反力，对悬臂梁可不求支座反力。
　　（2）用截面法求梁的内力时，可取截面任一侧研究，当然是那侧好算就取那一侧。
　　（3）画所取隔离体的受力图时，在切开的截面上，未知的内力均预设为正。
　　（4）在列梁段的静力平衡方程时，要把剪力、弯矩当作隔离体上的外力来看待，因此，平衡方程中剪力、弯矩的正负号应按静力计算的正负号规定，不要与剪力、弯矩本身的正、负号相混淆。
　　（5）在集中力作用处，剪力发生突变，没有固定数值，应分别计算该处稍偏左及稍偏右截面上的剪力，而弯矩在该处有固定数值，稍偏左及稍偏右截面上的数值相同，只需要计算该截面处的一个弯矩即可；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，没有固定数值，应分别计算该处稍偏左及稍偏右截面上的弯矩，而剪力在该处有固定数值，稍偏左及稍偏右截面上的数值相同，只需要计算该截面处的一个剪力即可。
四、直接观察法
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　　用截面法计算梁的内力是学生必须掌握的基本方法，但从例题分析可以看出：截面上的内力和该截面一侧外力之间存在一定的规律，因此，通常不必用原始的截面法求内力，而是利用规律直接利用截面的任一侧梁上的外力来求出该截面上的内力。这种方法称为直接观察法。
　　1.求剪力
　　梁内任一截面上的剪力，在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）梁段上所有外力在垂直于梁轴线方向投影的代数和。即
或
四、直接观察法
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　　根据对剪力正负号的规定可知：在左侧梁段上所有向上的外力会在截面上产生正剪力，而所有向下的外力会在截面上产生负剪力；在右侧梁段上所有向下的外力会在截面上产生正剪力，而所有向上的外力会在该截面上产生负剪力。即：左上右下为正，反之为负。由于力偶在任何坐标轴上的投影都等于零，因此作用在梁上的力偶对剪力没有影响。
　　2.求弯矩
　　梁内任一截面上的弯矩，等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力对该截面形心力矩的代数和。即
或
四、直接观察法
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　　根据对弯矩正负号的规定可知：在左侧梁段上的外力（包括外力偶）对截面形心的力矩为顺时针时，在截面上产生正弯矩，为逆时针时在截面上产生负弯矩；在右侧梁段上的外力（包括外力偶）对截面形心的力矩为逆时针时，在截面上产生正弯矩，为顺时针时在截面上产生负弯矩。即：左顺右逆正，反之负。
　　【例8-2】直接用规律求图8-13所示简支梁指定截面上的剪力和弯矩。已知：　　　　　，　　　　。
图8-13
四、直接观察法
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　　解：（1）求支座反力
取梁AB为隔离体，画出梁的受力图，则有
　　（3） 2-2截面：
　　（4）3-3截面：
(↓)
(↑)
，
，
，
，
　　（2） 1-1截面：
，

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