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第七章 截面的几何性质
知识目标：
了解静矩、惯性矩和惯性积等概念。
熟悉形心的概念，掌握组合图形形心的计算公式和步骤。
熟悉平行移轴公式，掌握组合图形的惯性矩计算方法。
能力目标：
会进行简单图形静矩的计算。
熟记矩形和圆形对形心轴的惯性矩的计算公式。
能熟练地计算组合图形的惯性矩
第七章
重心和静矩
第一节
惯性矩、极惯性矩和惯性积
第二节
惯性积的平行移轴公式
第三节
第一节　重心和静矩
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　　只与平面图形的形状和尺寸有关的物理量，统称为平面图形的几何性质。
　　平面图形的几何性质是影响杆件承载能力的重要因素。
一、重心
　　1．重心的概念
　　无论物体在空间怎样放置，物体重力的作用线总是通过物体上一个确定的点，这个点称为物体的重心。
　　2．物体重心、形心的坐标公式
　　（1）一般物体重心的坐标公式
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（7-1）
一、重心
（2）匀质物体重心的坐标公式
（7-2）
　　由物体的几何形状和尺寸所决定的几何中心，称为几何形体的形心。
　　对于匀质物体来说，形心和重心是重合的。
　　（3）匀质薄板重心的坐标公式
（7-3）
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二、静矩
　　如图7-3所示为一任意形状的平面图形，其面积为A，在平面图形内选取坐标系zoy。平面图形对z轴（或y轴）的静矩，用Sz（或Sy）表示，定义
　　从上述定义可以看出，平面图形的静矩是对指定的坐标轴而言的。同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。常用单位是m3或mm3。
（7-4）
图7-3
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三、静矩和形心
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　　平面图形的形心与静矩关系为
　　由式(7-6)可见，平面图形对z轴（或y轴）的静矩，等于该图形面积A与其形心坐标yC（或zC）的乘积。对于形心位置已知的截面图形，如矩形、圆形及三角形等截面，可直接用式(7-6)来计算静矩。当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。
　　如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形的形心轴。故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。
(7-6)
或
三、静矩和形心
　　【例7-1】矩形截面尺寸如图7-4所示。试求该矩形对z1轴的静矩Sz1和对形心轴z的静矩Sz。
　　解：(1)计算矩形截面对z1轴的静矩
　　(2) 计算矩形截面对形心轴的静矩
　　由于z轴通过截面形心，所以矩形截面对z轴的静矩为Sz=0
图7-4
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四、组合图形的静矩和形心位置计算
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　　由几个简单的几何图形组合而成的图形，称为组合图形。如工字形、T形、环形等。
　　（一）组合图形的静矩
　　组合图形对z轴（或y轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即
(7-7)
四、组合图形的静矩和形心位置计算
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　　（二）组合图形的形心
　　若平面图形可以分解为若干个简单的图形，则式（7-3）又可写为
　　确定组合图形形心的方法有分割法、负面积法等。
　　1．分割法
　　将组合图形分割成若干个简单图形，各简单图形的形心位置已知，按式（7-8）求得组合图形的形心。
（7-8）
四、组合图形的静矩和形心位置计算
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　　【例7-2】试计算图7-5所示的平面图形对z1、y1的静矩以及其形心位置。
　　解法一：（1）计算平面图形对z1、y1的静矩
　　将平面图形看作由两个矩形Ⅰ和Ⅱ组成，
矩形Ⅰ：
图7-5
四、组合图形的静矩和形心位置计算
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矩形Ⅱ：
　　（2）计算平面图形的形心。
四、组合图形的静矩和形心位置计算
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　　2．负面积法
　　将组合图形看作为从一个简单图形中挖去另一个简单图形而成，各简单图形的形心位置已知，按式（7-8）求得组合图形的形心。注意挖去图形的面积用负值表示，所以称为负面积法。
　　【例7-3】求图7-6所示的平面
图形的形心位置。已知R=60mm，r=20mm，a=40mm。
图7-6
四、组合图形的静矩和形心位置计算
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　　解：选取坐标系zoy如图所示。该图形的对称轴为z轴，形心一定在对称轴上，因此yC=0。
　　将该图形看为由半径R的大圆减去半径r的小圆的组合，而半径r的小圆面积应为负值。
　　形心C的z坐标为负值，表示形心C位于原点的左侧。　
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