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(共20张PPT)
第七章 截面的几何性质
知识目标：
了解静矩、惯性矩和惯性积等概念。
熟悉形心的概念，掌握组合图形形心的计算公式和步骤。
熟悉平行移轴公式，掌握组合图形的惯性矩计算方法。
能力目标：
会进行简单图形静矩的计算。
熟记矩形和圆形对形心轴的惯性矩的计算公式。
能熟练地计算组合图形的惯性矩
第七章
重心和静矩
第一节
惯性矩、极惯性矩和惯性积
第二节
惯性积的平行移轴公式
第三节
第二节　惯性矩、极惯性矩和惯性积
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一、惯性矩及简单图形的惯性矩
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　　1. 惯性矩的定义
　　设任意平面图形如图7-7所示，面积为A，zoy为平面图形所在平面内的坐标系。
　　平面图形对z轴（或y轴）的惯性矩，用Iz（或Iy）表示，定义
　　从惯性矩的定义可以看出，惯性矩是对坐标轴而言的。同一图形对不同的坐标轴，其惯性矩不同。式(7-9)中，z2、y2恒为正值，故惯性矩也恒为正值。常用单位为m4或mm4。
(7-9)
图7-7
一、惯性矩及简单图形的惯性矩
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　　2. 常用的一些简单图形的惯性矩
　　高度为h宽度为b的矩形对其形心轴zC和yC的惯性矩分别为
　　直径为d的圆形对其形心轴 zC和yC的惯性矩分别为
　　在建筑工程中，常用图形的惯性矩可在有关计算手册中查到，型钢截面的惯性矩可在型钢表中查找。
，
二、极惯性矩
平面图形对原点的极惯性矩，用Ip表示，定义
　　平面图形的极惯性矩是对点来言的，同一图形对不同点的极惯性矩也不相同。式(7-10)中，ρ2恒为正值，故极惯性矩也恒为正值。常用单位为m4或mm4。
　　平面图形对任一点的极惯性矩，等于平面图形对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。即 Ip=Iz+Iy
(7-10)
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三、惯性积
　　平面图形对z、y两轴的惯性积，用Izy表示，定义
　　惯性积是平面图形对某两个正交坐标轴而言，同一图形对不同的正交坐标轴，其惯性积不同。由于坐标值z、y有正负，因此惯性积可能为正或负，也可能为零。它的单位为m4或mm4。
　　两个坐标轴中只要有一根轴为平面图形的对称轴，则该图形对这一对坐标轴的惯性积一定等于零。
(7-12)
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三、惯性积
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　 【例7-5】矩形截面的尺寸如图7-9所示。试计算矩形截面对其形心轴z、y轴的惯性矩及惯性积。
解：(1)计算矩形截面对z轴和y轴的惯性矩
取平行于z轴的微面积dA，如图7-9所示，dA到z轴的距离为y，则
同理可得，矩形截面对 y轴的惯性矩为
　　(2)计算矩形截面对、轴的惯性积
因为z、y轴为矩形截面的两根对称轴，故　
　
图 7-9
三、惯性积
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　　【例7-6】计算如图7-10所示圆形、圆环形对坐标原点的极惯性矩。
解：现求直径为d的实心圆截面对圆心O的极惯性矩。可取厚度为 的圆环作为微面积，如图7-10（a）所示，其微面积为
图 7-10
　　同理可求得如图7-10（b）所示空心圆截面的极惯性矩为
第三节　惯性矩的平行移轴公式
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一、平行移轴公式
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　　惯性矩平行移轴定理：图形对任一轴的惯性矩，等于图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩，再加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积。如图7-12所示，则有
式（7-13）称为惯性矩的平行移轴公式。显然，在所有平行轴中，平面图形对形心轴的惯性矩最小。
图7-12
（7-13）
一、平行移轴公式
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　　【例7-7】计算如图7-13所示的矩形截面对z1轴和y1轴的惯性矩。
　　解：z、y轴是矩形截面的形心轴，它们分别与z1轴和y1轴平行，则由平行移轴公式(7-13)可得，矩形截面对z1轴和y1轴的惯性矩分别为
图7-13
二、组合图形的惯性矩计算
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　　在计算组合图形对其形心轴的惯性矩时，首先应确定组合图形的形心位置，然后通过积分或查表求得各简单图形对自身形心轴的惯性矩，再利用平行移轴公式，就可计算出组合图形对其形心轴的惯性矩。
　　由惯性矩定义可知，组合图形对任一轴的惯性矩，等于组成组合图形的各简单图形对同一轴惯性矩之和。即
(7-14)
二、组合图形的惯性矩计算
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　　【例7-8】试计算图7-14所示的T形截面对其形心轴z、y的惯性矩。
图7-14
二、组合图形的惯性矩计算
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　　解（1）计算截面的形心位置
　　由于T形截面有一根对称轴，形心必在此轴上。即zc=0。
　　选坐标系yoz，将T形分成两个矩形Ⅰ、Ⅱ，如图7-14（a）所示。
二、组合图形的惯性矩计算
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　　（2）计算组合图形对形心轴的惯性矩Iz 、 Iy
　　首先分别求出矩形Ⅰ、Ⅱ对形心轴z的惯性矩。
整个图形对z、y轴的惯性矩分别为
二、组合图形的惯性矩计算
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图7-15
　　【例7-9】试计算图7-15所示的由方钢和工字钢组成的组合图形对形心轴z、y的惯性矩。
　　解：(1)计算组合图形的形心位置
　　取z’轴作为参考轴，y轴为组合图形的对称轴，组合图形的形心必在y轴上，故zC=0。现只需计算组合图形的形心坐标yC。由附录的型钢表查得工字钢b=100mm，h=200mm，
其截面面积A1=35.578cm2。由式(7-8)可得
二、组合图形的惯性矩计算
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　　(2)计算组合图形对形心轴z、y的惯性矩
　　首先计算工字钢和方钢截面各自对本身形心轴z、y的惯性矩。由附表得
　　由平行移轴公式(7-13)可得工字钢和方钢截面分别对z轴的惯性矩为
二、组合图形的惯性矩计算
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　　整个组合图形对形心轴的惯性矩应等于工字钢和方钢截面对形心轴的惯性矩之和，故得
本 章 小 结 ：
本章主要介绍了形心、静矩、惯性矩、惯性积等的概念和计算，同时还介绍了惯性矩的平行移轴公式。
1.平面图形上所有微面积对 z 轴（或 y 轴）的静矩之和，称为该平面图形对 z轴（或y 轴）的静矩，用Sz 或 S y 表示。
2.平面图形的静矩，等于该图形面积与其形心坐标的乘积。
3.计算组合图形形心的方法有分割法和负面积法两种。
4.整个平面图形上各微面积对 z 轴（或 y 轴）惯性矩的总和称为该平面图形对 z轴（或 y 轴）的惯性矩，用 Iz （或 Iy ）表示。
5. 整个平面图形上各微面积对原点极惯性矩的总和称为该平面图形对原点的极惯性矩，用 Ip表示。
6.整个图形上所有微面积对z、y两轴惯性积的总和称为该图形对z、y两轴的惯性积，用Izy表示。
7.惯性矩的平行移轴定理：图形对任一轴的惯性矩，等于图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩，再加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积。
显然，在所有互相平行的坐标轴中，平面图形对形心轴的惯性矩最小。

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