资源简介

(共27张PPT)
第九章 梁的承载能力计算
知识目标：
理解纯弯曲、横力弯曲的概念
熟悉梁横截面上的正应力及强度计算公式
理解提高梁弯曲强度的措施
了解梁的变形计算
能力目标：
会描述梁横截面上的正应力和剪应力分布规律
熟练掌握梁的弯曲正应力强度计算
会进行梁的剪应力强度校核
能阐述提高梁弯曲强度的措施
第九章
梁横截面上的切应力
第二节
纯弯曲梁横截面上的正应力
第一节
梁的弯曲强度计算
第三节
提高梁的弯曲强度的措施
第四节
梁的变形及刚度计算
第六节
梁的应力状态
第五节
第二节 梁横截面上的切应力
返回
下一页
上一页
　　梁横截面上切应力的计算公式为：
　　计算时一律按绝对值代入计算出切应力的大小，切应力的方向与剪力的方向一致。
(9-2)
一、矩形截面梁横截面上的切应力
返回
下一页
上一页
　　图9-9(a)所示为高度h大于宽度b的矩形截面梁，横截面上的剪力FS沿y轴方向作用，矩形截面梁横截面上的切应力计算公式为
　　上式表明：矩形截面梁横截面上的切应力沿截面高度呈抛物线规律变化，截面的上、下边缘各点切应力为零，中性轴上各点切应力最大，矩形截面梁横截面上最大切应力为截面平均切应力的1.5倍。
图9-9
二、工字形截面梁的切应力
返回
下一页
上一页
　　工字形截面上、下两横条称为翼板；中间的竖条称为腹板；工字形截面上任意一点的切应力可以用公式（9-2）来计算，切应力沿腹板高度按抛物线规律分布，如图9-10（b）所示，显然，在中性轴上切应力最大。
　　由理论分析可知，工字形截面的腹板上几乎承受了截面上的95%左右的剪力，而且腹板上的切应力又接近于均匀分布，故可以近似地得出工字形截面切应力的计算公式：
（9-4）
图9-10
三、圆形截面梁横截面上的最大切应力
返回
下一页
上一页
　　圆形截面梁横截面上的最大切应力发生在中性轴上，并沿中性轴均匀分布，如图9-11所示，其值为：
（9-5）
　　其它形状的截面，一般地说，最大切应力也出现在中性轴上各点。
图9-11
三、圆形截面梁横截面上的最大切应力
返回
下一页
上一页
　　【例9-3】 一矩形截面简支梁在跨中受集中力F=40kN的作用，如图9-12(a)所示，已知l=10m ，b=100mm , h=200mm 。
　　（1）计算m—m 截面上距中性轴y=50mm 处的切应力；
　　（2）计算梁中的最大切应力。
图9-12
三、圆形截面梁横截面上的最大切应力
返回
下一页
上一页
　　解：由对称性可知梁的支痤反力为：FA=FB=0.5F=20kN （↑）
　　（1）计算m—m截面上y=50mm处的切应力：
　　由剪力计算法则得m—m截面上的剪力为：FS=FA=20kN
　　横截面对中性轴的惯性矩Iz和阴影部分的面积对中性轴的静矩SZ*分别为：
　　所以y=50mm处的切应力为：
　　（2）计算梁中的最大切应力：
　　由剪力图可知梁中最大的剪力为FSmax=20kN
三、圆形截面梁横截面上的最大切应力
返回
下一页
上一页
　　梁中的最大切应力为：
　　截面的最大切应力也可以用式（9-3）进行计算，即
第三节 梁的弯曲强度计算
一、弯曲正应力的强度计算
返回
下一页
上一页
　　1．梁上的最大正应力
　　由式（9-1）可知，等直梁的最大弯曲正应力，发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的各点处，即
　　引入　　　　则有
　　Wz称为抗弯截面模量，是一个只与横截面的形状及尺寸有关的几何量，常用来衡量截面的抗弯能力，Wz值越大，梁的抗弯能力越强。
一、弯曲正应力的强度计算
返回
下一页
上一页
　　2.弯曲正应力的强度条件
　　对于工程上的细长梁，强度的主要控制因素是弯曲正应力。为了保证梁能安全、正常地工作，必须使梁内最大正应力σmax不超过材料的许用应力[σ]，故梁的正应力强度条件为：
　　对于塑性材料（如低碳钢），因抗拉和抗压强度相等，故应取梁内绝对值最大的正应力（最大拉应力或最大压应力）作为式（9-6）中的工作应力σmax。
（9-6）
一、弯曲正应力的强度计算
返回
下一页
上一页
　　对于脆性材料，因其抗拉和抗压强度不同，故通常采用上下不对称于中性轴的梁截面形式，如图9-14所示，因截面上、下边缘到中性轴距离不同，假设截面受正弯矩作用，所以同一个截面有两个抗弯截面系数：W1=Iz /y1 ，W2=Iz /y2
　　应用（9-6）式时，应该全部代绝对值进行计算，并分别建立拉、压的强度条件
图9-14
一、弯曲正应力的强度计算
返回
下一页
上一页
　　3．弯曲正应力强度计算
　　应用强度条件公式（9-6），可解决梁的强度方面的三类问题。
　　（1）强度校核：在已知梁的材料、截面形状与尺寸以及所受荷载的情况下，检查梁的最大正应力是否满足强度条件。即：σmax=Mmax/ Wz≤[σ]
　　（2）截面设计：当已知荷载和所用材料时，可根据强度条件，设计截面尺寸。公式（9-6）可改写为Wz≥Mmax/ [σ]。求出后，再根据所选的截面形状来确定截面尺寸；若采用型钢时，则可由型钢表查得所需型钢的型号。
　　（3）计算许用荷载：若已知梁的材料及截面尺寸，则可根据强度条件确定梁所能承受的最大弯矩Mmax。则公式（9-6）可改写为Mmax≤Wz [σ]。再根据Mmax 用平衡条件确定许用外荷载。
一、弯曲正应力的强度计算
返回
下一页
上一页
　　【例9-4】 矩形截面木梁如图9-15所示。已知截面宽高比b／h=2／3，木材的许用应力为[σ] =10MPa，试选择截面尺寸。
图9-15
一、弯曲正应力的强度计算
返回
下一页
上一页
　　解：（1）画出梁的内力图如图9-15（b）、（c）所示，由图可知Mmax=1.33kN·m
　　（2）选择截面尺寸
　　由此解得：h=106mm，b=71mm。
选用截面：110mm×75mm。
一、弯曲正应力的强度计算
返回
下一页
上一页
　　【例9-5】 一铸铁梁，受力、支承及截面如图9-16所示。材料的许用拉应力 [σt] =32MPa，许用压应力[σc] =70MPa。试校核梁的正应力强度。
图9-16
一、弯曲正应力的强度计算
返回
下一页
上一页
　　解：（1）作出M图。由M图可知，B截面有最大负弯矩，C截面有最大正弯矩。
　　（2）由于所给截面的中性轴不是水平对称轴，所以应先计算截面形心位置及截面对中性轴的惯性矩。
由于y轴是对称轴，所以只需要确定形心C的竖直位置，即yC值，如图9-16（c）所示。
　　计算截面对中性轴z的惯性矩
一、弯曲正应力的强度计算
返回
下一页
上一页
　　（3）校核强度：
　　由于梁的抗拉、压强度不同，所以最大正弯矩和最大负弯矩截面都需要校核。
　　校核B截面（最大负弯矩截面）
　　上边缘处最大拉应力为
　　下边缘处最大压应力为
一、弯曲正应力的强度计算
返回
下一页
上一页
校核C截面（最大正弯矩截面）
上边缘处最大压应力为
下边缘处最大拉应力为
　　校核结果为梁不安全。
本例说明，当材料抗拉与抗压强度不相同时，截面上、下又不对称时，对梁内最大正弯矩和最大负弯矩截面均应校核。
一、弯曲正应力的强度计算
返回
下一页
上一页
　　【例9-6】 如图9-17所示NO.40a工字钢梁，跨度l=8m，跨中点受集中力作用。已知 [σ] =140MPa，考虑梁的自重。
　　（1）求梁的许可荷载[F]1 ；
　　（2）若将梁改用与工字钢截面面积相同的正方形截面，求此梁许用荷载 [F]2 。
图9-17
一、弯曲正应力的强度计算
返回
下一页
上一页
　　解：由型钢表查得工字钢每米长的自重q= 676N/m（相当于梁上作用的均布荷载），WZ=1090×103mm3，A=86.1×102mm2
　　（1）按工字钢截面求许可荷载[F]1
　　梁内最大弯矩在跨度中间处
根据强度条件：
则有
解得
所以，按工字钢截面求得的许可荷载[F]1为73.6kN。
一、弯曲正应力的强度计算
返回
下一页
上一页
　　（2）改用正方形截面求许可荷载
　　首先根据两个截面面积相等的条件确定正方形截面的边长为
所以正方形截面的抗弯截面系数为
　　由　　　　　，得
所以，按正方形截面求得的许可荷载[F]2为6.6kN。
一、弯曲正应力的强度计算
返回
下一页
上一页
　　通过上例计算可见：尽管两梁的截面面积相等，但其截面形状不同，从而抗弯截面系数不同， 抗弯能力也不同。此例，工字梁的抗弯能力为正方形梁的8.2倍，即
　　这也说明了为什么常用钢梁不采用方形钢而要轧制成型钢（如工字钢、槽钢等）的原因。也说明了截面形状对梁抗弯能力的巨大影响。
二、梁的切应力强度校核
返回
下一页
上一页
　　在梁的强度计算中，必须同时满足弯曲正应力强度条件和切应力强度条件。但在一般情况下，梁的强度计算由正应力强度条件控制。因此，在选择梁的截面时，可先按正应力强度条件计算截面尺寸，再用切应力强度条件校核。一般情况下，切应力强度都能满足，但在少数特殊情况下，有可能切应力强度条件成为控制条件，需作切应力强度校核。例如：当梁的跨度很小或在梁的支座附近有很大的集中力作用时，梁的最大弯矩比较小而剪力却很大；在组合工字钢梁中，如果腹板的厚度很小，腹板上的切应力就可能很大；在木梁中，由于木材在顺纹方向的抗
　　梁的切应力强度条件为：
（9-7）
剪能力很差，当截面上切应力很大时，木梁也可能沿中性层剪坏。
二、梁的切应力强度校核
返回
下一页
上一页
　　【例9-7】 一外伸工字形钢梁，工字钢型号为22a，梁上作用荷载如图9-18所示，已知l=6m，F=30kN，q=6kN/m，材料的容许应力[σ] =170MPa，[τ]=100MPa，校核此梁是否安全。
图9-18
二、梁的切应力强度校核
返回
下一页
上一页
　　解：（1）画出梁的剪力图和弯矩图如图9-18所示。
　　（2）最大正应力和最大切应力分别发生在最大弯矩和最大剪力所在的截面上。Wz、b以及计算中性轴上最大切应力所需的S*zmax均可在型钢表中查得。
Wz=309cm3=0.309×10-3m3 ，Iz/S*zmax =18.9cm=0.189m，
b=d=7.5mm=0.0075m
σmax=Mmax/ Wz=39×103/0.309×10-3=126×106N/mm2
　　　 =126MPa＜[σ]
τmax=FSmax · S*Zmax/ Iz·b =17×103/0.189×0.0075
　 =12×106N/mm2=12MPa＜[τ]
所以梁是安全的。

展开更多......

收起↑