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第三章　平面力系的合成与平衡
知识目标：
掌握平面汇交力系的合成方法和平衡条件
掌握平面一般力系的简化，理解平面一般力系的简化结果
掌握平面一般力系的平衡条件及应用
能力目标：
会用平面汇交力系的平衡方程求解平面汇交力系的平衡问题
能进行平面一般力系的简化，解释主矢和主矩的概念
能熟练运用平面一般力系的平衡方程求解物体系统的平衡问题
第三章
平面汇交力系
第一节
平面力偶系
第二节
平面一般力系的简化
第三节
平面一般力系的平衡条件及应用
第四节
　　力学中对力系的研究是分类进行的，综合起来考虑，力系共分为八大类:
　　本书只研究平面力系中的四类，即平面汇交力系、平面力偶系、平面平行力系、平面任意力系。
平面力偶系
平面平行力系
平面任意力系
空间力系
力系
空间汇交力系
空间力偶系
空间平行力系
空间任意力系
平面力系
平面汇交力系
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第一节　平面汇交力系
　　本节将研究平面汇交力系的合成和平衡问题，其研究方法分别是几何法和解析法。
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一、平面汇交力系合成与平衡的几何法
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　　（一）平面汇交力系合成的几何法
　　平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的作用线通过各力的汇交点，合力的大小和方向由力多边形的封闭边表示。即合力矢等于各个力的矢量和，用公式表示为：
　　刚体受到平面汇交力系F1，F2，F3，F4的作用，各力作用线汇交于点A，如图3-1(a)所示，应用力的三角形法则，可求此平面汇交力系的合力，如图3-2(b)、(c)所示。
图3-1
(3-1)
　　各力矢和合力矢形成的多边形abcde称为力多边形，代表合力矢的ae边称为力多边形的封闭边。这种以力多边形求合力矢的作图规则，称为力多边形法则。应用力多边形法则求合力的方法称为平面汇交力系合成的几何法。
　　用几何法求合力时，应注意以下几点：
　　（1）选择适当的力的比例尺，画出力的大小和方向。
　　（2）作力多边形时，可任意变换力的次序得到不同形状的力多边形，合成的结果不变。
　　（3）各个力矢量首尾相连，合力矢的方向是从第一个力的起点指向最后一个的终点。
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一、平面汇交力系合成与平衡的几何法
　　（二）平面汇交力系平衡的几何条件
　　平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。在几何法中，当合力FR等于零时，力多边形的封闭边变为一点，各力矢首尾相连形成一个自行封闭的力多边形，见图3-2。因此，平面汇交力系平衡的几何条件是：该力系的力多边形自行封闭。
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一、平面汇交力系合成与平衡的几何法
图3-2
　　应用几何法求解平面汇交力系平衡问题的解题步骤如下：
　　（1）选取研究对象。
对于复杂问题，需选取两个或更多的研究对象。
　　（2）画受力图。
画出研究对象所受的全部主动力和约束反力。画约束反力时，先画出方向或方位已知的力，然后再根据二力杆概念或三力平衡汇交定理，确定某些约束反力的方位。
　　（3）作力多边形，求未知量。
选择适当的力的比例尺，从已知力开始，作出该力系的封闭力多边形。可以根据比例用直尺和量角器在图上量得所要求的未知量，也可以根据力多边形图形的几何关系，用三角公式计算出所要求的未知量。
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一、平面汇交力系合成与平衡的几何法
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一、平面汇交力系合成与平衡的几何法
　　【例3-1】 图3-3中钢梁重W=10kN，　　　，用几何法求平衡时钢丝绳对梁的约束反力。
图3-3
　　解：（1）选取钢梁为研究对象。
　　（2）钢梁受重力W和钢丝绳的约束反力FTB、FTD的作用，三力在同一平面内且汇交于A点，其受力图如图3-3（a）所示。
　　（3）作力多边形，求未知反力。力W、FTB、FTD应组成封闭
的力多边形。先按比例画已知力W的矢量ab，再过a和b两点作两条直线，分别与图中的力FTB、FTD平行，这两条直线交于c点，得到封闭的三角形abc。根据力多边形法则各力矢首尾相连的次序，画出bc和ca的指向，则矢量bc、ca分别表示力FTB、FTD的大小和方向，如图3-3（b）图所示。
测量bc和ca的长度，得到：
二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
　　（一）力在直角坐标轴上的投影
　　从力F的两个端点A和B分别向x轴和y轴作垂线，线段ab的长度加上正号或负号称为力F在x轴上的投影，线段a’b’ 的长度加上正号或负号称为力F在y轴上的投影，分别用　、　表示，如图3-4所示，则力F在坐标轴上的投影分别为：
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式中为力F与x轴正向之间的夹角。
图3-4
(3-2)
　　力在坐标轴上的投影是代数量。投影的正负号规定为：当起点投影至终点投影的指向与坐标轴正向一致时，则投影为正，反之为负。
　　若已知力在x轴和y轴上的投影时，由几何关系可求得该力矢的大小和方向，即
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二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
(3-3)
　　【例3-2】试分别计算图3-5中各力在x轴和y轴上的投影。已知　　　　，　　　　，　　　　，　　　　，各力的方向如图3-5所示。?
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二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
图3-5
　　解：各力在x、y轴上的投影分别为：
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二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
　　（二）合力投影定理
　　力系的合力在任一坐标轴上的投影，等于力系中各分力在同一轴上投影的代数和。这就是合力投影定理。即
(3-4)
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二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
　　（三）平面汇交力系合成的解析法
　　若已知平面汇交力系中各力在坐标轴上的投影，可按式（3-4）计算出合力的投影。将合力的投影代入式（3-3），得到合力FR的大小和方向为
(3-5)
式中，α表示合力FR与x轴正向之间的夹角。
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二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
合力FR的指向需要根据 　、 　的正负号来判断：
（1）若 　、 　均为正值，合力FR指向第一象限；
（2）若　 为负值、　为正值，合力FR指向第二象限；
（3）若 、　均为负值，合力FR指向第三象限；
（4）若 为正值、　为负值，合力FR指向第四象限。
　　运用式(3-5)可以计算合力FR的大小和方向，这种方法称为平面汇交力系合成的解析法。
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二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
　　【例3-3】如图3-7所示的平面汇交力系，试用解析法求该力系合力的大小和方向。
　　解： (1)求合力FR在x轴、y轴上投影 　、　
图3-7
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二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
解得：　　　　或
(2)求合力FR的大小和方向
　　　为负值、　为正值，故合力FR指向第二象限, FR与x轴正向的夹角为　　　。
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二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
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　　（四）平面汇交力系平衡的解析条件
　　平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力FR等于零。即
　　　　　　　　　　　　　　　(3-6)
　　要使上式成立，须同时满足　
　　　　　　　　　　　
　　即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在两个坐轴上投影的代数和均等于零。式(3-7)称为平面汇交力系的平衡方程。平面汇交力系只有两个独立的平衡方程，只能求解两个未知量。
(3-7)
二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
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　　应用解析法求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤：
　　（1）选取研究对象。
　　（2）画受力图。
　　（3）选择坐标系，列平衡方程，求解方程。
　　【例3-4】如图3-8（a）所示， A、B和C为铰链连接。已知AC=CD；斜杆BC与横梁AD的夹角为　；荷载　　　　，作用于D处。不计梁和杆的自重，试求铰链A的约束反力和斜杆BC所受的力。
图3-8
二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
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　　解：（1）选择横梁AD为研究对象。
　　（2）画出横梁AD的受力图如图3-8（b）所示。BC杆为二力杆，它对横梁C处的约束反力FC必然沿两铰链D、C中心的连线，铰链A的约束反力FA的作用线必通过FC和F的作用线的交点E。
　　　　　　　　　　　　　
　　（3）列平衡方程，求解未知量
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　解得：　　　　　kN，　　　　kN
　　FA的指向与假定的指向相同，FC的指向与假定的指向相同。
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二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
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【例3- 】简易绞车如图3-9（a）所示，支架由AB和AC杆构成，A、B和C处为铰链连接。钢丝绳一端缠绕在绞车D上，另一端绕过滑轮A，将重为P=20kN的物体吊起。若两杆和滑轮的自重不计，忽略摩擦和滑轮的大小，求平衡时AB和AC杆所受的力。
　　 解：（1）AB和AC杆都是二力杆，其受力如图3-9（b）所示。
（2）选择滑轮A（含销钉A和轮上的两段绳子）为研究对象，画出滑轮A的受力图、建立平面直角坐标系如图3-9（c）所示。
　 （3）列平衡方程，求解未知量：
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
解得：RAB=9.3kN，RAC=35.9kN
AB和AC杆所受的力分别与力和等值反向。因此，AB杆受拉力作用，AC杆受压力作用。
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