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(共41张PPT)
01
立体的投影
§1 平面立体的投影
§2 曲面立体的投影
立体的投影
1.培养学生三维空间的想象力；
2.通过分析平面及曲面基本体在三视图上的投影，培养学生自己动手绘制三视图的能力。
能力目标
通过教学模型练习，为以后的学习打好基础 。
素质目标
立体的投影
立体表面是由若干面所组成。表面均为平面的立体称为平面立体；表面为曲面或平面与曲面的立体称为曲面立体。
在投影图上表示一个立体，就是把这些平面和曲面表达出来，然后根据可见性原理判断那些线条是可见的或是不可见的，分别用实线和虚线来表达，从而得到立体的投影图。
本节内容是在研究点、线、面投影的基础上进一步论述立体的投影作图问题。
立体的投影
1 平面立体的投影
常见的基本几何体
平面基本体
曲面基本体
立体的投影
1 平面立体的投影
基本体是构成复杂物体的基本单元，一般也称基本体为简单形体。本节主要介绍基本体的投影以及基本体表面上点的求作方法。
棱柱、棱锥都是常见的平面立体。绘制平面立体的投影图，就是按照投影规律绘出立体表面上的所有轮廓线。对于立体上的不可见轮廓线应画成虚线。
一、平面立体的投影及其表面取点
立体的投影
1 平面立体的投影
1)、棱柱的投影
由两个底面和几个侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，侧棱线相互平行。
a'
d'
e'
b'
c'
a
b
dc
e
e"
c"
d"
a"
b"
A
D
C
E
B
X
Z
Y
正六棱柱的投影
如图,为一正六棱柱，其顶面、底面均为水平面，它们的水平投影反映实形，正面及侧面投影重影为一直线。
1、棱柱
顶面
底面
侧棱面
立体的投影
1 平面立体的投影
a'
d'
e'
b'
c'
a
b
dc
e
e"
c"
d"
a"
b"
A
D
C
E
B
X
Z
Y
正六棱柱的投影
棱柱有六个侧棱面，前后棱面为正平面，它们的正面投影反映实形，水平投影及侧面投影重影为一条直线。
立体的投影
1 平面立体的投影
a'
d'
e'
b'
c'
a
b
dc
e
e"
c"
d"
a"
b"
A
D
C
E
B
X
Z
Y
正六棱柱的投影
棱柱的其它四个侧棱面均为铅垂面，其水平投影重影为直线，正面投影和侧面投影均为类似形．
立体的投影
1 平面立体的投影
a'
d'
e'
b'
c'
a
b
dc
e
e"
c"
d"
a"
b"
A
D
C
E
B
X
Z
Y
正六棱柱的投影图
a
(b)
d(c)
e
a’
b’
d’
c’
e’
a”
b”
d”
c”
X
Z
YH
YW
作投影图时，先画出正六棱柱的水平投影正六边形，再根据其它投影规律画出其它的两个投影。
　棱柱的投影特点：一个投影反映底面实形，而其余两投影则为矩形或复合矩形。
立体的投影
1 平面立体的投影
说明：
(1).点一定是在立体的表面上
(2).立体表面上的点的投影仍然符合点的投影规律。
在立体表面上求作点的方法，是后面学习立体的截断、开槽和相贯的作图基础。
2). 棱柱表面取点
问题：六棱柱表面上给出A点的正面投影a '，如何求得A点的另两投影？
立体的投影
1 平面立体的投影
点的可见性判断：
点所在表面的投影可见,点的投影也可见；反之亦然；若点所在表面的投影积聚成直线，点的投影认为可见
取点的方法：
A

a

(b )
(B)

b

a

a

b

c

c

c
C
(1).利用点的投影规律
(2).借助于六棱柱表面的积聚性投影
2). 棱柱表面取点

d

d

(d )
D
立体的投影
1 平面立体的投影
由一个底面和几个侧棱面组成。侧棱线交于有限远的一点——锥顶。
1、棱锥
1)、棱锥的投影
棱锥的组成:
以三棱锥为例
椎顶
侧棱线
底面
A
B
C
S

侧棱面
立体的投影
1 平面立体的投影
S
A
B
C
W
V
a'
s'
b'
s"
a
b
c
b"
a"
c"
s
X
Y
Z
一正三棱锥，锥顶为S，其底面为△ABC呈水平位置，水平投影△abc反映实形。
棱面△SAB、 △SBC是一般位置平面，它们的各个投影均为类似形
棱面△SAC为侧垂面，其侧面投影s”a”c”重影为一直线。
棱锥的三视图投影
棱锥处于图示位置时，其底面ABC是水平面，在俯视图上反映实形。侧棱面SAC为侧垂面，另两个侧棱面为一般位置平面。
立体的投影
1 平面立体的投影
底边AB、BC为水平线，AC为侧垂线，棱线SB为侧平线，SA、SC为一般位置直线，它们的投影可根据不同位置直线的投影特性进行分析。
S
A
B
C
W
V
a'
s'
b'
s"
a
b
c
b"
a"
c"
s
X
Y
Z
正三棱锥的投影
立体的投影
1 平面立体的投影
b
A
B
C
S

s

s

a
b
c
① 画反映实形的底面的水平投影（等边三角形），再画ΔABC的正面投影和侧面投影，它们分别积聚成水平直线段；
② 根据锥高再画顶点S的三面投影
a
c
a (c )
b
③ 最后将锥顶S与点A、B、C的同面投影相连，即得到三棱锥的投影图。
④ 最后检查清理底稿，按规定线型加深。
s

画图步骤
　棱锥的投影特点：一个投影反映棱锥底面实形（正多边形），另两个投影为一个或多个三角形。
立体的投影
1 平面立体的投影
s
(b )
s
a
B
a
c
b
c
c
s
b
C
A
S
a
2
2
2
Ⅱ
２)、棱锥表面上取点
若点在棱线上利用点的从属性求解；若点所在的面有积聚性利用积聚性求解．
(1)
1
1
1
若点所在的面无积聚性，如何求呢？
立体的投影
1 平面立体的投影
连接s’m’并延长，与a’c’交于2’，
2’
m
2
在投影ac上求出Ⅱ点的水平投影2。
连接s2，即求出直线SⅡ的水平投影
根据在直线上的点的投影规律，求出M点的水平投影m。
再根据知二求三的方法，求出m”。
m”
a’
s
b
c
s’
a
c’
b’
a”(b”)
c”
s”
m’
X
Y H
Z
YW
２)、棱锥表面上取点
作辅助线方法一
立体的投影
1 平面立体的投影
1’
1
m
过m’作m’1’ ∥a’c’，交s’a’于1’。
求出Ⅰ点的水平投影1。
过1作1m ∥ac，再根据点在直线上的几何条件，求出m 。
再根据知二求三的方法，求出m”。（具体步骤略)
s
c’
b’
正三棱锥的三面投影图
s’
a
b
c
a’
a”(b”)
c”
s”
m’
作辅助线方法二
立体的投影
1 平面立体的投影
( )
s

s


k

k

k
b
a
c
a
b
c
a (c )
b
s


n

n

n
２)、棱锥表面上取点
A
B
C
S

　　也可不用作450辅助线及投影轴线，而直接量取．注意判断点的可见性．
例：作三棱锥的侧面投影，并作出表面上的折线ABCD的正面投影和侧面投影。
a”
d’
△Y
△Y
(d)”
1 平面立体的投影
立体的投影
2 曲面立体的投影
工程中常见的曲面立体是回转体，主要有圆柱、圆锥、球、环等。回转体是一动线（直线、圆弧或其它曲线）绕一定线（直线）回转一周形成的曲面。
回转面—一条线绕着另一条线旋转其运动的轨迹称为回转面。
母线—运动的线（直线或曲线）
轴线—即不动的线
素线—母线位于回转面任一位置时的线
回转面的共同特点：垂直于轴线的平面截切时，切口的形状为一圆（圆弧）。
立体的投影
2 曲面立体的投影
回转面用转向轮廓线表示。转向轮廓线是与曲面相切的投射线与投影面的交点所组成的线段。
在投影图上表示回转体，就是把组成立体的回转面或平面表示出来，然后判断可见性。
转向轮廓线
转向轮廓线
立体的投影
2 曲面立体的投影
顶 面
底 面
圆柱面
一直线绕与它平行的轴线旋转一周而成。
圆柱面上所有素线都与轴线平行。
1、圆柱
1)、圆柱的投影
由圆柱面和顶面、底面所组成
圆柱的组成:
圆柱面的形成:
立体的投影
2 曲面立体的投影
X
Z
Y
圆柱的三面投影图
H
V
W
a’
a’
b’
c’d’
c’d’
a
c
d
b
A
A
C
D
B
C
d”
c”
d”
c”
a”b”
a”b”
圆柱的投影分析
圆柱的轴线垂直于H面，其上下底圆为水平面，水平投影反映实形，其正面和侧面投影重影为一直线。而圆柱面则用曲面投影的转向轮廓线表示。
一个投影为圆，其余二投影均为矩形。规定：回转体对某投影面的转向轮廓线，只能在该投影面上画出，而在其它投影面上则不再画出。
1)、圆柱的投影
立体的投影
2 曲面立体的投影
X
Z
Y
H
W
a’
a’
b’
c’d’
c’d’
a
c
d
b
A
A
C
D
B
C
d”
c”
d”
c”
a”b”
a”b”
V
a
b
a’
a’
b’
b’
a”(b”)
a”(b”)
c’(d’)
c’(d’)
c
d
d’
d’
c’
c’
圆柱的投影
圆柱投影图的绘制：
（1） 先绘出圆柱的对称线、回转轴线。
（2）绘出圆柱的顶面和底面。
（3）画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线
正面转向轮廓线
侧面转向轮廓线
立体的投影
2 曲面立体的投影
已知点 M 、N 、A 、B正面投影m ′、n′、a’和 b’，求的其余两投影。
２)、圆柱表面上取点
a’
a”
a
b’
(b”)
b
积聚性
点的从属性
A1
A
O
O1
立体的投影
2 曲面立体的投影
由直线绕与它相交的轴线旋转而成。
底 面
圆锥面
圆锥面上所有素线都与轴线相交于锥顶点。
2、圆锥
1)、圆锥的投影
圆锥的组成:
由圆锥面和底面所组成
圆锥面的形成:
立体的投影
2 曲面立体的投影
X
Z
Y
　 圆锥的三面投影图
H
V
W
a
c
d
b
A
C
B
S
a’
b’
c’d’
s’
s”
c”
d”
a”
(b”)
圆锥轴线垂直H面，底面为水平面，它的水平投影反映实形，正面和侧面投影重影为一直线。
对于圆锥面，要分别画出正面和侧面转向轮廓线
正面转向轮廓线
侧面转向轮廓线
1)、圆锥的投影
圆锥的投影分析：
一个投影为圆，其余二投影均为三角形。规定：回转体对某投影面的转向轮廓线，只能在该投影面上画出，而在其它投影面上则不再画出
立体的投影
2 曲面立体的投影
圆锥投影图的绘制：
s’
a’
b’
s
a
b
c
d
c”
d”
c’(d’)
s”
a’(b’)
（1） 先绘出圆锥的对称线、回转轴线。
（2）在水平投影面上绘出圆锥底圆，正面投影和侧面投影积聚为直线。
(3) 作出锥顶的正面投影和侧面投影并画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线。
X
Z
Y
H
V
W
a
c
d
b
A
C
B
S
a’
b’
c’d’
s’
s”
c”
d”
a”
(b”)
立体的投影
2 曲面立体的投影
(1)、特殊位置点
已知棱锥表面上点的投影1 、2 、3，求其它两面投影。
2)、在圆锥表面取点
s

(2 )
s
a
c
b
d
a
c
b (d )
d
b
a ( c )

1

1

1

2

2

(3)

3
3

解决办法？
点的从属性；
面的积聚性．
立体的投影
2 曲面立体的投影
方法一：素线法
过M点及锥顶S作一条素线SⅠ,先求出素线SⅠ的投影,再求出素线上的M点。
X
Z
Y
圆锥的三面投影图
H
V
W
a
c
d
b
A
C
B
S
a’
b’
c’d’
s’
s”
c”
d”
a”
(b”)
m
m’
m”
M
2)、在圆锥表面取点
(2) 一般位置点
立体的投影
2 曲面立体的投影
已知圆锥表面的点M的正面投影m’,求出M点的其它投影
过m’s’作圆锥表面上的素线，延长交底圆为1’。
1’
1
m
m”
a’(b’)
s
s”
a
b
c
d
c”
d”
s’
a’
b’
c’(d’)
m’
求出素线的水平投影s1,
求出M点的水平投影和侧面投影,并判断可见性.
圆锥的投影及表面上的点
立体的投影
2 曲面立体的投影
X
Z
Y
圆锥的三面投影图
H
V
W
a
c
d
b
a’
b’
c’d’
s’
s”
c”
d”
a”
(b”)
A
C
B
S
方法二：辅助圆法
过M点作一平行与底面的水平辅助圆，该圆的正面投影为过m’且平行于a’b’的直线2’3’，它们的水平投影为一直径等于2’3’的圆，m在圆周上，由此求出m及m”。
m
M
m’
m”
立体的投影
2 曲面立体的投影
m’
s’
s
s”
a’
a
b’
b
c”
d”
m
m”
以s为中心，以sm为半径画圆，
已知圆锥面上M点的水平投影m，求出其m’和m”。
作出辅助圆的正面投影2’3’。
2
3
2’
3’
求出m’及m”的投影并判断可见性.
圆锥的投影及表面上的点
立体的投影
2 曲面立体的投影
m
m
m
n
n
(
)
n
(
)
例3-2 已知圆锥表面上点M及N的正面投影m′和n′，求它们的其余两投影。
在圆锥表面上定点
a’
a
(a”)
立体的投影
2 曲面立体的投影
球由球面构成
球面由半圆绕其直径为轴线旋
转而成。
3、球
1)、球的投影
圆球的组成:
圆球的形成:
立体的投影
2 曲面立体的投影
球的三个投影均为圆，其直径与球直径相等，但三个投影面上的圆是不同的转向轮廓线。
球的投影分析：
V面投影的圆是前后两半球的分界线圆
H面投影的圆为上下两半球的分界圆。
W面投影圆是左右两半球的分界圆。
作图方法：先定球心的三面投影，再画出与球等直径的圆
立体的投影
2 曲面立体的投影
2）.在圆球表面取点
(1)、特殊位置点
立体的投影
2 曲面立体的投影
已知M点的水平投影，求出其它两个投影。
1
2
1’
m’
m”
过m作平行于V面的正平圆12。
求正平圆的正面投影。
在辅助正平圆上求出m’和m”，并判断可见性．
o’
o”
o
球的投影及表面上的点
m
R
(2) 一般位置点
辅助圆法
立体的投影
2 曲面立体的投影
e
(f’)
g’’
(e’)
(e’’)
f
f’’
g
g’
例3－3：已知球体表面上点E、F、G的一个投影，求其余两投影。
例3-4：分析立体的形状，求出表面上各点的其余投影。
2 曲面立体的投影

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