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2024年中考数学二轮复习专项训练：规律问题
一、单选题
1．已知，，，，，，，…，请你推测的个位数字是（ ）
A． B． C． D．
2．△ABC中，，∠ABC和∠ACD的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得和的平分线交于点，则为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△OAB位置如图，∠OBA=90°，点B的坐标为（1，0），每一次将△OAB绕点O逆时针旋转90°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到△OA1B1，第二次旋转得到△OA2B2，…，以此类推，则点A2022的坐标是（ ）
A．(22022，22022) B．(-22021，22021) C．(22021，-22021) D．(-22022，-22022)
4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，点绕点A旋转得到点，点绕点B旋转得到点，点绕点C旋转得到点，点绕点A旋转得到点……按此作法进行下去，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0） ．根据这个规律探索可得，第2022个点的坐标为（ ）
A．（2022，8）
B．（63，5）
C．（64，5）
D．（64，4）
6．如图，在△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B 上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法进行下去，第n个等腰三角形的底角的度数为（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中xOy中，已知点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，……，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2020A2020A2021，则点A2023的纵坐标为（ ）
A．（）2021 B．（）2022 C．（）2023 D．（）2024
8．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为(1，0)，那么点B2020的坐标为（　　）
A．(﹣1，1) B．(，0) C．(﹣1，﹣1) D．(0，)
二、填空题
9．已知整数，，，…满足下列条件，，，，，…，依次类推，则的值为 ．
10．如图，在直角三角形中，，并且在直线l上，将绕点A顺时针旋转到位置①处，得到点，将位置①的三角形绕点P顺时针旋转到位置②处，得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止（，，…在直线l上）．则： ．
11．如图，把边长为2的等边绕原点O按逆时针方向依次旋转得到按此规律下去，那么点的坐标是 ．
12．如图，将一根细长的绳子，沿中间对折，再沿对折后的绳子中对折1次，这样连续对折7次，最后用刀沿对折7次后的绳子的中间将绳子剪断，此时绳子将被剪成 段．
13．观察下列图形：第1个图形中一共有4个小圆圈，第2个图形中一共有10个小圆圈，第3个图形中一共有18个小圆圈…，按此规律排列，则第20个图形中小圆圈的个数是 ．
14．如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为A，B，C，D，E，F，点A落在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上-2025的点是 ．
15．将同样大小的正方形按下列规律摆放，重叠部分涂上阴影，则下面图案中，第1个图案有3个正方形，第2个图案有7个正方形……
若第个图案中有8087个正方形，则＝ ．
16．如图，以正六边形的中心为原点建立平面直角坐标系，过点作于点，再过点作于点，再过点作于点依次进行，若正六边形的边长为，则点的横坐标为 ．
三、解答题
17．观察下列三行数：
－2，4，－8，16，－32，64，…；①
－1，5，－7，17，－31，65，…；②
，1，－2，4，－8，16，…．③
(1)直接写出第②行第七个数是_________，第③行第七个数是________．
(2)取每行的第8个数，计算这三个数的和．
18．如图几何体是由若干棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），观察该图，探究其中的规律．
(1)第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有______个；第2个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有______个；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有______个．
(2)求出第10个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数．
(3)求出前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数的和．
19．观察下列等式：；；，将以上三个等式分别相加得，．
（1）猜想并写出：___________；
（2）直接写出下列各式的计算结果
①＝__________；
②＝_____________；
（3）探究并计算：．
20．如图，将连续的奇数1，3，5，7，…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用a，b，c，d，x表示．

（1）若，则______．
（2）用含x的式子分别表示数a，b，c，d．
（3）设，判断M的值能否等于2010，请说明理由．
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参考答案：
1．B
【分析】由题意得的个位数字按3，9，7，1四个数一循环的规律出现，可通过计算2018÷4的余数求解．
【详解】解：∵，，，，，，，…，
∴的个位数字按3，9，7，1四个数一循环的规律出现，
∵2018÷4＝504…2，
∴的个位数字是9，
故选：B．
【点睛】此题考查了解决实数尾数特征规律问题的能力，关键是能通过计算、归纳出该问题循环出现的规律．
2．D
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得，再结合角平分线的定义，找出角变化的规律即可求解．
【详解】∵平分∠ABC，平分∠ACD，
∴＝∠ABC，＝∠ACD，
∴＝∠ACD﹣∠ABC＝∠A，
同理可得＝＝∠A，
∴＝∠A，
∵，
∴＝，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图，然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．
3．D
【分析】△AOB是等腰直角三角形，OA=1，根据等腰直角三角形的性质，可得点A(1，1)逆时针旋转90°后可得，同理，依次类推可求得，，，这些点所位于的象限为每4次一循环，根据规律即可求出A2022的坐标．
【详解】∵是等腰直角三角形，点B的坐标为（1，0），
∴，
∴A点坐标为(1，1)．
将绕原点逆时针旋转得到等腰直角三角形，且，
再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，
依此规律，
∴点A旋转后的点所位于的象限为每4次一循环，
即，，，．
∵，
∴点与同在一个象限内．
∵，，，
∴点．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形在平面直角坐标系中旋转的规律问题，熟练掌握等腰直角三角形的性质并能够在坐标系中找到点的坐标的变化规律是解题的关键．
4．A
【分析】先画出点的坐标，再归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】解：如图，，是以6次为一个循环，
，
点的坐标与点的坐标相同，即为，
故选：A．
【点睛】本题考查规律型：坐标与图形变化—旋转，解题关键在于归纳类推出一般规律．
5．C
【分析】把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，以此类推，第一列有1个点，第二列有2个点…第n列有n个点，可得前n列共有个点，第n列最下面的点的坐标为（n，0），最后按照规律可得第2022个点的坐标．
【详解】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，以此类推，第一列有1个点，第二列有2个点…第n列有n个
∴前n列共有个点，第n列最下面的点的坐标为（n，0），
∵=2016，且列数是偶数时，点的顺序是由下而上，列数是奇数时，点的顺序是由上而下，
∴第2016个点的坐标为（63，0），
第2017个点的坐标为（64，0），
第2018个点的坐标为（64，1），
第2019个点的坐标为（64，2），
第2020个点的坐标为（64，3），
第2021个点的坐标为（64，4），
第2022个点的坐标为（64，5），
故选：C．
【点睛】本题主要考查规律型：点的坐标，根据图形得出点的坐标的规律是解答此题的关键．
6．B
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出∠An的度数．
【详解】∵在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，
∴∠BA1A==80°，
∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1==40°；
同理可得，
∠DA3A2=20°，∠EA4A3=10°，
∴∠An=，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
7．B
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出O1A1=OA1=1，O2A2=O1A2=（）1，O3A3=O2A3=（）2，即点A1的纵坐标为1；点A2的纵坐标为（），点A3的纵坐标为（）2，以此类推，从中得出规律，即可求出答案．
【详解】解：∵三角形OAA1是等边三角形，
∴OA1=OA=2，∠AOA1=60°，
∴∠O1OA1=30°．
在直角△O1OA1中，∵∠OO1A1=90°，∠O1OA1=30°，
∴O1A1=OA1=1，即点A1的纵坐标为1，
同理，O2A2=O1A2=（）1，O3A3=O2A3=（）2，
即点A2的纵坐标为（）1，
点A3的纵坐标为（）2，
…
∴点A2023的纵坐标为（）2022．
故选：B．
【点睛】此题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，解答此题的关键是通过认真分析，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，从中发现规律．
8．C
【分析】根据正方形的性质和旋转性质可发现规律：点B旋转后对应的坐标8次一循环，据此解答即可求解．
【详解】解：连接OB，
∵四边形OABC是正方形，A的坐标为（1，0），
∴OA=AB=OC=BC=1，∠OAB=90°，∠AOB=45°，
∴B（1，1），
由勾股定理得：，
由旋转性质得：OB=OB1=OB2=OB3=…=，
∵将正方形OABC绕点O逆时针连续旋转45°，相当于将OB绕点O逆时针连续旋转45°，
∴依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°，
∴B1（0，），B2（－1，1），B2(－，0)，B4（－1，－1），B5（0，－），B6（1，－1），B7（，0）， B8（1，1），……，
发现规律：点B旋转后对应的坐标8次一循环，
∵2020=8×252+4，
∴点B2020与点B4重合，
∴点B2020的坐标为（－1，－1），
故选：C．
【点睛】本题考查坐标与旋转规律问题、正方形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质和旋转性质，正确得出变化规律是解答的关键．
9．
【分析】本题考查实数计算中的规律问题，能根据所给的计算方式，求出前几个数并以此发现数的规律是解题的关键．依次计算出，，，…，根据发现的规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，
，
，
，
，
，
，
，
…
由此可见，和（i为偶数）相等，且都等于，
所以
故答案为：．
10．8093
【分析】观察发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，用2023除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解．
【详解】解：根据题意得：每旋转3次为一个循环组依次循环，
∵在直角三角形中，，
∴，
∵将绕点A顺时针旋转到①，可得到点，
∴；
将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；
将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时；
又∵，
∴，
故答案为：8093．
【点睛】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到的长度依次增加5，4，3，且三次一循环是解题的关键．
11．
【分析】先根据图形旋转的规律可得每旋转6次坐标一循环，可求出点的坐标与点坐标相同，进而完成解答．
【详解】解：由题意，得出每旋转=6次坐标一循环，得出余5，即的坐标与点坐标相同，即可得出点与点B1关于x轴对称，
如图：过作于C
∵等边
∴
∵
∴
由勾股定理可得：
∴
∵点与点B1关于x轴对称
∴点坐标为：，
∴点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标图形变化﹣旋转、规律型﹣点的坐标等知识，学会探究规律的方法是，解题的关键．
12．129
【分析】将一根绳子对折1次从中间剪断，绳子变成3段；有．将一根绳子对折2次，从中间剪断，绳子变成5段；有．依此类推，将一根绳子对折n次，从中间剪一刀全部剪断后，绳子变成段．
【详解】根据题意分析可得：
此时绳子将被剪成段．
故答案为：129．
【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
13．460
【分析】仔细观察图形，找到图形中圆形个数的规律即可．
【详解】解：观察图形得：
第1个图形有个圆圈，
第2个图形有个圆圈，
第3个图形有个圆圈，
…
第n个图形有个圆圈，
当时，，
故答案为：460．
【点睛】此题主要考查了图形变化规律．解题的关键是通过观察分析得出变化图形的规律．
14．
【分析】由于圆的周长为个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以6，看余数是几，再确定和谁重合．
【详解】解：由图形可知，旋转一周，点对应的数是1，点对应的数为0，点对应的数为，点对应的数据为，点对应的数为，点对应的数为，
在数轴上-2025到2的距离为，
，对应的点应该为圆上的第6个点，即点
故答案为：
【点睛】本题考查了数轴，找出圆运动的周期与数轴上的数字的对应关系是解答此类题目的关键．
15．2022
【分析】根据所给图形得出第n个图形有个正方形，则，进行计算即可得．
【详解】解：第1个图形有3个正方形，，
第2个图形有7个正方形，，
第3个图形有11个正方形，，
…，
依此类推，第n个图形有个正方形，
则，
，
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了与图形有关的规律问题，解题的关键是能够根据所给的图形找出规律．
16．
【分析】根据题意得为等边三角形，，有，递推找到规律，再计算点所处位置即可求得其横坐标．
【详解】解：∵正六边形的中心O为原点建立平面直角坐标系，，，，
∴为等边三角形，，
∴，
同理，，；
，；
则有
∵经过6次作垂线，正好点P正好在上，
∴，
即处于上，位于第二象限，
则点的横坐标．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质以及依据图形找点的规律，熟练使用正六边形和含角的直角三角形的性质，并找出规律是解题的关键．
17．(1)－127，－32
(2)这三个数的和为577
【分析】（1）根据观察，第②行第n个数为由此规律即可得到第七个数；
根据观察第③行，第n个数为由此规律即可得到第七个数；
（2）根据观察，第①行第n个数为由此规律即可得出第八个数，再将每行的第八个数相加即可得到答案．
【详解】（1）根据观察，第②行第n个数为，则第七个数为－127；
根据观察第③行，第n个数为，则第七个数为－32．
故答案为：－127；－32．
（2）第①行第n个数为由此规律即可得出第八个数，
∴第①行第8个数是256，
第②行第8个数是，
第③行第8个数是，
这三个数的和为：．
【点睛】本题考查了数字的变化规律探究、有理数的混合运算，仔细观察，得出每行数字的变化规律是解答的关键．
18．(1)4，12，20
(2)第10个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数共有76个
(3)前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的个数的和为40000个
【分析】（1）第1个几何体中最底层的4个角的小立方体只有2个面涂色；第2个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有3×4=12(个)；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有5×4=20(个)；
（2）根据所给图形中只有2个面涂色的小立方体的块数得到第n个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数与4的倍数的关系即可；
（3）根据（2）得到的规律，进行计算即可．
【详解】（1）解：观察图形可得第1个几何体中最底层的4个角的小立方体只有2个面涂色；
第2个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有3×4＝12(个)；
第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有5×4＝20(个)．
故答案为：4，12，20；
（2）解：观察图形可知：图①中，只有2个面涂色的小立方体共有4个；
图②中，只有2个面涂色的小立方体共有12个；
图③中，只有2个面涂色的小立方体共有20个．
4，12，20都是4的倍数，可分别写成4×1，4×3，4×5的形式，
因此，第n个图中两面涂色的小立方体的块数共有：4(2n﹣1)＝8n﹣4，
则第10个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数共有8×10﹣4＝76(个)；
（3）解：(8×1﹣4)+(8×2﹣4)+(8×3﹣4)+(8×4﹣4)+(8×5﹣4)+…+(8×100﹣4)
＝8(1+2+3+4+…+100)﹣100×4
＝40000(个)．
故前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的个数的和为40000个．
【点睛】本题考查了认识立体图形，图形的变化规律．得到所求块数与4的倍数的关系是解决本题的关键．
个数的和为40000个．
19．（1）；（2）①；②；（3）
【分析】（1）结合题干提示信息，归纳总结得出结论即可；
（2）①利用总结出的规律把原式变形，再计算加减运算即可；②利用总结出的规律把原式变形，再计算加减运算即可；
（3）先利用乘法的分配律把原式化为：，再应用规律解题即可.
【详解】解：（1） ；；，
归纳总结可得：
故答案为：
（2）①
②
故答案为：
（3）
【点睛】本题考查的是有理数的四则混合运算，数字运算类的规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法，以及规律的运用”是解题的关键.
20．（1）68；（2），，，；（3）不能等于2010，理由见解析．
【分析】观察图1，可知：，，，．
（1）当x=17时，找出a、b、c、d的值，将其相加即可求出结论；
（2）由，，，，即可求出a+b+c+d的值；
（3）根据M=2020，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值，由x为偶数即可得出M不能为2010．
【详解】观察图1，可知：，，，．
（1）当x=17时，a=5，b=15，c=19，d=29，
∴．
故答案为：68．
（2）∵，，，，
∴，
故答案为：；
（3）M的值不能等于2020，理由如下：
∵，
∴M，则，
解得：．
∵402是偶数不是奇数，
∴与题目为奇数的要求矛盾，
∴M不能为2010．
【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）将a、b、c、d四个数相加；（2）观察图1，用含x的代数式表示出a、b、c、d；（3）由M=2010，列出关于x的一元一次方程．
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