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第六章 平面向量
6.1 平面向量的概念
导学案
【学习目标】
1．通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，培养数学抽象的核心素养；
2．理解平面向量的表示和两个向量平行与相等的含义，提升数学抽象的核心素养．
【学习重点】
理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量；
【学习难点】
理解平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．
【新课导学】
环节1：创设情境，生成问题
创设情境，生成问题
情境一：南辕北辙——战国时，有个北方人要到南方的楚国去．他从太行山脚下出发，乘着马车一直往北走去．有人提醒他：“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢？”他却说：“不要紧，我有一匹好马！”
想一想：他能如愿到达楚国吗？
【预设答案】不能，方向错误
问题1：质量、力、速度这三个物理量有什么区别？
【预设答案】质量只有大小；力、速度既有大小，又有方向．
问题2：在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？
【预设答案】不是，位移既有大小，又有方向，路程只有大小．
问题3：现实世界中有各种各样的量，如年龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、温度、质量、加速度等，怎样正确区分这些量呢？
环节2：新课导入，知识生成
活动1：提出定义
向量定义：在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量．如位移、力、加速度等．
数量定义：把只有大小没有方向的量称为数量．如年龄、身高、体重、面积、体积、质量等．
注：①向量和数量的区别：向量有方向，数量没有方向；数量可以比较大小，向量无法比较大小．
②向量和矢量：向量是从物理中的矢量抽象出来的，但是在数学上我们只考虑大小和方向，而物理中的矢量有时还要考虑其他属性，如力除了大小方向之外，还要考虑作用点．
【牛刀小试】
1．因为温度有正有负，所以温度是向量．（ ）
【预设答案】【解析】温度的正负，指的是零上和零下这一对相反意义，而向量是既有大小又有方向的量，故答案为：错误．
2．给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积．其中不是向量的有（ ）
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
【预设答案】【解析】看一个量是不是向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向．
（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，（1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小没有方向，不是向量．
故选：A．
活动2：向量的几何表示
思考（1）：实数在数轴上是如何表示出来的？
【预设答案】数量可以用数轴上的点表示
（2）那么向量呢？我们能不能找到一种几何图形来表示平面向量呢？力是如何表示的？
概念生成：
1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度
以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度记作||
2．向量的表示：
（1）几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作．
（2）字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，)．
思考：向量与有向线段有什么区别？
【预设答案】向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小相等和方向相同，则这两个向量就是相同的向量．有向线段有起点、方向与长度三个要素，若起点不同，尽管方向与长度相同，也是不同的有向线段．
【牛刀小试】在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为1）中，用直尺和圆规画出下列向量：
（1），点A在点O正南方向；
（2），点B在点O北偏西方向；
（3），点C在点O南偏西方向．
【预设答案】【解析】如图．
活动3：零向量、单位向量
长度为0的向量叫做零向量，记作0；
长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量．
思考：零向量的方向是什么？两个单位向量的方向相同吗？
【预设答案】零向量的方向是任意的．两个单位向量的方向不一定相同．
温馨提示：①若用有向线段表示零向量，则其终点和起点重合．
②要注意0和0的区别及联系：0是一个实数，0是一个向量，并且|0|=0，书写时表示零向量，一定不能忘记上面的箭头．
③单位向量有无数个，它们大小相等，但是方向不一定相同．
④在平面内，将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到同一点，则它们的终点就会构成一个半径为1的圆．
【牛刀小试】给出下列说法：
①零向量是没有方向的；
②零向量的长度为0；
③零向量的方向是任意的；
④单位向量都相等．
其中正确的是________．（填序号）
【预设答案】②③
活动4：相等向量与共线向量
思考1：如果两个向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？
【预设答案】相同或相反
思考2：观察两组向量，你能找出他们的共同特征吗？
【预设答案】长度相等，方向相同
概念生成：1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．
记法：向量a与b平行，记作a∥b
规定：零向量与任意向量平行．
2．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
3．共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．
共线向量与平行向量关系：如图所示，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（向量具有自由性，与有向线段的起点无关），所以平行向量就是共线向量．
思考：若平行向量有相同的起点，那么它们是否一定有相同的终点？
【预设答案】不一定，只有当两个平行向量相等时，它们才有相同的终点．
思考：不相等的两个向量a，b可能平行吗？
【预设答案】可能．事实上，考虑到零向量的特殊性，向量平行有如下三种情况：
（1）两个向量a，b中，有一个为零向量，另一个为非零向量；
（2）两个向量均为非零向量，方向相同，但模不相等；
（3）两个向量均为非零向量，方向相反，模相等或不相等皆可．
【牛刀小试】判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
（1）平行向量方向一定相同．（ ）
（2）不相等向量一定不平行．（ ）
（3）与零向量相等的向量是零向量．（ ）
（4）若两向量平行，则这两向量的方向相同或相反．（ ）
（5）若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．（ ）
【预设答案】（1）×（2）×（3）√（4）√（5）×
环节3：应用新知，解决问题
例1：下列命题：
①两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同；
②若非零向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线；
③若a∥b且b∥c，则a∥c；
④任一向量与它的平行向量不相等．
其中真命题的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
【预设答案】【解析】相等向量起点相同时，终点必相同，故①错误；
向量的共线不同于有向线段共线，故当与共线时，A，B，C，D四点不一定共线，即②错误；
当b＝0时，推不出a∥c，故③错误；
因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等，
所以任一向量与它的平行向量可能相等，故④错误．
例2 如图，设O是正六边形的中心．
（1）写出图中的共线向量；
（2）分别写出图中与，，相等的向量．
【预设答案】【解析】（1），，，是共线向量；
，，，是共线向量；
，，，是共线向量．
（2）；
；
．
环节4：学以致用，融会贯通
（1）若与都是单位向量，则．（ ）
【预设答案】向量相等指的是向量的方向相同，模长相等，与都是单位向量，
则两个向量的模长相等，但是方向不一定相同．故错误．
故答案为：错误．
（2）方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量．（ ）
【预设答案】如图所示，
分别在O点的南偏西和北偏东作向量与，根据几何关系，O、A、B三点共线，所以与共线，所以说法正确﹒
故答案为：√
（3）直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量．（ ）
【预设答案】直角坐标平面上的x轴、y轴不是向量，因为只有方向没有大小，也没有起点．
故答案为：错误．
（4）若与是平行向量，则．（ ）
【预设答案】与是平行向量，但的模不一定相等，所以不成立，
所以判断错误．
故答案为：错误
环节5：课堂小结
思考：
教师引导学生回顾本课时的内容，并回答下面的问题：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
【预设答案】
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
【预设答案】类比的思想，直观想象，逻辑推理
环节6：作业布置
第4页 练习 第1，2，3，4题
第5 页 习题6.1 第1，2，3，4题
环节7：课后巩固
1．下列说法正确的是（ ）
A．向量的模是正实数
B．共线向量一定是相等向量
C．方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同
2．下列命题正确的是（ ）
A．若和都是单位向量，则； B．相等的两个向量一定是共线向量；
C．，，则； D．两个非零向量的和可以是零.
3．设O是正方形ABCD的中心，则向量是（ ）
A．相等向量
B．平行向量
C．有相同起点的向量
D．模相等的向量
4．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
（1）作出向量，，；
（2）求 的模．
5．如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形.
（1）图中与共线的向量有 ；
（2）图中与相等的向量有 ；
（3）图中与模相等的向量有 ；
（4）图中与是 向量（填“相等”或“不相等”）；
（5）与相等吗？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】
根据向量、向量的模和共线向量的含义即可判定.
【详解】
对于A，因为，不是正实数，故A错误；
对于B，共线向量是方向相同或相反的向量，但模的大小不确定，故B错误；
对于C，共线向量是方向相同或相反的向量，故方向相反的两个向量一定是共线向量，故C正确；
对于D，两个有共同起点且共线的向量方向相同或相反，长度也不一定相同，故终点不一定相同，故D错误．
故选：C．
2．B
【分析】根据单位向量的定义可判断A的正误，根据相等向量的定义可判断B的正误，根据向量的共线的定义可判断C的正误，根据向量的加法可判断D的正误.
【详解】对于A，当和的方向不同时，不成立，故A错误.
对于B，相等向量的方向是相同的，故必是共线向量，故B正确.
对于C，若是零向量，则可以不共线，故C错.
对于D，当两个非零向量是相反向量时，它们的和为零向量，不是零.
故选：B.
3．D
【分析】根据图像，既不是相等向量，也不是平行向量，起点也不是相同，根据正方形的性质，模长是相等的，即可得解.
【详解】
如图，既不是相等向量，也不是平行向量，起点也不是相同，
显然A，B，C错误，
而，故D正确，
故选：D.
4．（1）见解析；（2）米
【分析】（1）利用方位根据向量的定义作出向量.
（2）根据（1）作出的平面图形，利用平面几何知识求解.
【详解】（1）作出向量，，；如图所示：
（2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米，
所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，
所以AD＝＝(米)，
所以|米.
【点睛】本题主要考查平面向量的画法和向量模的求法，还考查了方位问题和平面几何知识，属于基础题.
5．（1），，（2）（3），，，（4）相等（5）不相等
【解析】根据共线向量与向量的模长相等的定义，写出符合条件的向量即可．
【详解】解：根据题意得，（1）图中与共线的向量为、、；
（2）与相等的向量有；
（3）图中与模相等的向量有，，，；
（4）相等；
（5）与不相等；
故答案为：（1），，（2）（3），，，（4）相等（5）不相等
【点睛】本题考查了共线向量与向量的模长的应用问题，属于基础题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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