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第六章 平面向量
6.2.2 向量的减法运算
导学案
【学习目标】
1.理解相反向量的含义，借助相反向量理解向量减法运算的几何意义，培养直观想象的核心素养；
2.掌握平面向量减法运算及运算规则，提升数学抽象的核心素养；
3.能运用向量的加法和减法运算解决相关问题，提升数学运算的核心素养.
【学习重点】
理解并掌握向量减法的三角形法则
【学习难点】
向量减法的几何意义及运算律
【课前回顾】
1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
2.向量的加法运算法则
（1）三角形法则
已知非零向量a，b，在平面上任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
记忆口诀：首尾相接首尾连（作平移，首尾连，由起点指终点）．
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.
（2）平行四边形法则
以同一点为起点的两个已知向量,,以为邻边作,则以为起点的向量是的对角线)就是向量与的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
记忆口诀：共起点，连对角（作平移，共起点，四边形，对角线）
力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.
【新课导学】
环节1：创设问题情境，引入向量减法
问题1:类比实数x的相反数是，对于向量a，你能定义出“相反向量” 它与原来的向量a有什么联系
问题2: 类比实数x的减法，你认为向量的减法该怎样定义
环节2：推陈出新，建构新知
活动1 向量的减法　
（1）定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，求两个向量差的运算叫做向量的减法.
（2）向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量.
问题3: 对于任意两个非零向量a与b，根据减法的定义如何作图得到？
追问1：归纳出作图得到的具体步骤，的几何意义什么
记忆口诀：首同尾连指被减.
追问 2：观察图形，如果要求，你能直接用图中的已知向量来表示吗
活动2 动手实践，探究向量的三角不等式
问题4：（1）已知向量共线，你能作出向量吗？
（2）试探索不同情况下||，||，||之间的关系.
注：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，等号何时成立？
（1）当向量a，b不共线时，||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|；
（2）当向量a，b共线且同向时，前一个等号成立；当向量a，b共线且反向时，后一个等号成立.
【牛刀小试】
1．如果，，那么的取值范围
环节3：巩固新知，优化认知
例1：
2．如图，已知向量，求作向量，．
变式：
3．如图，已知向量不共线，求作向量.
【方法小结】求作两个向量的差向量的两种思路
（1）用向量减法的三角形法则作两向量的差的步骤
此步骤可以简记为“作平移，共起点，两尾连，指被减”．
（2）利用相反向量作两向量差的方法
作向量a－b时，先作向量＝a，再作＝－b，则向量＝＋＝a＋(－b)＝a－b.
例2：
4．填空：
； ； ； ； ．
变式：
5．化简下列式子：
(1)；
(2)；
【方法小结】
1.向量减法运算的常用方法
2.向量加减法化简的两种形式
（1）首尾相连且为和；（2）起点相同且为差.
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用.
例3
6．如图，在平行四边形中，，，用、表示向量、.
变式：
7．如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且，试用向量表示向量.
【方法小结】用向量表示其他向量的方法
（1）解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则.
（2）表示向量时要考虑以下问题：它是某个平行四边形的对角线吗？是否可以找到由起点到终点的恰当途径？它的起点和终点是否是两个有共同起点的向量的终点？
（3）必要时可以直接用向量求和的多边形法则.
环节4：学以致用，融会贯通
8．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定
9． .
10．若菱形的边长为，则
11．如图所示，解答下列各题：
(1)用表示；
(2)用表示；
(3)用表示；
(4)用表示.
环节5：课堂小结
思考：
教师引导学生回顾本课时的内容，并回答下面的问题：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
环节6：作业布置
完成教材：第12页 练习 第1，2，3题；第22 页 习题6.2 第4,7题
环节7：课后巩固
12．在△ABC中，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
13．四边形ABCD中，设＝，＝，＝，则＝(　　)
A．－＋ B．－(＋)
C．＋＋ D．－＋
14．若是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知、为非零向量，则下列命题中真命题的序号是 .
①若，则与方向相同；②若，则与方向相反；
③若，则与有相等的模；④若，则与方向相同．
16．化简．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．，
【分析】根据向量加法的三角形法则，由，则向量，同向时，有最小值；向量，反向时，有最大值；代入计算即可得到答案．
【详解】解：
即
故答案为：，
2．见解析
【解析】将的起点移到同一点O，再将向量的终点连接，方向指向被减向量.
【详解】如下图所示，在平面内任取一点O，
作，，，，
则，．
【点睛】本题考查平面向量减法的几何意义，考查数形结合思想，求解时注意与加法几何意义的区别.
3．作图见解析
【分析】
由平面向量的加法和减法运算作图即可.
【详解】法一：如图①，在平面内任取一点O，作，则，
再作，则.
法二：如图②，在平面内任取一点O，作，
则，再作，连接OC，则
4．
【解析】利用向量减法的三角形法则，进行向量的减法运算.
【详解】因为向量的起点相同，可直接进行向量的相减运算，
所以；；；；．
故答案为：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)
【点睛】本题考查向量减法的运算，求解时注意向量用两个大写字母表示，可直接进行代数的运算，而无需再画图形.
5．(1)
(2)
【分析】按照向量的加法，减法运算法则化简即可.
【详解】（1）原式
（2）原式
6．，
【分析】
根据平面向量加、减法的定义计算可得.
【详解】依题意，.
7．
【分析】
由平面向量的加法和减法运算求解即可.
【详解】因为四边形ACDE是平行四边形，
所以，，
故.
8．B
【分析】
由相等向量，向量的减法运算求解即可.
【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形，
又因为，即，
所以平行四边形ABCD是矩形.
故选：B.
9．
【分析】
根据向量加法和减法运算法则，即可求解.
【详解】
，
.
故答案为：
10．2
【解析】由向量的加法的三角形法则可知，，根据模的定义即可得出结果.
【详解】,
.
故答案为：2.
11．(1).
(2)
(3)
(4)
【分析】
（1）由向量的加法运算求解即可；
（2）由向量的减法运算和相反向量的定义求解即可；
（3）由向量的加法运算求解即可；
（4）由向量的加法运算和相反向量的定义求解即可；
【详解】（1）因为.
（2）因为.
（3）因为.
（4）因为.
12．D
【分析】
由平面向量的减法运算求解即可.
【详解】
.
故选：D.
13．A
【分析】在四边形ABCD中, 观察图形知,由此能可得答案.
【详解】解：在四边形ABCD中,
＝，＝，＝,
,
=,
故选A.
【点睛】本题主要考查向量的加减混合运算及其几何意义，得出,是解题的关键.
14．B
【详解】根据平面向量减法运算的“三角形”法则可知＝-　，
只有选项B符合题意，
故选B.
15．①②④
【分析】
利用平面向量的线性运算结合和向量、差向量模的关系可得出结论.
【详解】
对于①，若，则与方向相同，①对；
对于②③，若，则与方向相反，②对③错；
对于④，若，则则与方向相同，④对.
故答案为：①②④.
16．
【分析】由向量的加法和减法运算求解即可.
【详解】法一：
.
法二：
.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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