资源简介

6.3.1平面向量基本定理导学案
学习目标
1.理解平面向量基本定理及其意义；
2.会用基底表示某一向量；
3.通过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力.
重点难点
1．重点：平面向量基本定理的内容叙述与理解；用基底表示向量、用向量方法证明简单的几何命题
2．难点：证明几何命题中的向量思想
课前预习 自主梳理
知识点 平面向量基本定理
条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底 若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
1．如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？
提示：不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．
2．平面向量的基底是唯一的吗？
提示：不是．平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，基底一旦确定，平面内任一向量都可以用这一个基底唯一表示．
自主检测
1．判断正误（正确的写正确，错误的写错误）
（1）基底中的向量不能为零向量．( )
（2）平面内的任何两个向量都可以作为一个基底．( )
（3）若不共线，且，则.　( )
（4）平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这个基底唯一表示．( )
（2021·全国·模拟预测）
2．如图，在平行四边形中，是边的中点，是的一个三等分点（），若存在实数和，使得，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·高一课时练习）
3．在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·广东韶关·统考模拟预测）
4．已知是平行四边形，，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
（2021下·福建福州·高一福建省福州第八中学校考期中）
5．在中，点为对角线上靠近点的三等分点，连结并延长交于，则（ ）
A． B．
C． D．
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
物理学中的基本方法：受力分析与力的分解
在物理学中，受力分析是最基本最重要的研究方式，而力的分解是受力分析的重中之重.力的分解随着问题场景的变化而有所不同.考虑如图所示的两个物体，图1中的物体放在光滑水平地面上，图2中的物体放在光滑斜面上，两个物体都受到同样的拉力F（假设拉力方向与斜面不平行）.
问题1：试运用物理学知识将力进行适合的分解.
追问：你在分解的时候使用了怎样的向量运算法则？
【预设的答案】如图所示，预设为大部分学生的分解结果.
【设计意图】对于高一学生而言，力是最常接触、最常处理的向量（矢量），采用之前已经学过的力的分解作为引入，能够让学生从熟悉的情境着手，引起学生的兴趣.
我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力．如图6.3-1，我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力分解为多组大小、方向不同的分力．
由力的分解得到启发，我们能否通过作平行四边形，将向量分解为两个向量，使向量是这两个向量的和呢
问题2：选取平面内的任意两个两个不共线的向量，假设向量与都不共线，试将按的方向进行分解.
环节二 观察分析，感知概念
探究
如图6.3-2 （1）， 设，是同一平面内两个不共线的向量， 是这一平面内与，都不共线的向量．如图6.3-2 （2），在平面内任取一点，作，，，将按，的方向分解，你有什么发现
如图6.3-3，过点作平行于直线的直线，与直线交于点；过点作平行于直线的直线，与直线交于点，，由与共线，与共线可得，存在实数，，使得，，所以，也就是说，与，都不共线的向量都可以表示成的形式．
当是与，共线的非零向量时， 也可以表示成的形式；当是零向量时， 同样可以表示成的形式． （为什么 ）
利用信息技术工具，可以动态地展示．
【活动预设】
（1）分组活动，首先让学生尝试将向量进行分解，然后交流成果.
（2）教师讲解，将本题的分解过程完整板书.
以向量为对角线，根据所在直线作平行四边形，则根据平行四边形法则可找到向量在方向上的分向量.容易看出这两个分向量分别与共线，根据共线向量定理，他们分别可以写成的形式，其中都是确定且唯一的实数.于是，向量可以写成如下的分解式：.
同理将的分解方式也进行板书.题目中向量的方向如此设计，可能会使一部分初学的学生有困难，故合作交流时会提示“直线的无限延展性”.
（3）展示信息技术作图，用大量实例直观展示同一平面内任意向量关于的分解过程.
环节三 抽象概括，形成概念
上述讨论表明，平面内任一向量都可以按，的方向分解，表示成的形式，而且这种表示形式是唯一的．事实上，如果还可以表示成的形式，那么可得．由此式可以推出，全为0 （假设，不全为0，不妨假设，．由此可得，共线．这与已知，不共线矛盾），即，．也就是说，有且只有一对实数，，使．
综上，我们得到如下定理:
平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使．
若，不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底（base）．
由平面向量基本定理可知，任一向量都可以由同一个基底唯一表示， 这为我们研究问题带来了极大的方便．
【设计意图】前面创设的实际情境与数学情境是为本节的重要定理：平面向量基本定理而服务的，需要通过清晰准确的叙述和解释来抓住学生的思维，带领学生更深刻的思考.
环节四 辨析理解，深化概念
例1 如图，，不共线，且，用，表示．
解：因为，
所以
．
观察，你有什么发现？
平面向量的等和线，“爪”字型图及性质：
（1）已知，为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，，使得．
则，，三点共线 ．
当，则点与位于同侧，且位于与之间．
当，则与位于两侧．
时，当， 则在线段上；当 ，则在线段的延长线上
（2）已知在线段上，且，则．
问题3：观察分解式两基底的系数，你发现了什么？再分别观察以及的位置关系，你又发现了什么？试讨论并总结你的观察.
探究并证明以下问题：若在直线上有一点，满足，试用表示
【预设答案】
教师将该结论板书总结：三点共线的重要结论
环节五 概念应用，巩固内化
例2 如图6.3-5，是的中线， ，用向量方法证明是直角三角形．
分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一个基底表示，本题可取为基底，用它表示，．证明，可得，从而证得是直角三角形．
证明：如图6.3-6，设，，则，
，于是．
．
因为，
所以．
因为，，
所以 ．
因此．
于是是直角三角形．
向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段（或直线）是否垂直的重要方法之一．
【设计意图】
（1）初步熟悉用基底表示向量的一般过程，回顾向量运算法则.
（2）借助阶梯式的设问，一步步深入探究关于三点共线的结论，培养学生的提问意识与问题解决意识.
环节六 归纳总结，反思提升

我们在本节课中学习了如下知识：
平面向量基本定理的内容
用基底表示向量的一般方法
三点共线的重要性质
用向量方法证明简单的几何命题
【设计意图】再次回忆、回顾本节课所学内容，巩固加深印象，为后续学习做准备.
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：第27页 练习 第1，2，3，题
第36页 习题6.3 第1，11（1）题
备用练习
（2021下·高一课时练习）
6．O为ABCD的对角线的交点，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
（2022·高一单元测试）
7．在△中，AB边上的高为CD，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
（2023下·陕西西安·高一统考期中）
8．如图，点是正方形的中心，为线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
（2023下·湖北武汉·高一武汉市第一中学校联考期中）
9．如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点B的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖北·高二统考学业考试）
10．如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，且，则实数（ ）

A． B．2 C． D．3
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1． 正确 错误 正确 正确
【分析】
根据题意，结合向量的定义，平面向量基底的定义，平面向量的基本定理，逐项判定，即可求解
【详解】对于（1）中，因为零向量和任意向量共线，所以基底中的向量不能为零向量，所以（1）正确；
对于（2）中，平面内不共线的两个向量才可以作为一个平面基底，所以（2）错误；
对于（3）中，由不共线，且，
根据向量的运算法则，可得，所以（3）正确；
对于（4）中，根据平面基底的定义，可得平面向量的基底不唯一，根据平面向量基本定理，可得平面内的任何一个向量都可被这个基底唯一表示，所以（4）正确.
故答案为：（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）正确.
2．C
【分析】根据平面向量的基本定理，利用向量的线性运算进行向量的基底表示，即可得的值.
【详解】因为是的一个三等分点（），所以.因为是边的中点，所以.又，所以.
故选：C.
3．C
【分析】根据平面向量的基本定理、平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和平行四边形的性质进行求解即可.
【详解】故选：C
【点睛】本题考查了平面向量的基本定理、平面向量共线定理、平面向量的加法的几何意义，属于基础题.
4．C
【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得.
【详解】因为，所以，
所以，又，所以，
．
故选：C．
5．B
【分析】把向量作为基底，根据题意可得为的中点，然后根据向量的加减法法则和平面向量基本定理求解即可
【详解】解：因为点为对角线上靠近点的三等分点，
所以，
因为四边形是平行四边形，所以∥，
所以，所以，所以，
,
故选：B
6．B
【分析】根据向量的线性运算法则即可求解．
【详解】由得，即，所以
故选：B
7．D
【分析】由已知条件可得，再由及向量加法的几何意义即可得结果.
【详解】
由题设，△△△且，则，
所以.
故选：D
8．D
【分析】根据条件可得出，，从而可得出结果.
【详解】根据条件：，
故选：D.
【点睛】本题主要考查向量加法和数乘的几何意义，属于基础题.
9．C
【分析】根据平面向量的线性运算结合图像将用、表示，即可得出答案.
【详解】解：
.
故选：C.
10．B
【分析】先将分别用表示，再结合题意即可得解.
【详解】，
，
所以，
又因为，
所以.
故选：B.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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