资源简介

6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示
导学案
学习目标
1.掌握向量数乘运算坐标表示，提要相应的数学抽象和数学运算核心素养.
2.理解并掌握平面向量共线的坐标表示的充要条件，会根据向量的坐标，判断向量是否共线，三点是否共线，从而提高逻辑推理核心素养以及等价转化的能力.
3.掌握平面上线段的中点坐标公式并会推导定比分点坐标公式，能把向量作为工具，用代数的方法解决一些几何问题.
重点难点
1.教学重点：平面向量数乘运算的坐标表示，向量共线的充要条件的推导以及三点共线的坐标表示.
2.教学难点：用向量呈现几何问题，定比分点公式推导.
课前预习 自主梳理
知识点一 平面向量数乘运算的坐标表示
符号表示 若a＝（x，y），则λa＝(λx，λy)
文字表示 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
知识点二 平面向量共线的坐标表示
条件 a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0
结论 向量a，b（b≠0）共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0
知识点三 中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），线段P1P2的中点P的坐标为（x，y），则此公式为线段P1P2的中点坐标公式．
把x1y2－x2y1＝0写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0可以吗？怎样记忆此公式的表达形式？
提示：写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，这一公式可简记为：纵横交错积相减．
自主检测
1．判断正误，正确的写“正确”，错误的写“错误”．
（1）向量（1，2）与向量（4，8）共线．( )
（2）已知，，若，则必有. ( )
（3）若向量，，且，则.( )
（4）若向量，，且，则 ( )
（5）若，，且，则与不共线. ( )
（6）若A，B，C三点共线，则向量都是共线向量. ( )
（2020下·湖南郴州·高一统考期末）
2．已知向量，.若，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
（2023·高一单元测试）
3．已知向量，，，若与共线，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
（2022下·天津·高一校联考期中）
4．已知向量.若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
（2020·高一单元测试）
5．已知，且，则=（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
问题1：上节课我们学面向量加减法的坐标表示已知，则 的坐标是什么？已知A,B两点的坐标，如何求的坐标？
【答案】
问题2：除了向量的加减法运算外，我们还学习了向量的数乘运算，如何用坐标表示向量的数乘运算呢？已知 ，你能得到的坐标吗？
中的相当于是倍数，倍数在坐标中相当于是横坐标和纵坐标的倍数.
思考 已知，你能得出的坐标吗？
，
即．
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
例6 已知，，求的坐标．
解：
环节二 观察分析，感知概念
问题3：探究：设，若向量共线（其中），则这两个向量的坐标应满足什么关系？
探究
如何用坐标表示两个向量共线的条件？
设，，其中．我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使．如果用坐标表示，可写为，即
消去，得．
这就是说，向量，共线的充要条件是．
环节三 抽象概括，形成概念
例7 已知， ，且，求．
解：因为，所以．解得．
例8 已知， ， ，判断A，，三点之间的位置关系．
解：在平面直角坐标系中作出A，，三点（图6.3-15）．
观察图形，我们猜想A，，三点共线，下面来证明．
因为，，
又，所以．
直线，直线有公共点A，所A，，三点共线．
环节四 辨析理解，深化概念
例9 设是线段上的一点，点，的坐标分别是，．
（1）当是线段的中点时，求点的坐标；
（2）当是线段的一个三等分点时，求点的坐标．
解：（1）如图6.3-16，由向量的线性运算可知，
所以，点的坐标是．
若点，的坐标分别是，，线段的中点的坐标为，则 ，
此公式为线段的中点坐标公式．
（2）如图6.3-17，当点是线段的一个三等分点时，有两种情况，即或．
如果（图6.3-17（1）），那么
即点的坐标是．
同理，如果（图6.3-17（2）），那么点的坐标是．
环节五 概念应用，巩固内化
探究
如图6.3-18，线段的端点，的坐标分别是，．点是直线上的一点，当时，点的坐标是什么
环节六 归纳总结，反思提升
1.向量数乘运算的坐标表示；
2.共线向量的坐标表示；
3.中点坐标公式;
在平面向量加减法坐标表示基础上进一步学习了数乘运算的坐标表示即；以及两个向量共线的充要条件，还有三点共线的充要条件.
环节七 目标检测，作业布置
完成教材： 习题6.3 第 6,13题
备用练习
（2023·高一单元测试）
6．已知向量，，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
（2023下·四川宜宾·高二四川省高县中学校校考期中）
7．已知，向量，，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
（2022上·山东滨州·高三校联考期中）
8．已知向量，，与平行，则实数x的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
（2021下·江苏常州·高一统考期中）
9．已知向量与向量共线，则（ ）
A．-3 B．3 C． D．
（2020下·高一课时练习）
10．设向量，，若，则（ ）
A． B． C．4 D．2
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1． 正确 正确 错误 正确 正确 正确
【分析】由共线向量的定义和坐标表示对选项一一判断即可得出答案.
【详解】（1）设，因为，
所以向量（1，2）与向量（4，8）共线，故（1）正确；
（2）已知，，若，则必有，故（2）正确；
（3）若，，则，但不满足，故（3）错误；
（4）若向量，，且，则，故（4）正确；
（5）若，，且，则与不共线.故（5）正确；
（6）若A，B，C三点共线，则向量都是共线向量，故（6）正确；
故答案为：正确；正确；错误；正确；正确；正确.
2．D
【分析】根据向量共线的坐标运算计算即可得答案.
【详解】解：因为，
所以，解得：.
故选：D.
【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，是基础题.
3．D
【分析】根据向量的坐标运算求得的坐标，利用向量共线的坐标表示列出方程，求得答案.
【详解】由题意向量，，，
则，
由于与共线，则，
故选：D
4．B
【分析】利用共线向量定理求解.
【详解】解：因为向量，
所以，
因为，
所以，
解得，
故选：B
5．A
【解析】先求出和的坐标，利用向量共线的坐标表示列方程即可求解.
【详解】，，
因为，所以，解得：，
故选：A
6．A
【分析】根据向量平行的坐标关系即得.
【详解】由，得，
所以.
故选：A.
7．B
【分析】首先利用向量平行的坐标表示求，再根据充分，必要条件的定义判断.
【详解】若向量，则，即
解得：或,
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：B
8．D
【分析】利用平行的坐标运算列方程求解即可.
【详解】解：由已知，又，
，解得：，
故选：D.
【点睛】本题考查平行的坐标运算，是基础题.
9．C
【分析】由向量共线可得，再由二倍角正切公式求即可.
【详解】由题意知：，则.
故选：C
10．B
【解析】根据平面向量共线定理得到方程，解得.
【详解】解：因为向量，，若，则，解得．
故选：．
【点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，属于基础题.
答案第1页，共2页
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