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6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示导学案
学习目标
1.借助平面直角坐标系，理解平面向量的正交分解.
2.掌握平面向量的坐标表示.
重点难点
1.教学重点：对平面向量正交分解及坐标表示的理解.
2.教学难点：平面向量的坐标表示.
课前预习自主梳理
知识点一平面向量坐标的相关概念
知识点二平面向量加 减运算的坐标表示
设向量，则有下表：
文字描述 符号表示
加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知，则
1.正交分解与平面向量基本定理有何联系？
提示：正交分解是平面向量基本定理的特殊形式（基底垂直）.
2.向量坐标与点的坐标的区别是什么？
提示：意义不同.点A的坐标表示点A在平面直角坐标系中的位置，向量
的坐标既表示向量的大小，也表示向量的方向.
自主检测
1．判断正误，正确的画“正确”，错误的画“错误”.
（1）点的坐标与向量的坐标相同.( )
（2）零向量的坐标是（0，0）.( )
（3）相等向量的坐标相同，且与向量的起点 终点无关.( )
（4）当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.( )
（2021·高一单元测试）
2．已知点，，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·高一课时练习）
3．已知，，则把向量按向量平移后得到的向量是（ ）
A． B． C． D．
（2022下·重庆万州·高一重庆市万州高级中学校考阶段练习）
4．已知，，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
（2023下·山东烟台·高一统考期末）
5．已知点，， 则与向量方向相同的单位向量为
A． B． C． D．
新课导学
学习探究
环节一创设情境，引入课题
问题1：什么是平面向量基本定理？
【答案预设】如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量，有且只有一对实数，使.我们把不共线向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
【设计意图】引导学生从本质上认识平面向量基本定理的实质就是把向量分解为两个不共线的向量之和.特殊地，互相垂直时一种特殊分解，会为我们带来方便.例如，在物理中，重力能分解成两个方向的力，互相垂直，这就是力的正交分解.
引出正交分解的概念，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做正交分解
给定平面内两个不共线的向量，，由平面向量基本定理可知，平面上的任意向量，均可分解为两个向量，，即，其中向量与共线，向量与共线.
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
环节二观察分析，感知概念
如图6.3-7，重力沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解，正交分解是向量分解中常见而实用的一种情形.
重力可以分解为这样两个分力：平行于斜面使木块沿斜面下滑的力，垂直于斜面的压力.
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，将为我们研究问题带来方便
问题2：我们知道，在平面直角坐标系中，每一点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示.那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？
如图6.3-8，在平面直角坐标系中，设与轴 轴方向相同的两个单位向量分别为，，取作为基底，对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，，使得
.
这样，平面内的任一向量都可由，唯一确定，我们把有序数对叫做向量的坐标，记作
.①
其中，叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示.
显然，，，.
【预设答案】
（1）建立直角坐标系，选x，y轴方向上的单位向量作为基底；
（2）作平面内的任意一个向量，以为基底，根据平面向量基本定理，分解向量；
（3）这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对（x，y）叫做向量的坐标，记作.
其中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，叫做向量的坐标表示.
环节三抽象概括，形成概念
如图6.3-9，在直角坐标平面中，以原点为起点作，则点的位置由向量唯一确定.
思考1：在平面直角坐标系中，向量的坐标是什么含义？？
思考2：你能写出向量的坐标表示吗？
思考3：实数对“（0，1）”表示什么意思？
【活动预设】
（1）以x y轴方向上的单位向量为基底，分解后的系数所对应的实数对（x，y）
（2）.
（3）点A（0，1），区间（0，1），向量=（0，1），如果不作说明则指向不明.
【设计意图】引导学生对向量坐标表示概念进行深入理解.
环节四辨析理解，深化概念
设，则向量的坐标就是终点的坐标；反过来，终点的坐标也就是向量的坐标.因为，所以终点的坐标就是向量的坐标.这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.
【活动预设】
设，则向量的坐标（x，y）就是终点A的坐标；
反过来，终点A的坐标（x，y）也就是向量的坐标.
因为，所以终点A的坐标（x，y）就是向量的坐标.
所以，如果向量的起点在原点，则终点的坐标就是向量的坐标.这就建立了点的坐标与向量坐标之间的联系.
【设计意图】理解平面直角坐标系中，向量的坐标与点的坐标之间的联系.
环节五概念应用，巩固内化
例3如图6.3-10，分别用基底表示向量，，，，并求出它们的坐标.
解：由图6.3-10可知，，
所以.
同理，
【预设的答案】
方法1：由图可知，，所以.
同理，，，
.
方法2：作
易得点M的坐标为（2，3），则
因为点M与N关于y轴对称，与点P关于原点对称，与Q点关于x轴对称
则N（-2，3），P（-2，-3），Q（2，-3），
同理，，，.
【设计意图】
（1）加深对向量坐标表示的理解；
（2）向量坐标与点坐标联系的应用.
环节六归纳总结，反思提升
思考：1.你对平面向量的坐标表示如何理解？
2.平面向量的坐标与点的坐标有什么联系？
【设计意图】总结本节课学习的重点内容.
环节七目标检测，作业布置
完成教材：第36页习题6.3第1，2题
备用练习
（2023·江西上饶·统考二模）
6．已知平面向量，满足，，，记向量，的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
（2023下·云南曲靖·高二会泽县实验高级中学校校考阶段练习）
7．已知向量，若，则（ ）
A． B．2 C． D．4
（2021·高一课时练习）
8．向量，则（ ）
A．1 B． C． D．6
（2021下·高一课时练习）
9．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，若绕点逆时针旋转得到向量，则（ ）
A． B．
C． D．
（2023下·高一课时练习）
10．若是平面内两个不共线的向量，则下列说法中正确的是（ ）
A．不可以表示平面内的所有向量；
B．对于平面中的任一向量，使的实数有无数多对；
C．若均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使；
D．若存在实数使，则.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1． 错误 正确 正确 正确
【分析】根据向量坐标的定义判断.
【详解】对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得，则有序数对叫做向量的坐标，与点坐标不同，所以（1）是错误的，
零向量大小为0，则，所以（2）是正确的，
由向量坐标定义知（3）是正确的，
向量坐标等于向量终点坐标减去起点的坐标，所以（4）是正确的.
2．C
【解析】根据平面向量的坐标表示，求出即可.
【详解】点，，
则.
故选：C.
【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题.
3．C
【解析】根据向量平移时不改变大小和方向，得出平移后的向量与向量相等，进而可得出结果.
【详解】当向量平移（起点和终点同时平移）时，不改变向量的大小和方向，所以所求的向量就是.
故选：C.
【点睛】本题考查向量平移的应用，考查向量坐标的计算，考查计算能力，属于基础题.
4．C
【分析】根据向量的坐标表示可得答案.
【详解】因为，，所以点的坐标为，
故选：C
5．A
【分析】由题得，设与向量方向相同的单位向量为，其中，利用列方程即可得解.
【详解】由题可得：，
设与向量方向相同的单位向量为，其中，
则，解得：或（舍去）
所以与向量方向相同的单位向量为
故选A
【点睛】本题主要考查了单位向量的概念及方程思想，还考查了平面向量共线定理的应用，考查计算能力，属于较易题．
6．C
【分析】先求，然后平方将向量的模转化为数量积可解.
【详解】因为，∴，
又，，
∴，
∴
故选：C．
7．A
【分析】根据向量平行列方程，由此求得，进而求得.
【详解】，则，得.
故选：A
8．D
【分析】根据向量数量积坐标表示直接求解，即得结果.
【详解】因为
所以
故选：D
【点睛】本题考查向量数量积坐标表示，考查基本求解能力，属基础题.
9．A
【解析】由坐标可确定其与轴夹角，进而得到与轴夹角，根据模长相等可得到坐标.
【详解】 与轴夹角为 与轴夹角为
又
故选：
【点睛】本题考查向量旋转后坐标的求解问题，关键是能够确定向量与轴的夹角的大小，进而根据模长不变求得向量.
10．D
【分析】根据平面向量基本定理可以判定ABD，取向量λ+μ与λ2+μ2均为零向量或者λ2+μ2为零向量的特殊情况，可以判定C.
【详解】由平面向量基本定理可知，A错误，D正确；
对于B：由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，
那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故B错误；
对于C：当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个，
或当λ1+μ1为非零向量，而λ2+μ2为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在，故C错误；
故选：D.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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