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6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示 导学案
学习目标
1. 掌握平面向量加、减运算的坐标表示；
2. 会用坐标求两向量的和、差
重点难点
1. 教学重点：平面向量加、减运算的坐标表示；
2. 教学难点：根据平面向量加、减运算的坐标表示求点的坐标.
课前预习 自主梳理
知识点一 平面向量正交分解的定义
把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
知识点二 平面向量的坐标表示
（1）向量的坐标表示
（2）向量坐标与点的坐标的关系
在平面直角坐标系中，以原点O为起点作，设，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量a的坐标.
知识点三 平面向量加、减的坐标运算
（1）两个向量和(差)的坐标表示
两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2).
（2）向量坐标的几何意义
如图，设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，坐标原点为O，则
＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，所以＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1).
结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
自主检测
1．判断正误，正确的画“正确”，错误的画“错误”．
（1）两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同.( )
（2）当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.( )
（3）两向量差的坐标与两向量的顺序无关.( )
（4）终点的坐标与向量的坐标相同.( )
（2021上·北京门头沟·高二大峪中学校考期中）
2．中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·高一专题练习）
3．已知向量，，则＝（　　）
A． B．
C． D．
（2021·高一课时练习）
4．如图所示，向量的坐标是（ ）
A．(1，1) B．(－1，－2)
C．(2，3) D．(－2，－3)
（2021·高一课时练习）
5．已知=(-5，6)，=(-3，2)，=(x，y)，若-3+2=0，则等于（ ）
A．(-2，6) B．(-4，0)
C．(7，6) D．(-2，0)
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
1.问题1：平面向量的基本定理是什么？
若是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使
2.问题2：用坐标表示向量的基本原理是什么？
设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a＝xi＋yj，则a＝(x，y).
【设计意图】通过复习上节所学知识，引入本节新课.建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力.
环节二 观察分析，感知概念
思考
已知，，你能得出，的坐标吗
，
即
同理可得
这就是说，两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）．
环节三 抽象概括，形成概念
例4 已知， ，求，的坐标．
解：，．
环节四 辨析理解，深化概念
探究：如图6.3-11，已知， ，你能得出的坐标吗
如图，作向量，，则．
因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
环节五 概念应用，巩固内化
例5 如图6.3-13，已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是，，，求顶点的坐标．
解法1：如图6.3-13，设顶点的坐标为．因为，，又，所以．，解得．
所以顶点的坐标为．
解法．如图6.3-14，由向量加法的平行四边形法则可知
．
所以顶点的坐标为．
你能比较一下两种解法在思想上的异同吗？
【设计意图】通过例题进一步理解向量加法、减法的坐标运算，提高学生解决问题的能力.
环节六 归纳总结，反思提升
1.向量坐标表示加减运算：
2.向量的坐标表示方法：
①定义法：分别向坐标轴引垂线.
②原点法：向量起点放到原点，终点的坐标
③两点法：终点的坐标-起点坐标.
3.平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直.
4.要区分向量终点的坐标与向量的坐标.如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若A(xA，yA)，B(xB，yB)，则＝(xB－xA，yB－yA).
5.向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差.“两个向量相等，则它们的坐标相同”，解题中主要应用了方程的思想与数形结合思想.　　　
【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力，提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力.
环节七 目标检测，作业布置
完成教材： 第30 页 练习 第1，2题
第36 页 习题6.3 第3，4题
备用练习
（2021上·高一单元测试）
6．已知平面直角坐标系内一点，向量，向量，那么中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
（2022下·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市恒昌中学校校考期中）
7．已知、，且点在线段的延长线上，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
（2020下·高一课时练习）
8．已知，，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
（2022·高二课时练习）
9．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于(　　)
A．(－2,7) B．(－6,21)
C．(2，－7) D．(6，－21)
（2023下·广东佛山·高一校考阶段练习）
10．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1． 错误 正确 错误 错误
【分析】
根据向量的坐标表示逐一判断.
【详解】（1）两个向量的终点不同，这两个向量的坐标也有可能相同，（1）错误；
（2）当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标，（2）正确；
（3）两向量差的坐标跟两向量的顺序有关，（3）错误；
（4）终点的坐标与向量的坐标可能相同，可能不同.（4）错误.
故答案为：错误；正确；错误；错误.
2．B
【分析】直接利用中点坐标公式，求出A，B的中点坐标即可．
【详解】由线段的中点坐标公式可知，A，B的中点的坐标为，即．
故选：B．
3．B
【详解】根据向量的加法坐标运算性质即可求解．
【解答】因为向量，，
则,
故选：B．
4．D
【分析】用终点坐标减起点坐标即可.
【详解】由题图知，M(1，1)，N(－1，－2)，则＝(－1－1，－2－1)＝(－2，－3)
故选：D.
5．D
【分析】根据平面向量加减、数乘运算的坐标表示列出方程组，解方程组即可.
【详解】∵-3+2=0，
∴(-5，6)-(-9，6)+(2x，2y)=(0，0)，
即
即=(-2，0).
故选：D.
6．A
【分析】根据向量坐标运算求出的坐标后得其中点坐标．
【详解】由题意点坐标为，点坐标为，
所以中点坐标为．
故选：A．
7．D
【分析】设点，根据平面向量的坐标运算可得出关于、的方程组，解出这两个未知数，可得出点的坐标.
【详解】设点，则，，
因为，则，解得，即点.
故选：D.
8．A
【分析】根据向量的坐标运算法则,依据题意列出等式求解.
【详解】由题知:,,,
因为,
所以,
故,
故选:A.
【点睛】本题考查向量的坐标运算,属于基础题.
9．B
【分析】由三角形的中线对应的向量为两相邻边对应向量和的，再用向量的坐标运算求值．
【详解】点是的中点
∴，
，
，
故答案为（-6，21）
【点睛】本题考查三角形的中线对应的向量与两相邻边对应向量的关系及向量共线的充要条件．
10．B
【分析】根据平面向量线性运算的坐标运算法则计算可得.
【详解】因为，，则.
故选：B
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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