资源简介

8.5.1直线与直线平行 导学案
学习目标
1.借助长方体，通过直观感知、了解空间中直线与直线平行的关系．
2.了解基本事实及定理（等角定理）.
重点难点
重点：基本事实四，等角定理
难点：能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.
课前预习 自主梳理
知识点一 基本事实4
（1）内容：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质通常叫做平行线的传递性．
（2）符号表示:
知识点二 等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
自主检测
1．判断正误，正确的填“正确”，错误的填“错误”，
（1）若，则.( )
（2）若，则a，c无公共点，( )
（3）如果两个角相等，则它们的边互相平行，( )
（2022·高一课时练习）
2．（1）基本事实：平行于同一条直线的两条直线 ．
（2）等角定理
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 或
图形语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
[微思考]如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？
（2023·高一课时练习）
3．基本事实4
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线 .
（2023下·高一课时练习）
4．已知，，，则（ ）
A． B．或
C． D．或
（2022高一课时练习）
5．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形
A．全等 B．相似
C．仅有一个角相等 D．全等或相似
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
【实际情境】在长方体 中，，那么与平行吗？观察你所在的教室，你能找到实例吗？实际生活中还有没有这样的实例呢？
问题1：在平面中平行线具有传递性，这个性质在空间中是否仍然成立？
【预设的答案】仍然成立
【设计意图】本节课的内容就是平面图形中的两个结论推广到空间图形中，平面图形的性质不一定能全部推广立体图形，一般来说，要把平面图形的结论推广到空间，要经过证明.
问题2：在平面内，一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则两个角相等或互补，在空间中，这一结论是否还成立呢？
【活动预设】引导学生从已知到未知，由平面上的问题思考空间中的问题.
我们知道，在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线，并且当两条直线都与第三条直线平行时，这两条直线互相平行．在空间中，是否也有类似的结论？举例说明.
要求：让学生自由发言，教师不做判断.而是引导学生进一步观察.研探.
问题3：平行于同一条直线的两条直线有什么关系？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题.
观察：如图8.5-1，在长方体中，，，与平行吗？
观察你所在的教室，你能找到类似的实例吗？
环节二 观察分析，感知概念
可以发现，，再观察我们所在的教室（图8.5-2），黑板边所在直线和门框所在直线都平行于墙与墙的交线，那么，这说明空间中的平行直线具有与平面内的平行直线类似的性质．我们把它作为基本事实．
基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行．
基本事实4表明，空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行．它给出了判断空间两条直线平行的依据．基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性．
环节三 抽象概括，形成概念
例1.如图8.5-3，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
分析 要证明四边形是平行四边形，只需证明它的一组对边平行且相等．而，分别是和的中位线，从而它们都与平行且等于的一半．应用基本事实4，即可证明．
证明：连接．是的中位线， ，且．
同理，且．，四边形是平行四边形．
在本例中，如果再加上条件，那么四边形是什么图形？
【设计意图】创设数学情境，生活中的实例，让学生体会到平行关系在空间中也具有传递性，从而很自然的得出基本事实4..
环节四 辨析理解，深化概念
问题:4：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角有什么关系？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题.
思考：在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．在空间中，这一结论是否仍然成立呢
与平面中的情况类似，当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图8.5-4所示的两种位置．
环节五 概念应用，巩固内化
对于图8.5-4（1），我们可以构造两个全等三角形，使和是它们的对应角，从而证明．
如图8.5-5，分别在和的两边上截取，和，，使得，
，连接，，，，．
，四边形是平行四边形．，同理可证，．
四边形是平行四边形．，，．
对于图8.5-4（2）的情形，请同学们自己给出证明，
这样，我们就得到了下面的定理：
定理 如果空间中两个角的两条边分别与对应平行，那么这两个角相等或互补．
【设计意图】证明空间中的等角定理，培养学生数学思维的严谨性.
环节六 归纳总结，反思提升
（1）梳理本节课的两个重点内容，理解平面图形的有关结论推广到空间图形，必须经过证明；
（2）求证两直线平行，目前有两种途径：一是应用基本事实4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点．
（3）求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．
（4）证明线线平行的常用方法：（1）利用三角形、梯形中位线的性质．（2）利用平行四边形的性质．（3）利用平行线分线段成比例定理．（4）利用基本事实4.
（5）进行数学文化渗透，进一步体会数学逻辑的严谨性以及数学在实际生活中的应用 .
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：第135页 练习 第1，2，3，4题
备用练习
（2023上·江苏镇江·高二统考开学考试）
6．在长方体中，已知点P为线段的中点，且，，，则直线与AP所成的角为（ ）
A． B． C． D．
（2017·高一课时练习）
7．下列命题中，正确的结论有 ( 　)
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；
④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2023·高一课时练习）
8．过平面外的直线l作一组平面与相交，若所得交线分别为a，b，c…，则这些交线的位置关系为（ ）
A．相交于同一点 B．相交但交于不同的点
C．平行 D．平行或相交于同一点
（2023下·四川凉山·高二统考期末）
9．在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
（2023·高一课时练习）
10．下列结论中正确的是（ ）
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.
A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1． 正确 正确 错误
【分析】根据线线平行的性质可判断（1）、（2）；由两直线平行的判断定理结合实例可判断（3）.
【详解】根据平行线的传递性可知：如果两条直线都与第三条直线相平行，那么这两条直线也是互相平行的，
对于（1），，正确；
对于（2），故无公共点，正确；
对于（3）根据平行直线判定定理可知：若两直线同位角相等或内错角相等，则两直线平行，
如果两个角相等，则他们的边不互相平行，如等腰三角形中位线与两腰所成角相等，但它们的边不平行，错误.
故答案为：正确；正确；错误.
2． 平行 相等 互补 比一定平行，可以相交、异面、平行
【解析】略
3．平行
【分析】由平行公理求解.
【详解】由平行公理得：平行于同一条直线的两条直线平行，
故答案为：平行
4．B
【解析】根据等角定理，即可得到结论.
【详解】的两边与的两边分别平行，
根据等角定理易知或.
故选：B.
【点睛】本题考查等角定理，属基础题.
5．D
【详解】由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等.
故选：D.
6．B
【分析】
根据题意分析可知直线与AP所成的角即为（或其补角），进而在中，运算求解即可.
【详解】因为∥，则直线与AP所成的角即为直线与AP所成的角，
如图，连接，可知直线与AP所成的角即为（或其补角），
则，
因为平面，平面，则，
在，可知，且为锐角，则，
所以直线与AP所成的角为.
故选：B.

7．B
【详解】①中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故①错误；②中，如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等，故②正确；③中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，在空间中，两角大小关系不确定，故③错误；④中，如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故④正确；故选B.
8．D
【分析】对于的位置关系进行分类讨论，由此确定正确选项.
【详解】当时，根据线面平行的性质定理以及平行公理可知：所得交线平行.
当时，所得交线交于同一点.
所以所得交线平行或相交于同一点.
故选：D
9．B
【分析】
由题意可得∥，则异面直线与所成角（或其补角），进而可得出为等边三角形，从而得出所求角的大小为60°.
【详解】
如下图所示，连接，
因为分别为的中点，则∥，
又因为∥，且，
则为平行四边形，可得∥，
所以∥，
可知异面直线与所成角为（或其补角），
又因为，即为等边三角形
所以，即异面直线与所成角的大小为.
故选：B.

10．B
【分析】根据空间中直线间的位置关系逐项进行判断即可.
【详解】①错误，两条直线可以异面；
②正确，平行的传递性；
③错误，和另一条直线可以相交也可以异面；
④正确，平行的传递性.
故选：B.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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