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专题6.3 向量的数量积【六大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 求投影向量】
【题型2 向量数量积的计算】
【题型3 求向量的夹角（夹角的余弦值）】
【题型4 已知向量的夹角求参数】
【题型5 求向量的模】
【题型6 已知模求参数】
【知识点1 向量的数量积】
1．向量的数量积
（1）向量数量积的物理背景
在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角.
我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.
（2）向量的夹角
已知两个非零向量，，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB= (0≤≤
π)叫做向量与的夹角，也常用表示.

（3）两个向量数量积的定义
已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0.
（4）向量的投影
如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，
分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
2．向量数量积的性质和运算律
（1）向量数量积的性质
设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则
①==.
②=0.
③当与同向时，=；当与反向时，=-.
特别地，==或=.
④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立.
⑤=.
（2）向量数量积的运算律
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：
对于向量，，和实数，有
①交换律：=；
②数乘结合律：()= ()=()；
③分配律：(+)=+.
3．向量数量积的常用结论
（1）=；
（2）；
（3） ；
（4） ；
（5） ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等
号成立.以上结论可作为公式使用.
【题型1 求投影向量】
【例1】（2023上·陕西西安·高二校考阶段练习）
1．已知向量不共线，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023上·贵州贵阳·高二校考阶段练习）
2．已知，为单位向量，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023上·浙江·高二校联考期中）
3．已知向量与单位向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023上·河北石家庄·高三校联考期末）
4．在等边中，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 向量数量积的计算】
【例2】（2023上·四川南充·高三校考阶段练习）
5．已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．2
【变式2-1】（2023·安徽·校联考一模）
6．在三角形中，，，，则（ ）
A．10 B．12 C． D．
【变式2-2】（2023上·江苏徐州·高三校考阶段练习）
7．线段AB的长度为6，C，D为其三等分点（C靠近A，D靠近B），若P为线段AB外一点，且满足，则（ ）
A．36 B．－36 C．－8 D．8
【变式2-3】（2023上·天津东丽·高三校考阶段练习）
8．如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（ ）

A． B． C．6 D．10
【题型3 求向量的夹角（夹角的余弦值）】
【例3】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）
9．已知非零向量满足，且，则的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023上·青海西宁·高三统考期中）
10．已知向量，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023·四川甘孜·统考一模）
11．已知平面向量满足，若，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023·贵州·清华中学校联考模拟预测）
12．已知向量，且与的夹角为，，向量与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【题型4 已知向量的夹角求参数】
【例4】（2023·全国·高一专题练习）
13．已知向量满足，，若与的夹角为，则m的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【变式4-1】（2023·全国·模拟预测）
14．已知单位向量，的夹角为，向量，，，向量，的夹角的余弦值为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式4-2】（2023下·广东揭阳·高一校联考期中）
15．已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（2023·全国·高一专题练习）
16．已知分别是与轴、轴方向相同的单位向量，，，且的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型5 求向量的模】
【例5】（2023上·广东珠海·高三校考期末）
17．已知向量满足，，，则（ ）
A． B． C．5 D．20
【变式5-1】（2023上·陕西榆林·高三校联考阶段练习）
18．已知非零向量，满足，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【变式5-2】（2023下·湖南常德·高一校考阶段练习）
19．若平面向量两两夹角相等， 且， 则= （ ）
A．2 B．5 C．2或5 D． 或
【变式5-3】（2023·福建宁德·校考一模）
20．已知向量，的夹角为60°，且，则的最小值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
【题型6 已知模求参数】
【例6】（2023下·全国·高一专题练习）
21．若单位向量，的夹角为，向量（），且 ，则（ ）
A． B．－
C． D．－
【变式6-1】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）
22．已知平面向量，，的夹角为，，则实数（ ）
A． B．1 C． D．
【变式6-2】（2023·全国·模拟预测）
23．已知平面向量，满足，，，则实数k的值为（ ）
A．1 B．3 C．2 D．
【变式6-3】（2023·全国·高一专题练习）
24．设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】
将已知条件平方求得，然后根据投影向量公式可得.
【详解】因为，
所以，即，得，
则在方向上的投影向量为.
故选：D
2．B
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.
【详解】依题意，，所以向量在向量上的投影向量为.
故选：B
3．D
【分析】直接根据投影向量的定义即可得结果.
【详解】在方向上的投影向量为，
故选：D.
4．B
【分析】
根据投影向量的求法求得正确答案.
【详解】
由题可知
，
，所以向量在向量上的投影向量为．
故选：B
5．C
【分析】
根据数量积的定义及运算律计算即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：C.
6．A
【分析】
根据向量的数量积公式求得结果.
【详解】记，则，，
，
．
故选：A.
7．C
【分析】根据向量数量积的定义和运算律即可得到答案.
【详解】，，
所以
因为AB的长度为6，C，D为其三等分点（C靠近A，D靠近B），，
所以
，
故选：C.

8．D
【分析】利用平面向量的线性表示和数量积，转化为函数的最值问题求解.
【详解】根据题意可得，，
所以，
又因为，
所以,，
设,则，
所以，
，
所以
，
令，
当单调递增，单调递减，
当，取最大值为.
故选：D
9．C
【分析】
利用平面向量的数量积和模长求夹角即可.
【详解】由已知可得，即，
又因为，所以，
所以夹角为.
故选：C
10．D
【分析】
根据模长公式，结合数量积的运算律，即可由夹角公式求解.
【详解】由可得，所以，
同理由和可得
所以，
故，
故选：D
11．B
【分析】根据向量垂直及数量积运算律、定义可得，即可求夹角.
【详解】由题设，而，
所以，，
所以.
故选：B
12．A
【分析】由题意，，然后由模长公式、数量积的运算公式分别表示出，最终列出方程求解即可.
【详解】由题意，而，
，
又向量与的夹角为，
所以，即,
又，所以解得.
故选：A.
13．A
【解析】由题意，，，与的夹角为，可得，代入可得关于的方程，解方程可得答案.
【详解】解：,
又，
，
，
，
，
即，
得或（舍去），
故的值为2.
故选：A.
【点睛】本题主要考查平面向量数量积的相关知识，考查学生的基础知识与基本计算能力，属于基础题.
14．C
【详解】根据题意，由平面向量的夹角公式代入计算，列出方程，即可得到结果.
【分析】由题意，得，
所以，
．
而，
所以．
整理，得，解得或（舍去）．
故选：C．
15．D
【分析】
根据与的数量积小于0，且不共线可得.
【详解】与的夹角为钝角，
，
又与的夹角为，
所以，即，解得，
又与不共线，所以，
所以取值范围为.
故选：D
16．B
【分析】由向量夹角为锐角可知且不同向，由此可构造不等式组求得结果.
【详解】的夹角为锐角，且不同向，
，解得：且，
实数的取值范围为.
故选：B.
17．B
【分析】先根据，求出，再求，即可求.
【详解】因为，所以，所以，
所以.
故选：B.
18．B
【分析】
利用向量数量积与模长关系结合二次函数的性质计算即可.
【详解】因为，
所以，当且仅当时，等号成立.
故选：B
19．C
【分析】
根据给定条件，分情况结合数量积定义求解即得.
【详解】平面向量两两夹角相等，则或，
当时，即向量同向共线，则，
当时，
.
故选：C
20．C
【分析】运用平面向量数量积的运算性质，结合配方法进行求解即可.
【详解】，
当时，有最小值，
故选：C
21．B
【分析】根据，利用向量数量积的计算公式，展开计算求的值.
【详解】由题意可得：，
，
化简得，解得.
故选：B.
22．A
【分析】对两边平方，再由数量积公式计算可得答案.
【详解】因为，所以，
即，解得.
故选：A.
23．A
【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解即得.
【详解】将两边同时平方，得，而，，，
因此，即依题意，又，所以.
故选：A
24．A
【解析】根据题先利用平面向量的数量积的运算法则进行转化为恒成立，然后结合函数的恒成立，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，非零向量的夹角为，且，
则，
不等式对任意恒成立，
所以，即，
整理得恒成立，
因为，所以，即，可得，
即实数的取值范围为.
故选：A.
【点睛】求平面向量的模的两种方法：
1、利用及，把向量模的运算转化为数量积的运算；
2、利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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