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专题6.7 平面向量的综合应用大题专项训练【六大题型】
【人教A版（2019）】
（2023下·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）
1．在直角坐标系中，向量，，，，其中，，.
(1)若 ，，三点共线，求实数的值；
(2)若四边形为菱形，求的值.
（2023下·云南曲靖·高一校考阶段练习）
2．已知点，，及.
(1)若点P在第一象限，求t的取值范围；
(2)四边形能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
（2023下·广西南宁·高一校考阶段练习）
3．已知平行四边形中，．
(1)求点D的坐标；
(2)设向量与夹角为，求的值；
(3)求平行四边形的面积．
（2023下·河北石家庄·高一校联考阶段练习）
4．在平面直角坐标系中，点，，记，．
(1)设在上的投影向量为（是与同向的单位向量），求的值；
(2)若四边形为平行四边形，求点C的坐标．
（2023·全国·高一专题练习）
5．某公园有三个警卫室A B C，互相之间均有直道相连，千米，千米，千米，保安甲沿CB从警卫室C出发前往警卫室B，同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时.
(1)保安甲从C出发1.5小时后达点D，若，求实数x y的值；
(2)若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过2千米，试问有多长时间两人不能通话？
（2023下·宁夏银川·高一校考期中）
6．在中，分别为边上的点，且.设.

(1)用表示；
(2)用向量的方法证明：.
（2023下·陕西西安·高一统考期末）
7．已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.

(1)请用、表示向量；
(2)设和的夹角为，若，且，求证：.
（2023·高一课时练习）
8．如图，正方形ABCD的边BC在正方形BEFG的边BG上，联结AG、CE，AG交DC于H．
（1）证明：；
（2）当点C在BG的什么位置时，最小？
（2023·高一课时练习）
9．如图，在中，BC、CA、AB的长分别为.
（1）求证：；
（2）若，试证明为直角三角形.
（2023·全国·高三专题练习）
10．如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点．设向量，．

（1）求的值；
（2）用，表示和；
（3）证明：．
（2023下·贵州贵阳·高一校联考阶段练习）
11．如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点

(1)若，求AE的长；
(2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求．
（2023下·湖南常德·高一校考阶段练习）
12．如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．

(1)求的余弦值．
(2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．
（2023·全国·高一专题练习）
13．如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点.
(1)求线段，的长；
(2)求的余弦值.
（2023·全国·高三专题练习）
14．如图，在△ABC中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．
(1)求的正弦值；
(2)求的余弦值．
（2023下·安徽蚌埠·高一统考期末）
15．如图，在中，，．点D在边BC上，且．
(1)，，求；
(2)，AD恰为BC边上的高，求角A；
(3)，求t的取值范围．
（2023下·四川成都·高一石室中学校考期中）
16．如图，已知中，，，，点是的内切圆圆心（即三条内角平分线的交点），直线与交于点.

(1)设，求和的值；
(2)求线段的长.
（2023下·河北沧州·高一校考阶段练习）
17．如图，在中，.
(1)求的长；
(2)求的长.
（2023下·广东广州·高一校考期中）
18．如图，在中，是边的中点，与交于点.
(1)求和的长度；
(2)求.
（2023·全国·高一专题练习）
19．在梯形中，，，点E，F分别是，的中点，求证：.
（2023·全国·高一专题练习）
20．若分别是平面四边形的边的中点.
（1）求的值；
（2）证明：四边形为平行四边形.
（2023下·江西九江·高一统考期末）
21．已知四边形ABCD是边长为2的菱形，，P为平面ABCD内一点，AC与BP相交于点Q．
(1)若，，求x，y的值；
(2)求最小值．
（2023下·四川成都·高一树德中学校考阶段练习）
22．在△ABC中，已知，，，，Q为线段CA延长线上的一点，且.
(1)当且，设PQ与AB交于点M，求线段CM的长；
(2)若，求t的最大值.
（2023下·上海普陀·高一曹杨二中校考期中）
23．如图，已知是边长为2的正三角形，点、、是边的四等分点.
(1)求的值；
(2)若为线段上一点，且，求实数的值；
(3)若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置.
（2023·全国·高一专题练习）
24．在锐角中，，点为的外心.
(1)若，求的最大值；
(2)若，
（i）求证：；
（ii）求的取值范围.
（2023下·全国·高一专题练习）
25．在边长为2的等边△ABC中，D为BC边上一点，且．
(1)若P为△ABC内一点（不包含边界），且PB＝1，求的取值范围；
(2)若AD上一点K满足，过K作直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，△AMN的面积为，四边形BCNM的面积为，且，求实数k的最大值．
（2023·全国·高一随堂练习）
26．如图，质量的木块，在平行于斜面大小为10N向上的拉力F的作用下，沿倾角的光滑斜面向上滑行2.0m的距离．

(1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功；
(2)求在这一过程中物体所受各力对物体做的功的代数和；
(3)求物体所受合外力对物体所做的功，它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系？
（2023下·山西阳泉·高一校考期中）
27．一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向.

(1)若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值；
(2)当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？
（2023·高一课时练习）
28．已知两个力，，，作用于同一质点，使该质点从点移动到点(其中，分别是轴正方向、轴正方向上的单位向量)．试求：
(1)，分别对质点所做的功；
(2)，的合力对质点所做的功．
（2023·全国·高一专题练习）
29．如图，设Ox、Oy是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标，设.
(1)计算的大小；
(2)甲在Ox上距O点3千米的点A处，乙在Oy上距O点1千米的点B处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以4千米/小时的速度行走；
①若过半小时后甲到达C点，乙到达D点，请用与来表示；
②若t时刻，甲到达G点，乙到达H点，求的最小值.
（2023·全国·高一随堂练习）
30．长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向．
(1)当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由．
(2)当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算）
(3)当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）根据 ，，三点共线，可得共线，根据向量共线的坐标表示列式计算，可得答案；
（2）根据菱形的性质，结合向量模以及向量的线性运算，列出方程，求得m的值，即可求得答案.
【详解】（1）由已知得，，
因为 ，，三点共线，共线，
所以；
（2）,,
由四边形为菱形得，即，
即①，
由菱形得,
将代入①，解得，
所以.
2．(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）由平面向量的坐标运算，求出，利用点P在第一象限，列不等式求得的取值范围；
（2）利用四边形是平行四边形时，只需要，列方程求出的值，即可判断四边形能否为平行四边形.
【详解】（1），
由题意得，解得：，即的取值范围为.
（2）若四边形是平行四边形，只需要，即，
由（1）知，，而，
，方程组无解，故四边形不能成为平行四边形.
3．(1)
(2)
(3)6
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得，由此求得答案；
（2）根据向量的夹角公式没即可求得答案；
（3）根据平行四边形的面积，结合三角形面积公式，求得答案.
【详解】（1）因为四边形是平行四边形，所以，
设点D的坐标为，
所以,所以,即点D的坐标．
（2），，，，
所以．
（3）因为，所以，
所以平行四边形的面积为：
.
4．(1)
(2)
【分析】（1）根据投影向量的定义，即可求解；
（2）根据平行四边形的性质，得到，转化为坐标运算，即可求解.
【详解】（1）设与的夹角为，
则．
（2）设点，因为四边形为平行四边形，所以．
又，，
所以，解得．
故．
5．(1)
(2)两人约有小时不能通话
【分析】（1）先根据勾股定理确定这是一个直角三角形，然后可以建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，根据坐标运算可以计算出实数x y的值；（2）表示出点的坐标之后可以把坐标表示，立出不等式解不等式即可.
【详解】（1）因为，所以，
因此建立如图所示的平面直角坐标系，
，
设保安甲从C出发小时后达点D，所以有，
设，由，
即，当时，，
由
；
（2）设保安乙从B出发小时后达点E，所以点E的坐标为，
于是有，
因为对讲机在公园内的最大通话距离超过2千米，两人不能通话，
所以有，所以
解之：或，又
所以两人约有小时不能通话.
6．(1).
(2)证明见解析
【分析】
（1）根据平面向量的线性运算即可求解；
（2）由（1）得，根据平面向量的数量积运算即可证明.
【详解】（1）因为，
.
（2）由且，
得，
所以.
7．(1).
(2)证明见解析.
【分析】
（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得.
（2）以、为基底表示出向量，结合向量的数量积公式，可证得.
【详解】（1）.
（2），
，.
8．（1）证明见解析；（2）点C在BG的中点.
【分析】（1）建立直角坐标系，写出各点的坐标，利用向量法证明
（2）建立直角坐标系，利用向量几何均值不等式求解即可.
【详解】以B为原点，BE所在所在直线为x轴，以BG所在直线为y轴，建立直角坐标系．设，，且a∴、、，，∴，，
∴，∴，即．
（2）易知，，
∴，当且仅当时取等号，
∴点C在BG的中点时，最小．
9．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）用向量方法证明，由，两边同乘以，再利用向量数量积公式，即可得证；
（1）证法一：，结合向量数量积公式即可得证；
证法二：已知等式转化为三角形边角关系，再结合（1）的结论，即可得证.
【详解】（1）∵，
∴
∴
∴
（2）,由 得 ，
，
∴△ABC为直角三角形.
证法二：由（1）类似可证得：（*）
由得， 即：，
∴，结合（*）式得，
∴，∴△ABC为直角三角形 .
【点睛】本题考查向量在三角形中的应用，考查等价转换思想，属于中档题.
10．（1）；（2），；（3）证明见解析
【分析】（1）利用数量积公式以及求解即可；
（2）由向量的加减法进行运算即可用，表示和；
（3）利用向量的垂直和数量积的关系证明即可.
【详解】（1）
（2）
又为中点
（3）
又
所以
【点睛】本题主要考查了用基底表示向量，利用数量积求模以及利用向量证明线段垂直，属于中档题.
11．(1)1
(2)
【分析】（1）设，由可得，即可得答案；
（2）由图可知，由向量夹角公式可得答案.
【详解】（1）由题，可得.则.
设，则.因，则.则，故AE的长为1；
（2）若E为AB的中点，则，，又.
由图可知.
12．(1)
(2)存在．
【分析】
（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解；
（2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】（1）
如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系．
则．
由于就是的夹角．

的余弦值为．
（2）
设
．
．
由题得．
①当点在上时，设，
；
②当点在上时，设，
，舍去．
综上，存在．
13．(1)，
(2)
【分析】（1）由，，根据向量数量积的运算即可求解；
（2）由与的夹角即为，利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】（1）解：由题意，，，
又，
所以，
，即，
=
，
，即；
（2）解：，
==，
与的夹角即为，
.
14．(1)
(2)
【分析】（1）解法1、由余弦定理求得，得到，分别在和，求得和，结合和互补，求得，再在中，求得，即可求解；
解法2、由题意，求得，根据，结合的面积为面积的，列出方程，即可求解；
（2）解法1、由余弦定理求得，得到，，在中，由余弦定理求得，即可求解；
又由，所以．
解法2、由，求得，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）解：解法1、由余弦定理得，
即，所以，
所以，
在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得，
与互补，则，解得，
在中，由余弦定理，得，
因为，所以．
解法2、由题意可得，，
由AM为边BC上的中线，则，
两边同时平方得，，故，
因为M为BC边中点，则的面积为面积的，
所以，
即，
化简得，．
（2）解：方法1、在中，由余弦定理，得，
所以，
由AM，BN分别为边BC，AC上的中线可知P为重心，
可得，，
在中，由余弦定理，得，
又由，所以．
解法2：
因为BN为边AC上的中线，所以，
，
，即．
所以．
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题易知，转化问题为求的模，进而求解；
（2）由AD为BC边上的高，则，即，根据，，整理即可求解；
（3）易知，则，整理等式，结合且求解即可.
【详解】（1）由题，因为，所以，即点为边的中点，
所以，
因为，，，
所以.
（2）由题，因为，所以，
因为AD恰为BC边上的高，所以，
因为，，
且，，
所以
，
所以，则.
（3）由题，，
则，
因为，且，，
所以，
则，
所以，
因为，则，
因为，则，
解得.
16．(1)，
(2)
【分析】（1）根据角平分线的性质得到，再根据平面向量线性运算法则计算可得；
（2）根据数量积的运算律求出，即可求出，连结，根据角平分线的性质求出.
【详解】（1）由于是的平分线，所以，
因此，从而，
由平面向量基本定理可得，.
（2）由（1）可知.
由题意，，.
由得，
即，所以.
因此，即，
又，，所以，
连结，则是的平分线，因此，从而.

17．(1)
(2)
【分析】（1）确定，，，，计算得到答案.
（2），，计算得到答案.
【详解】（1）；
，
，故，
.
（2），
.
18．(1)
(2)
【分析】
（1）利用三角函数定义即可求得的长；利用向量法即可求得的长度；
（2）利用向量夹角的余弦公式即可求得的值.
【详解】（1）是高，，在Rt中，，
所以.
是中线，，
，
（2），
.
另解：过D作交于，
是的中点，是的中点，
是的中位线，是的中位线，
，
.
19．证明见解析
【分析】由题意可知，又，，且与同向，
则，即可求证
【详解】因为点E，F分别是，的中点，
所以，.
所以.
因为，
所以 ，
所以.
因为，，且与同向，
所以，
即.
20．（1）；（2）证明见解析
【分析】（1）由题知，，进而得，故；
（2）结合向量共线证明线段平行且相等即可证明.
【详解】解：（1）因为是边的中点，
所以，，
又因为，，
所以，
所以
（2）连接，
因为分别是平面四边形的边的中点，
所以在和中，
由中位线定理得：，，
所以，
因为不共线，
所以，
所以四边形为平行四边形
21．(1)
(2)
【分析】
（1）建立直角坐标系，利用向量的线性运算的坐标表示即可求解，
（2）根据向量数量积的坐标运算，结合二次型多项式的特征即可求解最值.
【详解】（1）当时，则为的中点，
由于,所以,
所以

（2）由于四边形ABCD是边长为2的菱形，且，建立如图所示的直角坐标系，
则,
取中点为，连接,则,
设
，
，
故当时，取最小值，
22．(1)
(2)
【分析】
（1）用表示，结合向量的模公式，即可求得本题答案；
（2）结合题目条件和向量积的公式，逐步化简，可得到，然后分离变量，利用函数的单调性即可求得本题答案.
【详解】（1）因为且，所以是的中点，是的中点，则M是的重心，
设，
所以，
；
（2）因为，，
所以，
，
，
，
由，得：，
所以，因为，，
所以，，
令，则在单调递减，所以当时，有最大值－3.
23．(1)6
(2)
(3)时，取最小值
【分析】（1）利用平行四边形法则化简表达式，然后利用已知条件及向量数量积公式计算即可；
（2）利用三点共线定理建立等式，得出方程组求出参数即可；
（3）记，，设，其中，表示出向量，，然后表示出的结果，转化为二次函数求最值即可.
【详解】（1）由于为边的中点，
所以，
故.
由于，
故.
因此.
（2）由于，
故.
由于为线段上一点，设，
有.
由向量基本定理得，解得，因此.
（3）记，，
由得.
设，其中，
则，.
进而有
，.
当且仅当即时，
取最小值.
24．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）由推出，即，由推出，两边平方得到，根据不等式知识，结合，可得；
（2）（i）延长交圆于，则，过 作，垂足为，过作，垂足为，根据平行四边形法则可证结论成立；
（ii）延长至，使得，以为邻边作矩形，延长至，使得，将转化为，结合图形可求出结果.
【详解】（1）因为，所以，
因为点为的外心，所以，即，，
因为，所以，
所以，
设三角形的外接圆的半径为，则，
由得，
所以，所以，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
得，得或.
因为三角形为锐角三角形，其外心必在三角形内，
由可知，
再由可知，
所以应舍去，所以，
所以的最大值为.
（2）（i）延长交圆于，则，过 作，垂足为，过作，垂足为，如图：

因为，所以，
因为，且，所以，
所以，，
所以，
所以，
所以.
（ii）延长至，使得，则，以为邻边作矩形，
则，且，
延长至，使得，则，如图：

所以，
所以当三点共线时， 取最小值，最小值为，
因为三角形为锐角三角形，且，所以，可得，
所以，
当时，
，
当时，
，
所以，即的取值范围是.
25．(1)
(2)
【分析】
(1)取的中点，则，所以，根据PB＝1，可以得到，进而求出结果；
(2)根据得到，利用题干已知条件进行转化，再利用三点共线可以得出，然后将比值化为一个二次函数求最值问题即可求解.
【详解】（1）取的中点，所以，
因为为的中点，所以，
所以，
又因为PB＝1，所以，故，
故的取值范围.
（2）因为，所以，
因为，，，
所以，也即，
因为点三点共线，所以①
因为，所以，
所以，又因为，所以，
所以②，
由①得：，将其代入②式可得：，
所以当时，取最大值.
26．(1)拉力，支持力不做功，重力；
(2)；
(3)物体所受合外力对物体做的功与物体所受各力对物体做功的代数和相等.
【分析】（1）分析物体受力，按功的定义式求解每个力做的功；
（2）将（1）中各值累加即可;
（3）计算物体所受合外力对物体所做的功，与物体所受各力对物体做功的代数和比较即可.
【详解】（1）木块受三个力的作用，重力，拉力和支持力，如图所示.

拉力与位移方向相同，
所以拉力对木块所做的功为.
支持力与位移方向垂直，不做功，所以.
重力对物体所做的功为.
（2）物体所受各力对物体做功的代数和为.
（3）设物体所受合外力的大小为，
则,
故合外力做功为.
故物体所受合外力对物体做的功与物体所受各力对物体做功的代数和相等.
27．(1)，
(2)
【分析】（1）设游船的实际速度为，由速度合成的，根据求得结果即可；
（2）设到达北岸点所用时间为，根据计算长度，得出结果.
【详解】（1）设游船的实际速度为.

由，得，.
如图所示速度合成示意图，由，得，
.
所以的大小为的值为.
（2）当时，设到达北岸点所用时间为，作出向量加法示意图如图所示，由向量数量积运算得：

. .
在Rt中，，从而.
所以.
故游船的实际航程为.
28．(1)120；-9
(2)111
【分析】（1）由已知可得两个力，和位移，再由公式计算即可求解；
（2）先计算，的合力，再由公式即可求得合力对质点所做的功．
【详解】（1）依题意有，，，
则做的功为，
做的功为．
（2）由，
所以做的功为．
29．(1)
(2)①；②2
【分析】（1）利用，直接求出的大小；
（2）①先表示出，利用向量的减法即可表示出；
②表示出两人在t时刻相距，求出模长，利用二次函数求最值即可.
【详解】（1）因为，
所以 .
（2）①因为，
所以，所以；
②两人在t时刻相距，
所以
当时，即小时后，他们两人相距最短．
30．(1)的左侧.
(2)，航行小时.
(3)
【分析】（1）只需确定在反方向上的分速度与的大小，即可判断游船航行到达的位置.
（2）要使游船能到达处则在反方向上的分速度与相等，列方程即可求，进而求垂直方向上的分速度，即可知航行时间.
（3）根据题设，求出水平方向上的位移大小，结合勾股定理即可求实际航程.
【详解】（1）由题设，在反方向上的分速度为，
∴游船航行到达北岸的位置是在的左侧.
（2）要使能到达处，则在反方向上的分速度为，
∴，故，又，此时，
∴垂直方向上的速度，
∴.
（3）由（1）知：垂直方向航行时间为，
∴水平方向航行距离为，
∴游船航行到达北岸的实际航程.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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