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第二十二章 影响线及其应用
知识目标：
了解影响线的概念
了解我国公路桥涵标准荷载
熟练掌握用静力法和机动法分别绘制单跨静定梁、多跨静定梁反力、内力的影响线
掌握如何利用影响线求解移动荷载作用下量值的方法
了解连续梁支座反力、内力影响线形状的确定和简单应用
能力目标：
能熟练运用静力法和机动法绘制梁的支座反力及内力影响线
能利用影响线求解相应量值
第二十二章
我国公路和铁路的标准荷载值
第二节
影响线的概念
第一节
静力法绘制单跨静定梁的影响线
第三节
机动法绘制多跨静定梁的影响线
第四节
影响线的应用
第六节
结点荷载作用下的影响线
第五节
简支梁的绝对最大弯矩
第七节
简支梁的内力包络图
第八节
连续梁的影响线及其应用简介
第九节
第七节
简支梁的绝对最大弯矩
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第七节　简支梁的绝对最大弯矩
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在移动荷载作用下，可以求出简支梁上任意指定截面处的最大弯矩。但在梁的所有各截面最大弯矩中，又有最大的，称为简支梁的绝对最大弯矩。
要确定简支梁的绝对最大弯矩，就必须解决两个问题：
（1）绝对最大弯矩发生在哪一个截面？
（2）此截面发生最大弯矩值时的荷载位置。
当梁上作用的移动荷载都是集中荷载时，梁在集中荷载组作用下，无论荷载在任何位置，弯矩图的顶点总是在集中荷载作用点处。因此可以断定，绝对最大弯矩必定发生在某一集中荷载作用点处的截面上。
第七节　简支梁的绝对最大弯矩
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使梁中点截面产生最大弯矩的临界荷载，也就是发生绝对最大弯矩的临界荷载。
计算绝对最大弯矩可按下述步骤进行：
①确定使梁中点截面发生最大弯矩的临界荷载Fk；
②移动荷载组使Fk与梁上荷载的合力对称于梁的中点；
③计算此时Fk作用点截面的弯矩，即得绝对最大弯矩。
究竟发生在哪一荷载位置时的哪一个荷载下面。因此可先任选一集中荷载，看荷载在什么位置时，该荷载作用点处截面的弯矩达到最大值。然后按照同样的方法，分别求出其它各荷载作用点处截面的最大弯矩，再加以比较，即可确定绝对最大弯矩。
（22-5）
第七节　简支梁的绝对最大弯矩
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【例22-4】如图22-26（a）所示简支梁，试求在图示汽车荷载作用下的绝对最大弯矩并与跨中C截面的最大弯矩MCmax进行比较。
解：（1）求跨中C截面的最大弯矩MCmax
绘出跨中C截面的最大弯矩MC的影响线如图22-26（b）所示。显然，重车后轮F=100kN作用于影响线顶点处时为最不利荷载位置，即临界荷载Fk为100kN，可求得：
MCmax=70×0.5+50×8+100×10+30×7.5+70×5.5=2045kN·m
（2）求绝对最大弯矩
梁上荷载合力FR=320kN,合力至临界荷载的距离可由合力矩定理求得。假设合力至梁中点C的距离为 a，则有：
第七节　简支梁的绝对最大弯矩
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此时，荷载100kN下的截面K的弯矩即为绝对最大弯矩
Mmax=169.4×21.17-70×19-50×4=2056kN·m
注意：FR是梁上实际荷载的合力。在安排FR与Fk的位置时，如发现有新的荷载进入梁上或者有荷载离开梁，则应重新计算合力FR的数值和位置，然后再放置FR与Fk的位置。
由上述计算结果可知，绝对最大弯矩仅比跨中最大弯矩大0.54%。在实际工作中，有时也用跨中截面最大弯矩来代替绝对最大弯矩。
合力 FR位于C点之左，使合力FR与100kN对称于梁的中点，如图22-26（c）所示，则得： x=l/2+a/2=20+1.17=21.17m
第七节　简支梁的绝对最大弯矩
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图22-26
第八节
简支梁的内力包络图
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第八节　简支梁的内力包络图
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前面我们讨论了在移动荷载作用下，梁内某一截面内力的最大值（或最小值）的计算方法。对于结构设计来说，还应求出各截面上内力的最大值（或最小值）。如果把梁上各截面内力的最大值按同一比例标在图上，连成曲线，这一曲线称为内力包络图。显然，梁的内力包络图有两种：弯矩包络图和剪力包络图。包络图表示各截面内力变化的极限值，是结构设计中的主要依据，下面将以一个实例来介绍简支梁内力包络图的绘制方法。
如图22-27（a）所示简支梁，其上作用两个距离不变的移动集中荷载F，相距4m、梁的跨度l=12m。试求该梁的内力包络图。
第八节　简支梁的内力包络图
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1.弯矩包络图
首先将梁分成10等分，根据对称性，本题只需计算截面1、2、3、4、5的最大弯矩值。现将这5个截面的弯矩影响线绘于图22-28中。利用影响线分别确定临界荷载和临界位置，并求出各截面的弯矩最大值。M1=1.08F+0.068F=1.76F， M2=1.92F+1.12F=3.04F ，M3=2.52F+1.32F=3.84F， M4=2.88F+1.28F=4.16F ，M5=3.00F+1.00F=4.00F 。
根据各截面弯矩最大值，绘制梁的弯矩包络图，如图22-27（b）所示。特别指出，根据上节内容可知跨中的竖标并不是最大值。
第八节　简支梁的内力包络图
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图22-27
图22-28
第八节　简支梁的内力包络图
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2.剪力包络图
同理，可画出该梁的剪力包络图。首先分别绘出1、2、3、4、5截面的剪力影响线和相应的最不利荷载位置，如图22-29所示。求算各截面的最大剪力值和最小剪力值。
（1）剪力最大值
第八节　简支梁的内力包络图
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根据各截面剪力的最大值和最小值，将剪力的最大值连成一条曲线，最小值连成一条曲线，既得该梁的剪力包络图，如图22-27（c）所示。
（2）剪力最小值
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图22-29
第九节
连续梁的影响线及其应用简介
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第九节　连续梁的影响线及其应用简介
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静定结构影响线的定义同样也适用于超静定结构。在结构设计中，通常只要知道连续梁影响线的轮廓，而不必求出其影响线的具体数值。因此，采用机动法能不经计算就绘制出连续梁的影响线轮廓。下面介绍机动法绘制连续梁影响线的基本概念。
图22-30
有一超静定连续梁如图22-30（a）所示，试求反力FB的影响线。
第九节　连续梁的影响线及其应用简介
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首先撤除B支座的竖向约束，并以相应反力FB代替，如图22-30（b）所示。然后在B支座处产生一个单位虚位移，如图22-30(a)所示。根据虚功原理有
根据上式可知，此时的竖向位移图就代表FB的影响线。而对于超静定结构，其位移图是多余未知力作用的弹性曲线。所以，如图22-30所示的弹性变形曲线就是反力FB的影响线。
同理，其它反力和内力的影响线都可按上述方法求得。即去掉与所求反力或内力相应的约束，然后使之产生与该反力或内力相对应的正向单位位移。所得到的梁的位移图，即为该反力或内力的影响线的轮廓。
第九节　连续梁的影响线及其应用简介
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如图22-31（a）所示为一五等跨连续梁，其支座反力、支座弯矩、支座剪力、跨中弯矩和跨中剪力影响线轮廓均可用机动法绘出。结构设计时，可以根据影响线的轮廓及正、负分布规律，就可确定相应的均布活荷载的最不利位置，从而找到最大反力和内力。图22-31中分别标出了相应内力或反力为最大值时最不利荷载的分布情况。读者也可以自己采用机动法绘制图中等的影响线并确定其各自的最不利荷载的分布情况。
第九节　连续梁的影响线及其应用简介
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图22-31
本 章 小 结 ：
本章主要介绍了影响线的概念、影响线的绘制、影响线的应用等内容。
1.影响线是指单位集中荷载作用下，结构上某量值变化规律的图形。
2.绘制影响线的基本方法有两种：静力法和机动法 。
3.影响线的应用：
（1）利用影响线求固定荷载作用下的量值；
（2）利用影响线确定最不利荷载位置。
4.计算绝对最大弯矩的步骤：
（1）确定使梁中点截面发生最大弯矩的临界荷载Pk；
（2）移动荷载组使Pk与梁上荷载的合力对称于梁的中点；
（3）计算此时Pk作用点截面的弯矩，即得绝对最大弯矩。
5.把梁上各截面内力的最大值按同一比例标在图上，连成曲线，这一曲线称为内力包络图。
包络图表示各截面内力变化的极限值，是结构设计中的主要依据。
梁的内力包络图有两种：弯矩包络图和剪力包络图。
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