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第二十二章 影响线及其应用
知识目标：
了解影响线的概念
了解我国公路桥涵标准荷载
熟练掌握用静力法和机动法分别绘制单跨静定梁、多跨静定梁反力、内力的影响线
掌握如何利用影响线求解移动荷载作用下量值的方法
了解连续梁支座反力、内力影响线形状的确定和简单应用
能力目标：
能熟练运用静力法和机动法绘制梁的支座反力及内力影响线
能利用影响线求解相应量值
第二十二章
我国公路和铁路的标准荷载值
第二节
影响线的概念
第一节
静力法绘制单跨静定梁的影响线
第三节
机动法绘制多跨静定梁的影响线
第四节
影响线的应用
第六节
结点荷载作用下的影响线
第五节
简支梁的绝对最大弯矩
第七节
简支梁的内力包络图
第八节
连续梁的影响线及其应用简介
第九节
第六节
影响线的应用
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一、利用影响线求固定荷载作用下的量值
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1.集中荷载作用
一般情况下，若有一系列集中荷载F1、F2、F3…、Fn作用在结构上，则在这组集中荷载共同作用下，量值S为：
2.均布荷载作用
当梁上作用有荷载集度各不相同的均布荷载，或不连续的均布荷载时，则应逐段计算，然后求其代数和，即：
式（22-2）说明：在均布荷载用下，某量值S的大小，等于荷载集度与该量值影响线在荷载分布范围内面积A的乘积。计算面积时，要注意考虑影响线竖标的正、负号。
（22-1）
（22-2）
一、利用影响线求固定荷载作用下的量值
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【例22-1】用影响线求图22-17（a）所示外伸梁在固定荷载作用下C截面的弯矩和剪力值。
解：（1）作弯矩MC和剪力FSC的影响线分别如图22-17（b）、（c）所示。
（2）计算弯矩：
（3）计算剪力：
一、利用影响线求固定荷载作用下的量值
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图22-17
二、利用影响线确定最不利荷载位置
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在结构设计中，我们需要求出某一量值S的最大值Smax（包括最大正值和最大负值，最大负值也称为最小值Smin）作为设计的依据。要解决这一问题，我们首先必须确定使其产生最不利荷载位置（指使结构的某一量值为最大值时的荷载位置），当所求量值的最不利位置确定了，则其最大值可按公式（22-1）、（22-2）确定。
应当注意，荷载的最不利位置是针对某一指定截面某一内力来说的，相应于某一内力的最不利荷载位置，对其它内力不一定是最不利荷载位置。
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1.均布荷载作用情况
（1）长度不定可以任意布置的均布荷载
这种长度不定可以任意布置的均布荷载（也称为可动均布荷载，如人群、货物等）由公式（22-2）可知：将荷载布满对应影响线所有正面积部分，则产生S的最大值；反之，将荷载布满对应影响线所有负面积部分，则产生 S 的最小值。
如图22-18所示外伸梁，由截面C的弯矩影响线（如图22-18（b ））可知，当均布荷载布满梁的AB段时，如图22-18（c）所示，MC为最大值MCmax；当均布荷载布满梁的AD段和BE段时，如图22-18（d）所示，MC为最小值MCmin。
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图22-18
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（2）定长的均布荷载
公路桥涵设计中最常见的是具有一定长度的均布荷载，如履带式拖拉机。这里讨论影响线为三角形的情况。显然，为使所研究的量值达到最大，应使得均布荷载范围对应的影响线面积ω最大。
可以证明，将均布荷载置于两端点对应的影响线竖标（yA和yB）恰好相等的地方ω达到最大。如图22-19（a）所示的荷载位置正是它的最不利荷载位置。若影响线为直角三角形时，则可将荷载直接布置在影响线竖标较大的一侧即可，如图22-19（b）。
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图22-19
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2.集中荷载作用情况
（1）一个移动集中荷载
我们知道，在单个集中荷载作用下产生的某量值的数值，等于此力与其作用点之下相应影响线竖标的乘积。因此，最不利荷载位置是这个集中荷载作用在影响线的竖标最大处。
（2）行列荷载
所谓行列荷载，一般是指一系列彼此间距不变的移动的竖向集中荷载、竖向均布荷载，如公路标准汽车荷载和铁路标准列车荷载等。
由于这类荷载的荷载数目较多，确定最不利荷载位置的方法分两步来解决。
第一步，求出使得所研究量值S产生极值的荷载位置。这个荷载位置称为临界荷载位置。
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第二步，从有限个临界荷载位置中选出最不利荷载位置，也就是从量值S的极大值中选出最大值，从极小值中选出最小值。
根据临界荷载位置的定义可知，当荷载移动到该位置使得所求量值S为最大值时，行列荷载由该位置不论向左或向右移动一微小距离，量值S一定减小，即其增量ΔS≤0。如何找到这个位置呢？可以证明当系列集中荷载必须有一个集中荷载位于所求量值影响线图形的顶点处才可能使之产生极值（注意这只是必要条件而非充分条件）。我们将能使所研究量值S产生极值的荷载位置称为临界荷载位置，置于影响线顶点的该荷载称为临界荷载。下面对影响线图形为三角形的情况推导出临界荷载位置的判别规则。
二、利用影响线确定最不利荷载位置
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如图22-20所示，分别表示一大小、间距不变的移动荷载组和某一量值 S 的三角形影响线。现在来确定S有最大值时荷载的最不利位置。
图22-20
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在移动荷载中选定一个，将置于S影响线的顶点上，以FRL、FRR分别表示FK左、右两边荷载的合力。如果这一位置能使 S 有极大值，那么，不论荷载向左或向右移动时，都必然会使 S 减小，即ΔS＜0 。
式（22-3）说明：如果把不等式的左边和右边分别视为段和段的平均荷载，则FK计入影响线顶点的哪一边，这一边的平均荷载就较另一边的大， S 将有极大值。荷载FK就为临界荷载，与此相应的荷载位置，称为临界位置。由此可见，式（22-3）是判断 FK是否临界荷载必须满足的条件，称为三角形影响线临界荷载判别式。
（22-3）
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最后必须指出，对于直角三角形，判别式不再适用。此时的最不利荷载位置，一般可由直观判定，如图22-22所示。
一般而言，给出一组移动荷载和量值 S 的影响线后，需根据式（22 -3）选取若干个荷载计算，方能确定哪一个是临界荷载并从而确定出最不利荷载位置。通常，在数值较大、排列较密的那几个荷载中，出现临界荷载的可能性较大。有时，临界荷载不止一个，这时可将相应极值分别算出，比较哪个为最大，发生最大值的那个荷载位置就是最不利位置。
而对于如图22 - 21所示均布荷载跨过三角形影响线顶点的情况，当左右两边平均荷载相等时为最不利荷载位置。此时有：
（22-4）
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图22-21
图22-22
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【例22-2】如图22-23（a）所示简支梁，承受如图所示汽车荷载作用时，试求C截面的最大弯矩。
解：首先作出MC的影响线如图22-23（b）所示。
由于桥梁应考虑车队两个行进方向，先假设车队由右向左开行，将重车后轮F=100kN置于影响线顶点，如图22-23（c）所示，用式（22-3）验算：
可知，所试位置是一个临界荷载位置，相应的MC值为：
MC=50×1.25+100×3.75+30×1.875+70×0.375=520kN·m
由图22-23(c)可以看出，此时在梁上的荷载较多且最重的轮子位于影响线最大竖标处，故不须再考虑其它的荷载位置了。
其次，考虑车队调头由左向右开行，亦将重车后轮F=100 kN置于影响线顶点，如图22-23（d）所示，则由
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可知这也是一个临界荷载位置。此情况下其它荷载位移同样不须再考虑。相应的MC值为： MC=30×0.625+100×3.75
+50×2.25=506.25kN·m
二者比较可知图22-23（c）所示荷载位置为最不利荷载位置。
MCmax=520kN·m
图22-23
二、利用影响线确定最不利荷载位置
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【例22-3】如图22-24（a）所示简支梁，求在中-活荷载作用下C截面的最大弯矩MC。
由此可见这不是最不利荷载位置，把第五个轮子放在左边时，左边的平均荷载尚比右边的小，故还应将荷载继续左移x，如图22-24（d）所示。根据式（22-4）有：[5×220+92x]/15=92 得：x=3.04m
MCmax=(5×220×7.46/15)9.38
+92{ (3.04/2) [9.38+(11.96/15)9.38]+(9.38×25)/2}=18271kN·m
解：首先作出MC的影响线如图22-24（b）所示。
此影响线顶点距左支座较近，而中-活载又是前轮重后面轻，因此最不利荷载位置必然发生在车队由右向左行的过程中。因为这样可使较多较重的荷载位于影响线顶点附近。
将第五个轮子置于影响线顶点试算：
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必须注意的是，在解出 x 后，应查对按此 x 布置的荷载前面是否有轮超出梁外或后面有第二段均布荷载进入梁内。若有，则应按变更后的荷载重新确定 x 值，再进行查对，直到相符为止。读者可以自行验证此例无上述情况发生。
图22-24

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