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第二十一章 力矩分配法
知识目标：
掌握力矩分配法基本原理和方法
理解转动刚度、分配系数、传递系数和约束力矩的含义
理解单结点、多结点力矩分配过程中每一步的物理含义
了解力矩分配法位移、内力正负号规定
能力目标：
能熟练地应用力矩分配法计算无侧移结构并绘制出其弯矩图
能正确计算转动刚度、分配系数
能应用载常数计算固端弯矩，进而求出约束力矩
能应用力矩分配法计算给定支座位移的连续梁和刚架的弯矩
第二十一章
单结点的力矩分配法
第二节
力矩分配法的适用范围及其基本概念
第一节
多结点的力矩分配法
第三节
第三节　　多结点的力矩分配法
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第三节　多结点的力矩分配法
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对于具有多个结点的连续梁和刚架，只需依次对每个结点应用上述单结点的力矩分配与传递，经过多次循环就可以求出杆端弯矩的渐近解。具体步骤是：
（1）先在各结点上加刚臂，计算各杆的分配系数、传递系数和固端弯矩。
（2）放松第一个结点的约束（放松顺序可任意定，但先放松结点约束不平衡力矩大的，收敛速度可快些），这时其它结点处于固定状态。计算该结点的分配弯矩，并向远端传递，计算传递弯矩。
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（3）重新将放松的第一个结点固定，然后放松第二个结点，进行分配、传递。
如此依次轮流放松各结点，即重复第二步和第三步（为加快收敛速度，也可每次同时放松相间隔的两个或两个以上结点）。当约束不平衡力矩小到可以忽略时（也称达到精度要求时，一般来说工程要求2到3轮），即可结束分配，不再传递。
（4）计算同一杆端的最终弯矩。将该杆端固端弯矩、历次分配弯矩和传递弯矩代数相加便得到最后的杆端弯矩值。
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【例21-3】用力矩分配法计算图21-5a所示连续梁的弯矩，并绘制弯矩图。
解：（1）固定结点B、C ,计算分配系数
结点B：SBA=4iAB=4×（1/6）=0.667 , SBC= 4iBC=4×（2/8）=1；
μBA= SBA/(SBA +SBC)= 0.667/(0.667+1)=0.4，
μBC= SBC/(SBA +SBC)= 1/(0.667+1)=0.6 。
结点C: SCB=4iBC=4×（2/8）=1 , SCD= 3iCD=3×（1/6）=0.5；
μCB= SCB/(SCB +SCD)= 1/(+0.5)=0. 667，
μCD= SCD/(SCB +SCD)= 0.5/(1+0.5)=0.333 。
分配系数写在图21-5(b)中结点上面方格内。
（2）求各杆的固端弯矩
固端弯矩写在图21-5(b)中第一行。
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（3）放松结点C(此时结点B仍处于固定状态)，按单结点进行分配、传递：
结点C的约束力矩为：MC= 100kN·m 。
分配弯矩为：MCBμ=μCB ·（-MC）=0.667×(-100)= -66.7kN·m，
MCDμ=μCD ·（-MC）=0.333×(-100)= -33.3kN·m；
杆BC传递给B端的传递弯矩为：
MBCC =CCB ·MCBμ =005×(-66.7)=-33.4kN·m；
此时，结点C已经平衡，可在分配力矩的数字下画一横线。
（4）重新固定结点C,并放松结点B。
结点B的约束力矩为：
分配弯矩为：MBAμ=μBA ·（-MB）=0.4×73.4= 29.4kN·m，
MBCμ=μBC ·（-MB）=0.6×73.4= 44.0kN·m；
传递弯矩为：MABC =CBA ·MBAμ =0.5×(29.4)= 14.7kN·m，
MCB C =CBC ·MBCμ =0.5×(44.0)= 22.0kN·m；
此时，结点B已经平衡，可在分配力矩的数字下画一横线。但结点C又不平衡了。以上完成了力矩分配法的第一个循环。
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（5）进行第二个循环。
重复第（3）、（4）步骤。再次先后放松结点C和B,相应的约束力矩分别为22kN·m和-7.3kN·m。
（6）进行第三个循环。
相应的结点约束力矩分别为2.2kN·m和-0.7kN·m。
由此可看出，结点的约束力矩的衰减过程是很快的。进行三次循环后，结点的约束力矩已经很小，结构已接近恢复到实际状态，故计算可停止。
（7）将固端弯矩、历次的分配力矩和传递力矩相加，既得最后的杆端弯矩。
（8）绘制弯矩图如图21-5(c)所示。
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图21-5
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【例21-5】试用力矩分配法计算图21-7(a)所示刚架的弯矩，并绘制弯矩图。
解：（1）转动刚度
为便于计算，各杆的EI可取相对值进行计算，令EI=1，则
iBA=1， iBC=1, iCD=1, iBE=0.75, iCF=0.5；
SBA= 3iBA=3 , SBC=SCB=4iBC=4 , SCD=3iCD=3，
SBE=4iBE=4×0.75=3， SCF=4iCF=4×0.5=2；
（2）分配系数
结点B：∑S=SBA+SBC+SBE=3+4+3=10
μBA=3/10=0.3 ， μBC=4/10=0.4，μBE=3/10=0.3,
结点C： ∑S= SCB +SCD +SCF =4+3+2=9
μCB=4/9=0.445，μCD=3/9=0.333, μCF =2/9=0.222
（3）固端弯矩：
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（4）力矩分配及传递
先从结点C开始，按C、B顺序分配及传递两轮。
（5）计算最后弯矩，绘制M图如图21-7(c)所示。
对于刚架的力矩分配及传递过程也可在图上进行，如图21-7(b)所示。
图21-7
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图21-7
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图21-7
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【例21-7】 用力矩分配法计算图21-9(a)所示连续梁，并绘制弯矩图。设各杆L=4m，EI=30000 kN·m2，支座C下沉△C=2cm。
解：本例中，由于结点线位移是已知的，所以可以用力矩分配法计算。
（1）计算分配系数
（2）计算固端弯矩
MABF=MBAF=0，
MBCF= -3 EIΔ/L= -3×30000×0. 02/42= -112.5kN·m ，
MCBF=0；
（3）计算分配、传递弯矩及杆端最后力矩。详见表格中。
（4）绘制图，如图21-9(b)所示。
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图21-9
本 章 小 结 ：
本章主要介绍了力矩分配法基本原理和方法、转动刚度、分配系数、传递系数和约束力矩的含义，重点介绍了单结点、和多结点的力矩分配计算过程。
1.力矩分配法的基础是位移法，是一种由近似状态逐渐逼近真实值的计算方法。
力矩分配法是一种适合手算的简便易行的方法。力矩分配法的适用范围是连续梁和无侧移刚架的内力计算。
2. 力矩分配法的三要素是转动刚度、分配系数、传递系数。
3.多结点的力矩分配法的解题步骤：
（1）先在各结点上加刚臂，计算各杆的分配系数、传递系数和固端弯矩。
（2）放松第一个结点的约束，这时其它结点处于固定状态。计算该结点的分配弯矩，并向远端传递，计算传递弯矩。
（3）重新将放松的第一个结点固定，然后放松第二个结点，分配、传递。
如此依次轮流放松各结点，即重复第二步和第三步（为加快收敛速度，也可每次同时放松相间隔的两个或两个以上结点）。当约束不平衡力矩小到可以忽略时（也称达到精度要求时，一般来说工程要求2到3轮），即可结束分配，不再传递。
（4）计算同一杆端的最终弯矩。将该杆端固端弯矩、历次分配弯矩和传递弯矩代数相加便得到最后的杆端弯矩值。

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