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第二十一章 力矩分配法
知识目标：
掌握力矩分配法基本原理和方法
理解转动刚度、分配系数、传递系数和约束力矩的含义
理解单结点、多结点力矩分配过程中每一步的物理含义
了解力矩分配法位移、内力正负号规定
能力目标：
能熟练地应用力矩分配法计算无侧移结构并绘制出其弯矩图
能正确计算转动刚度、分配系数
能应用载常数计算固端弯矩，进而求出约束力矩
能应用力矩分配法计算给定支座位移的连续梁和刚架的弯矩
第二十一章
单结点的力矩分配法
第二节
力矩分配法的适用范围及其基本概念
第一节
多结点的力矩分配法
第三节
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第一节　　力矩分配法的适用范围及其基本概念
　　力矩分配法无需建立和求解联立方程，是一种由近似状态逐渐逼近真实值的计算方法。其计算精度随计算轮次的增加而提高，最后收敛于精确值。力矩分配法的基础是位移法，力矩分配法中的杆端弯矩和结点转角的正负号规定与位移法中的杆端弯矩和结点转角的正负号规定相同。结点上的外力矩以顺时针转动为正，反之为负。力矩分配法的适用范围是连续梁和无侧移刚架的内力计算。
一、 转动刚度（S）
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转动刚度表示杆件端部对转动的抵抗能力。
用SAB表示杆件AB在A端的转动刚度，在数值上等于使A端产生单位转角时，在A端所需要施加的力矩。AB杆A端发生转动，A端称为近端，B端称为远端。转动刚度的值取决于杆的线刚度和远端的支承情况。
二、 分配系数（μ）
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图21-2（a）所示刚架，在结点A处作用一顺时针方向的力偶，其力偶矩为Me ，使结点A发生转动，转角为 。设各杆线刚度均为i ，由各杆的转角位移方程可得：
MAB=4iθA=SABθA
MAC=4iθA=SACθA (a)
MAD=4iθA=SADθA
取结点A为隔离体，画出其受力图（力偶部分）如图21-2（b）所示，由∑MA=0，得MAB+ MAC +MAD-Me=0
将式（a）代入上式得
θA=Me/(SAB+SAC+SAD)=Me/(∑SAj) （b）
其中∑SAj表示汇交于结点A的所有杆件A端转动刚度之和。
二、 分配系数（μ）
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将（b）式代入（a）式，得：
MAB= SAB ·Me/(∑SAj)
MAC= SAC·Me/(∑SAj) (c)
MAD= SAD ·Me/(∑SAj)
引入分配系数，用μAj表示,定义
把MAi称为近端弯矩，也称为分配弯矩，用MAiμ表示，则有MAiμ =μAiMe 。
（21-1）
二、 分配系数（μ）
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图21-1
图21-2
三、 传递系数（C）
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将远端(如A端)弯矩与近端（如B端）弯矩之比定义为传递系数，用CAB表示，则
CAB=MBA/MAB
传递系数也与杆件的远端支承情况有关。远端弯矩可由近端弯矩与传递系数之积求得，远端弯矩又称为传递弯矩，用MC表示，则有MiAC=CAi Me 。
由此可见，作用于结点的力矩Me是按各杆的分配系数分配给各杆近端，然后再按传递系数传送到远端，得到各杆的远端弯矩。不必再按位移法一步步求解。这就是力矩分配法的基本思想。也是力矩分配法求解单结点在只受结点外力偶矩时的方法。
三、 传递系数（C）
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【例21-1】图21-3连续梁上有一个结点外力偶作用，其力偶矩=100kN·m。试求该梁的杆端弯矩，并绘制其弯矩图。
解：在B结点上增设附加刚臂后，则连续梁ABC转变为由两端固定的梁AB和一端固定、一端铰支的梁BC两个单跨超静定梁组成的组合体。
令EI/l=i ，则连接于B结点的两个杆的B端的转动刚度分别为：
SBA=4iAB=4EI/l=4i , SBC= 3iBC=6EI/l=6i
B结点的两个传递系数分别为：CBA=0.5 , CBC=0；
分配系数分别为：
μBA= SBA/(SBA +SBC)= 4i/(4i+6i)=0.4，
μBC= SBC/(SBA +SBC)= 6i/(4i+6i)=0.6 。
两杆的近端分配弯矩和远端传递弯矩分别为：
MBAμ =μBA ·Me =0.4×100=40kN·m ，
MBCμ =μBC ·Me =0.6×100=60kN·m ；
MABC =CBA ·MBAμ =0.5×40=20kN·m ，
MCBC =CBC ·MBCμμμ =0×60=0kN·m ；
力矩分配法解题过程通常用表格形式展现，如图21-3所示。根据最后杆端弯矩值绘制M图，如图21-3(b)。
三、 传递系数（C）
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图21-3
第二节　　单结点的力矩分配法
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第二节　单结点的力矩分配法
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单结点在只受结点外力偶作用时，可用上节所述方法，即直接将结点外力偶矩进行分配、传递得到杆端弯矩。下面研究荷载作用在跨间的情况。如图21-4a连续梁在荷载作用下的变形图如图21-4a中虚线所示。用力矩分配法解此类问题可按照以下几步操作：
（1）先在结点B处加刚臂（用表示）约束结点B的转动。这时支座B变成了固定端支座，该连续梁变成了两根单跨超静定梁。然后再施加跨间荷载，在荷载作用下，各单跨超静定梁产生相应的固端弯矩，其值可由表9-1查得。
在结点B的附加刚臂上产生的约束反力偶矩可通过结点B的平衡方程求得。如图21-4c所示，由可知结点B的约束反力偶矩。即约束反力偶矩等于固端弯矩之和，以顺时针为正。
第二节　单结点的力矩分配法
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（2）连续梁的结点B处本来没有刚臂约束，因此我们放松结点B处的附加刚臂约束，使梁回到原来的状态。为达到这个目的，我们采用叠加法，在结点B处再加一个与约束力矩等值反向的力矩（-MB）,如图21-4（d）所示。此结点力矩使梁产生如图21-4（d）的变形，同时在各单跨超静定梁中近端产生新的分配弯矩，在远端产生传递弯矩。
（3）把图21-4（b）和21-4（d）所示两种情况叠加，就得到图21-4（a）所示情况。。
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以上单结点力矩分配法的计算过程可归纳如下：
① 固定结点。
先在刚结点处加上阻止转动的附加刚臂，再计算分配系数、传递系数、固端弯矩以及附加刚臂上的约束反力偶矩。
② 放松结点。
使结点转动，将因结点转动而引起的近端杆端弯矩称为分配弯矩、远端杆端弯矩称为传递弯矩。这相当于是在结点上施加与约束反力偶矩大小相等、方向相反的结点力矩，并进行力矩分配和传递。
若结点上原作用有结点外力偶，可将结点外力偶矩直接乘以分配系数。
③ 计算最后的杆端弯矩值。
公式为： 或 。
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【例21-2】用力矩分配法计算图21-4（a）所示连续梁，并绘制图。
解：（1）固定结点B，计算分配系数
SBA=4iAB=4EI/4=EI , SBC= 3iBC=3×2EI/4=1.5EI
B结点的两个传递系数分别为：CBA=0.5 , CBC=0；
分配系数分别为：
μBA= SBA/(SBA +SBC)= EI/(EI+1.5EI)=0.4，
μBC= SBC/(SBA +SBC)= 1.5EI/(EI+1.5EI)=0.6 。
（2）计算固端弯矩和约束力矩
约束不平衡力矩MB=MBAF+MBCF=30kN·m
（3）放松结点B ,计算分配弯矩
MBAμ =μBA ·（-MB）=0.4×(-30)= -12kN·m，
MBCμ=μBC ·（-MB）=0.6×(-30)= -18kN·m；
第二节　单结点的力矩分配法
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（4）计算传递弯矩
MABC =CBA ·MBAμ =0.5×(-12)= -6kN·m，
MCBC =CBC ·MBCμ =0×(-18)=0kN·m；
(5)计算杆端最后弯矩：
MAB=MABF+MABC=-60-6=-66kN·m ，
MBA=MBAF+MBAμ=60-12=48kN·m；
MBC=MBCF+MBCμ=-30-18=-48kN·m ，
MCB=0；
将以上计算过程的表格形式如图21-4(e)所示，其中结点B分配弯矩下面画单横线，表示该结点处力矩分配完毕，结点B已达到新的平衡。杆端弯矩下面画双横线表示该结点处已达到最终平衡，该杆端弯矩为最终杆端弯矩。
(6)绘制M图如图21-4(f)所示。
第二节　单结点的力矩分配法
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图21-4

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