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第十九章
超静定拱的计算
知识目标：
●了解超静定拱在工程上的应用和受力特点
●掌握两铰拱的计算方法
●掌握计算对称无铰拱的弹性中心法的基本原理
●了解温度改变、混凝土收缩和支座移动对无铰拱的影响
能力目标：
●能熟练运用弹性中心法计算两铰拱及无铰拱的内力
第十九章
无铰拱的计算
第二节
两铰拱的计算
第一节
温度改变和混凝土收缩对无铰拱的影响
第三节
支座移动对无铰拱的影响
第四节
第三节　　温度改变和混凝土收缩对无铰拱的影响
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一、温度改变的影响
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对于无铰拱，除恒荷载和活荷载外，由于温度改变和混凝土收缩所引起的内力也需要考虑。在拱桥设计中，一般是考虑拱圈在使用中的最高平均温度分别与拱圈合拢时的温度差来计算在拱圈中所引起的内力。
计算温度改变对于对称无铰拱的影响，仍可采用弹性中心法，此时的力法典型方程为：
假设拱截面的形状是对称的，其外侧温度升高t1，内侧温度升高t2，如图19-8（a）所示，则其平均温度值t及内外侧温度值之差Δt分别为：t= (t1+t2)/2，Δt =t2- t1
根据第十七章第五节计算公式，有：
；
一、温度改变的影响
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注意：此时，拱的轴力仍设受压为正，故上式Δ2t的第二项为负号。
因为温度沿拱轴的改变是正对称的，故Δ3t =0。
把 ， ， ，代入上式，则有：
至于主系数的计算，若考虑轴力的影响，则有：
将各自由项和主系数代入力法典型方程，即得：
， ， ； （19-9）
即表明弹性中心处只产生正对称的多余未知力X1、X2，如图19-8（b）所示。
一、温度改变的影响
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图19-8
图19-9
一、温度改变的影响
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如果温度沿全拱均匀改变，即内外温度变化相同：t1=t2=t，则Δt=0，如图19-9(a)所示。此时有：
， ， （19-10）
由此可见，当全拱的温度均匀改变时，在弹性中心处只产生多余未知力X2；且在升温时X2为正（推力），降温时X2为负（拉力）。
如果拱轴线为抛物线，以弹性中心为原点的拱轴方程为y=4fx2/l2-y，且其截面变化规律为I=IC/cosφ及A=AC/cosφ时，由上节可知，在对式（19-9）积分之后可得：
由式（19-11）可知，当拱愈平、拱截面刚度愈大时，由于温度改变所产生的影响愈大。
（19-11）
二、混凝土收缩的影响
　　混凝土在凝固收缩时也会使无铰拱产生内力，这种收缩的影响与温度均匀降低的影响相似，因此可按计算温度内力的办法来计算混凝土收缩产生的内力，问题的关键在于混凝土收缩相当于温度降低了多少度。
　　对于一般混凝土，混凝土的收缩率相当于温度均匀降低250C所产生的影响。
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第四节　　支座移动对无铰拱的影响
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第四节　支座移动对无铰拱的影响
　　无铰拱是超静定的，支座移动将使得它产生内力。设如图19-10（a）所示无铰拱在外因影响下，其左支座A发生了向左的水平位移a、向下的竖向位移b、逆时针转动角度为φ。现仍用弹性中心法计算，力法典型方程为
　　式中：Δ1Δ、Δ2Δ、Δ3Δ分别为基本结构上弹性中心处由于支座移动所引起的沿X1、X2、X3方向的位移，又：
　　式中：　为　　单独作用时的支座反力，如图19-10所示。于是求得：
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第四节　支座移动对无铰拱的影响
图19-10
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第四节　支座移动对无铰拱的影响
　　系数计算与前相同，故由力法典型方程解得：
　　计算表明：超静定结构在温度改变及支座移动下的内力与结构刚度的绝对值有关，刚度愈大则引起的内力也愈大。因此，像无铰拱这类超静定结构，在设计和施工时，一定要重视地基的处理，且要有刚性较大的支座。由于降温将在拱截面上产生拉应力，因此施工时的温度以低于使用时期的温度为宜，故通常在冬季封顶，并且要进行温度改变和支座移动影响的校核，以确保结构的安全。
； ；
本 章 小 结 ：
本章主要介绍了超静定拱在工程上的应用和受力特点、两铰拱的计算方法、计算对称无铰拱的弹性中心法的基本原理，最后介绍了温度改变、混凝土收缩和支座移动对无铰拱的影响。
1.拱是一种曲轴的推力结构，除第四章介绍的三铰拱外，其余都是超静定的，常用的有两铰拱和无铰拱两种型式 。
2.因为两铰拱的支座发生竖向位移时并不引起内力，所以宜在地基可能发生较大的不均匀沉陷时采用。两铰拱的弯矩在两端拱趾处为零逐渐向拱顶增大，其截面一般亦相应设计为由拱趾向拱顶逐渐增大的形式。
3.弹性中心法求解对称无铰拱的一般步骤为：
（1） 利用公式（8-4）确定弹性中心的位置；
（2） 选取带刚臂的对称基本结构，将三对多余未知力作用在弹性中心上，按公式（8-7）求解力法典型方程的系数和自由项；
（3） 根据公式（8-6）求出多余未知力；
（4） 根据公式（8-8）求拱的各项内力。
4.超静定结构在温度改变及支座移动下的内力与结构刚度的绝对值有关，刚度愈大则引起的内力也愈大。因此，像无铰拱这类超静定结构，在设计和施工时，一定要重视地基的处理，且要有刚性较大的支座。

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