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(共19张PPT)
第十九章
超静定拱的计算
知识目标：
●了解超静定拱在工程上的应用和受力特点
●掌握两铰拱的计算方法
●掌握计算对称无铰拱的弹性中心法的基本原理
●了解温度改变、混凝土收缩和支座移动对无铰拱的影响
能力目标：
●能熟练运用弹性中心法计算两铰拱及无铰拱的内力
第十九章
无铰拱的计算
第二节
两铰拱的计算
第一节
温度改变和混凝土收缩对无铰拱的影响
第三节
支座移动对无铰拱的影响
第四节
第一节　　两铰拱的计算
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第一节　两铰拱的计算
　　两铰拱是一次超静定结构，如图19-1（a）所示，通常有带拉杆（系杆拱）和不带拉杆两种形式。因为两铰拱的支座发生竖向位移时并不引起内力，所以宜在地基可能发生较大的不均匀沉陷时采用。两铰拱的弯矩在两端拱趾处为零逐渐向拱顶增大，所以其截面一般亦相应设计为由拱趾向拱顶逐渐增大的形式。通常采用的变化规律为：
　　　　　　　　　　　I=ICcosφ （19-1）
　　计算两铰拱时，通常采用如图19-1（b）所示简支曲梁为基本结构，以支座的推力为基本未知量,如图19-1（c）所示。又因基本结构在X1=1作用下，如图19-1（d）、（e）所示，由力法典型方程可得：
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第一节　两铰拱的计算
　　求得了推力X1后，其它内力的计算方法和计算公式与三铰拱完全相同。在竖向荷载作用下，两铰拱任意截面的内力计算公式为：
（19-2）
图19-1
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第一节　两铰拱的计算
【例19-1】 如图19-2所示为一抛物线两铰拱，承受半跨均布荷载作用，试求其水平推力H。设拱截面尺寸为常数，以左支座为原点，拱轴方程为：y=4fx(l-x)/l2
解：计算时，我们采用两个假设：
（1）忽略轴向变形，只考虑弯曲变形；
（2）当拱比较平时，可近似地取ds=dx，cosφ=1。因此，简化后的位移公式为
，
计算得：
计算Δ1P时，先绘制简支梁的弯矩M0图如图19-2(b)所示，其弯矩方程分两段表示如下：
左半跨 ： M0=3qlx/8-qx2/2 （0＜x＜l/2） ；
右半跨 ： M0 =ql(l-x)/8 (l/2＜x＜l) ；
因此
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第一节　两铰拱的计算
由力法方程求得
这个结果与三铰拱在半跨均布荷载作用下的结果是一样的。
FH求出以后，利用公式M=M0-FHy 可绘制出M图，如图19-2（c）所示。这个弯矩图也与三铰拱的弯矩图相同。
即
图19-2
第二节　　无铰拱的计算
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本节只讨论常见对称无铰拱的计算。
一、弹性中心法
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如图19-5（a）所示为一对称无铰拱，属于三次超静定结构。为简化计算，我们采用以下两项简化措施：
1. 第一项简化措施是利用结构的对称性, 选取对称的基本体系，将拱顶截面C截开，取拱顶的弯矩X1、轴力X2、剪力X3为多余未知力，得到两个悬臂曲杆的基本结构，如图19-5（b）所示。
2. 第二项简化措施是利用刚臂,进一步使余下的副系数δ12和δ21也等于零，从而使力法方程简化为三个独立的一元一次方程,如图19-5(c)、(d)所示。
此时，副系数δ12和δ21的表达式为：
这里规定：轴向右为正，轴向下为正，弯矩以使得拱内侧受拉为正，剪力以使隔离体顺时针方向转动为正，轴力以压力为正。
一、弹性中心法
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当 、 、 分别作用时所引起的内力为：
代入后得：
由上式可见，当多余未知力放在拱顶截面C的中心时，δ12是不可能等于零的。必须将多余未知力的作用点移动一下位置，即把它从C点沿y轴向下移动一段距离，使得有正、负不同的两个区间，而仍保持符号不变，这样才有可能使得积分式为零。
此时，令δ12=δ21=0，可得刚臂的长度ys为
（19-4）
一、弹性中心法
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我们设想沿拱轴线作宽度等于1/EI的图形，如图19-6所示，则ds/EI就代表此图中的微面积，而式（19-4）就是计算这个图形面积的形心坐标公式。由于此图形的面积与结构的弹性性质EI有关，故称它为弹性面积图，它的形心则称为弹性中心。由于y轴是对称轴，故知x、y是弹性面积的一对形心主轴。由此可见，把刚臂端点引到弹性中心上，且将X2、X3置于主轴方向上，就可以使得全部副系数都等于零。这一方法就称为弹性中心法。此时典型方程将进一步简化为以下三个独立方程式:
（19-5）
于是，多余未知力可按下式求解:
X1=-Δ1P/δ11 ，X2= -Δ2P/δ22，X 3=-Δ3P/δ33 (19-6)
一、弹性中心法
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图19-5
图19-6
二、系数和自由项的简化
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　　由于杆是曲杆，在计算系数和自由项时，应考虑曲率对变形的影响，但计算结果表明这种影响一般很小。因此，仍采用直杆的位移计算公式来求解系数和自由项。对于多数情况，通常可忽略轴向变形和剪切变形的影响。
（19-7）
三、内力计算
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　　求出多余未知力后，即可将无铰拱看作是在荷载和多余未知力共同作用下的两根悬臂曲梁，拱上任意截面K的内力可根据叠加原理求得
(19-8)
　　利用公式（19-8）可以分别求出拱顶、拱趾的内力，从而求出支座反力的大小、方向和作用点。
三、内力计算
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　　因此，弹性中心法求解对称无铰拱的一般步骤为：
　　（1）利用公式（19-4）确定弹性中心的位置；
　　（2）选取带刚臂的对称基本结构，将三对多余未知力作用在弹性中心上，按公式（19-7）求解力法典型方程的系数和自由项；
　　（3）根据公式（19-6）求出多余未知力；
　　（4）根据公式（19-8）求拱的各项内力。
三、内力计算
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【例19-2】设跨度l=10m，f=2.5m，求如图19-7（a）所示等截面圆弧无铰拱在均布荷载q=10kN/m作用下的内力。
解：（1）确定弹性中心
先求圆弧拱的半径R和半拱的圆心角φ0，由直角三角形ΔOAD有：
； ； ；
因为拱轴线是圆弧，采用极坐标计算，如图19-7（b）所示，
y=R(1- cosφ)， x=Rsinφ， ds=Rdφ
按公式（19-4）计算得：
三、内力计算
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（2）求系数和自由项
EI、EA为常数，且结构与荷载均对称，所以反对称未知力X3=0。
又因为f=l/4＞l/5，则可略去轴力对δ22的影响，由公式（19-7）得：
基本结构在荷载作用下的弯矩方程为：
因此
三、内力计算
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；
（4）内力计算：由公式（19-8）得
支座水平推力为：
（3）求多余未知力：由公式（19-6）得：
拱趾弯矩为：
由此可得：
拱顶弯矩为：
三、内力计算
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图19-7

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