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(共12张PPT)
第九章 梁的承载能力计算
知识目标：
理解纯弯曲、横力弯曲的概念
熟悉梁横截面上的正应力及强度计算公式
理解提高梁弯曲强度的措施
了解梁的变形计算
能力目标：
会描述梁横截面上的正应力和剪应力分布规律
熟练掌握梁的弯曲正应力强度计算
会进行梁的剪应力强度校核
能阐述提高梁弯曲强度的措施
第九章
梁横截面上的切应力
第二节
纯弯曲梁横截面上的正应力
第一节
梁的弯曲强度计算
第三节
提高梁的弯曲强度的措施
第四节
梁的变形及刚度计算
第六节
梁的应力状态
第五节
第一节　纯弯曲梁横截面上的正应力
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第一节　纯弯曲梁横截面上的正应力
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　　一般情况下，弯曲杆件横截面上同时有剪力FS和弯矩M两种内力。通过分析可知，横截面上切向的分布内力τdA组成剪力FS，横截面上分布的内力σdA对中性轴z之矩的总和为弯矩M，如图9-1所示。
　　按弯曲杆件横截面上内力的不同，可把平面弯曲分为纯弯曲和横力弯曲两种。横截面上剪力等于零、弯矩不等于零的弯曲称为纯弯曲；横截面上剪力和弯矩都不等于零的弯曲称为横力弯曲。如图9-2所示的简支梁， CD段是纯弯曲，AC段和DB段是横力弯曲。
图9-2
图9-1
一、纯弯曲时正应力公式推导
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　　1．小实验
　　取容易变形的材料（如橡胶等）做一根矩形截面的梁。先在梁的侧表面上画出一系列与轴线平行的纵线和与轴线垂直的横线,如图9-3（a）；纵线代表梁的纵向纤维，横线代表各个横截面。在梁的两端各施加一个力偶矩为M的力偶，使此梁发生纯弯曲，如图9-3（b）。可以观察到下面的现象：
　　（1）所有的纵线都弯成曲线，靠近底面的纵线伸长，而靠近顶面的纵线缩短。
　　（2）所有的横线仍保持为直线，只是相互倾斜了一个角度，但仍垂直于弯成曲线的纵线。
图9-3
一、纯弯曲时正应力公式推导
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　　2. 中性轴
　　梁上部分的纵向线缩短，截面变宽，表示上部分每根纤维产生压缩变形；下部分的纵向线伸长，截面变窄，表示下部分每根纤维产生拉伸变形。梁作平面弯曲，横截面垂直于变形后的曲线，因此等高的纵向纤维层中所有纤维的变形相同。在上部纤维层缩短到下部纤维层伸长的连续变化中，必有一层纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴，如图9-4所示。中性层将横截面分为受拉和受压两个区域。
图9-4
一、纯弯曲时正应力公式推导
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　　3. 梁弯曲时的曲率
　　梁弯曲时的曲率半径为ρ ，梁轴线的曲率用1/ρ ，1/ρ表示梁的弯曲程度，它与此处的弯矩成正比，与材料的弹性模量成反比，与截面对中性轴的惯性矩成反比。
　 乘积EIz称为梁的抗弯刚度，它综合体现了材料和截面的抗弯能力。
一、纯弯曲时正应力公式推导
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　　4. 弯曲正应力计算公式
　　公式（9-1）表明：正应力与弯矩M成正比；与截面对中性轴的惯性矩Iz成反比；同一截面上，任一点处的弯曲正应力与该点到中性轴z的距离y成正比。
　　利用公式（9-1）计算横截面上各点的正应力时，应分为大小的计算和拉压的判断两个阶段，首先是把M和y均用绝对值代入公式计算出正应力的大小，至于正应力的拉压判断则是根据弯矩的正负和所求应力点的位置来直接判断：当M＞0时，中性轴以上区域各点均为压应力，中性轴以下区域各点均为拉应力；当M＜0时，中性轴以上区域各点均为拉应力，中性轴以下区域各点均为压应力。
　　将横截面各点处的弯曲正应力矢量用图形表示，即为梁的正应力分布图，如图9-6(b)、(c)。图中显示出中性轴上各点处的正应力为零；离中性轴等远的各点处正应力的大小相等；沿截面高度正应力呈直线分布。
图9-6
（9-1）
二、弯曲正应力公式的适用条件及其应用
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　　（1）式（9-1）是以平面假设为基础，在纯弯曲情况下导出的。公式（9-1）对于横力弯曲下的细长梁仍然适用。
　　（2）式（9-1）是从矩形截面梁导出的，但对截面为其它对称形状（如工字形、T形、圆形等）的梁也都适用。
　　（3）对于非对称的实体截面梁，只要荷载作用在通过截面形心主轴的纵向对称平面内，仍可用式（9-1）计算梁的弯曲正应力。
二、弯曲正应力公式的适用条件及其应用
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　　【例9-1】 求图9-7所示矩形截面梁C截面上a、b、c三点处的正应力。
图9-7
　　解：（1）计算截面C的弯矩
　　　　MC=20×1=20kN·m （下侧受拉）
二、弯曲正应力公式的适用条件及其应用
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（压应力）
4.741MPa （拉应力）
由于　　　，所以　　　
　　（2）截面对中性轴的惯性矩为：
（3）各点正应力计算：
二、弯曲正应力公式的适用条件及其应用
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　　【例9-2】 求图9-8所示悬臂梁的最大拉应力和最大压应力，梁的材料采用10#槽钢。
　　解：（1）作出梁的剪力图和弯矩图。最大弯矩在梁的悬臂端截面B处：Mmax=MB=0.5ql2=1kN·m
（2）计算应力：由型钢表查得槽钢，中性轴到上边缘距离，到下边缘距离。由于截面的弯矩是负弯矩，中性轴上部为受拉区，下部为受压区。
图9-8
所以最大拉应力发生在上边缘处
最大压应力发生在下边缘处

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