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第三章 平面力系的平衡条件
第一节 力的投影和力在直角坐标轴上的分解
第二节 平面汇交力系的平衡条件及其应用
第三节 平面一般力系的简化
第四节 物体上任意力系的平衡方程
第五节 物体系统的平衡问题
第六节 考虑摩擦时的平衡问题及摩擦规律应用
第三章 平面力系的平衡条件
在工程实践中，经常会遇到主要的外力都作用在同一个平面内，这样的力系称为平面力系。平面力系又分为:
1、平面汇交力系：力系各力的作用线汇交于一点。
2、平面平行力系：力系各力的作用线平行。
3、共线力系：力系各力的作用线在同一直线上。
4、平面一般力系：力系各力的作用线既不汇交一点又不互相平行。
5、平面力偶系：力系中各力都可组成力偶。
平面汇交力系
平面平行力系
共线力系
平面一般力系
平面力偶系
第一节 力的投影和力在直角坐标轴上的分解
一、力在平面直角坐标轴上的投影
1．投影的定义
力F作用于物体平面内的A点，方向由A点指向B点，且与水平线夹角为α。
相对于平面直角坐标轴Oxy，通过力F的两端点A、B向x轴作垂线，垂足a、b在轴上截下的线段ab就称为力F在x轴上的投影，记作Fx 。
通过力F的两端点向y轴作垂线，垂足在y轴上截下的线段a1b1称为力F在y轴上的投影，记作Fy 。
一、力在平面直角坐标轴上的投影
2．投影的值及符号规定
若投影ab（或a1b1）的指向与坐标轴正方向一致，则力在该轴投影为正，反之为负。
若已知力F与x轴的夹角为α，则力F在x轴、y轴的投影表示为
3．已知投影求作用力
若已知一个力的两个正交投影Fx、Fy力F的大小和方向为
式中 α表示力F与x轴所夹的锐角。
一、力在平面直角坐标轴上的投影
二、力沿直角坐标轴方向的分解
力F沿直角坐标轴x、y方向可分解为两个正交分力Fx和Fy ，其大小与力F在该两正交坐标轴上投影的绝对值是相等的。
二、力沿直角坐标轴方向的分解
力的投影与力的分力是两个不同的概念，两者不可混淆。
力在座标轴上的投影Fx和Fy 是代数量，而力沿坐标轴的分力Fx和Fy是矢量。
当x、y轴互不垂直时，分力Fx和Fy在座标轴上的投影数值上Fx和Fy也不相等。
三、平面汇交力系的合力投影定理
平面汇交力系是指平面内所受的所有力都汇交于一点的力系。
在汇交点上，可以使用力的平行四边形法则，将一个力与前一个合力逐次求合力，最终可以合成为一个力。
三、平面汇交力系的合力投影定理
将矢量向x、y轴投影，可得
合力投影定理:合力在某一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。
合力的大小和方向余弦
(3-5)
(3-6)
例3-1 在起吊装置的螺栓环眼上，作用有平面汇交力系（F1、F2、F3、F4），如图3-2所示。已知F1＝1．5kN，F2＝0.8kN，F3＝2kN，F4=1kN。试求力系的合力FR。
解：
图3-2
第二节 平面汇交力系的平衡条件及其应用
平面汇交力系平衡的充分和必要条件是合力等于零，或力系的矢量和等于零，即
∑F = 0
按平面汇交力系合成的解析法，合力等于零相当于
例3－2重量Fw=100N的球用两根绳悬挂固定。如图3-4a所示。试求各绳的拉力。
解 以C球为研究对象，受力图如图3-4b所示。由于未知力FTA FTB作用线正好垂直，故建立以球心C为原点的直角坐标参考系xCy如图3-4b。
列出平衡方程如下：
图3－4
例3－3 如图3－5a所示支架由杆BC、AC构成，A、B、C三处都是铰链，在A点悬挂重量FW＝10kN的重物。求杆BC、AC所受的力。不考虑杆的自重。
解：画节点C受力图并建立坐标系xCy如图3-5b。
FAC为正，表明AC杆受力与原来假设方向相同是拉力。而FBC为负，表明BC杆受力与原来假设方向相反是压力。
对于节点C来讲，要保持静止稳定状态，所有作用在其上的力的应该平衡，据此建立平衡方程：
图3－5
第三节 平面一般力系的简化
O为简化中心
主矢
主矩
（3-9）
（3-10）
一、力系向平面内任一点的简化
F1
F2
·
A1
A2
An
Fn
·
·
x
y
O
·
x
y
O
·
x
y
O
·
F'1
F'2
F'n
M1
M2
Mn
MO
FR
α
二、简化结果的讨论
（1） F'R ≠ 0、MO≠0 对于简化中心来说，作用在此点上既有主矢又有主矩。
（2） F'R ≠0 、 MO= 0 力系的简化中心正好选在了力系合力的作用线上，主矩等于零，则主矢就是力系的合力，作用线通过简化中心。
（3） F'R =0 、 MO ≠ 0 力系与一个力偶系等效，原力系为一平面力偶系。
（4） F'R =0 、 MO = 0 原力系简化后得到的汇交力系和力偶系均处于平衡状态，原力系为平衡力系。
例3－4 图3-7a所示的平面板，其上A、B、C、D点作用力分别为：F1=F, F2=2F, F3=3F, F4=4F求作用于板上该力系对O点的合力FR和合力矩M。
解 以图 3-7b中坐标原点O为简化中心，建立图3-7a所示直角坐标系，求力系的主矢和主矩。
1）主矢的大小
主矢的方向
2）主矩的大小
主矩的转向沿逆时针方向。力系向O点简化的结果如图3-7b所示。
图3-7
第四节、物体上任意力系的平衡方程
一、平衡条件方程及其方程
当平面任意力系简化的主矢和主矩均为零时，则力系处于平衡。同理，若力系是平衡力系，则该平衡力系向平面任一点简化的主矢和主矩必然为零。因此，平面任意力系平衡的充分与必要条件为：
F'R =0 、 MO = 0
，即
（3－11）
平面任意力系的平衡方程为:
式（3－11）是平面任意力系平衡方程的基本形式，也称为一矩式方程。这是一组三个独立的方程，只能求解出三个未知量。
二、 平衡方程的应用
用平面任意力系平衡方程求解工程实际问题，一般有以下步骤：
1、为工程真实空间结构选择合适的简化平面，画出其平面简图；
2、确定研究对象，取分离体，画受力图，标示未知力；
3、列平衡方程求解未知力。列平衡方程时要注意坐标轴和矩心的选择方法：
a. 坐标轴一般选在与未知力垂直的方向上；
b. 矩心可选在尽量多的未知力共同作用点（或汇交点）上或不需求解的未知力作用线上。
例3－5 如图3－8所示简支梁结构，跨中承受均布荷载q ，悬臂端承受集中力F = 2ql,试求各支座的支座反力。
解 画简支梁受力图3-8b.
FAY为负，表明与原来假设方向相反。
图3－8
例3－6如图3－9a所示悬臂梁结构，求固定端支座的支座反力。
解：作受力图3－9b.
悬臂梁既不能在水平方向有移动，也不能在竖直方向有移动，对于梁上的任一点都不能发生运动性的转动。
建立平衡方程：
MA的值为负，表示与假设的方向相反，实际方向为逆时针。
图3－9
三、平衡方程的其他形式
平面任意力系的平衡方程除了基本形式的一矩式方程外，还有其他两种形式。
1、二矩式方程
2、三矩式方程
（3－12）
（3－13）
例3－7 如图3－10所示简单塔吊结构，悬臂端承受重量为W。试计算支座A及钢索BC的受力。
解：画塔吊结构受力图为(3－10b)
FAY为负，表明此力的方向实际向下。此例满足A、B、C三点不共线的条件,使用三矩式的方法进行求解。
图3－10
第五节 物体系统的平衡问题
一、物体系统概念
在工程中，常常遇到由几个物体通过一定的约束连系在一起的所谓物体系统的平衡问题。物体系统也简称物系。
如图3－11, a、b、c三个实例都是结构由两部分构成，而两部分的连接的结构都为铰。这样在将原结构从铰处进行拆分时，左右部分就有水平和竖向的两对作用力和反作用力。
图3－11
二、物体系统的平衡
当物体系统平衡时，系统内的每个物体或任一个局部系统也处于平衡状态。因此，在求解物体系统的平衡问题时，不仅要研究整个系统的平衡，而且要研究系统内某个局部或单个物体的平衡。在画研究对象的受力图时，特别要注意施力物体与受力物体、作用力与反作用力的关系。
若物体系统由n个物体组成，每一个物体可由平面力系的平衡条件列出3个平衡方程，故系统可以有3n个独立的平衡方程，由此可解出3n个未知力(包括外部约束反力和作用力和反作用力)。
求解物体系统的平衡问题时，一般处理方法都是局部和整体平衡方程的交替使用。局部物体从总体物体系统拆分开的分离点为铰接点。一般的解题方法和步骤为：
1、画其总体或局部受力图，在原位置标示已知力和未知力。
2、选择合适的局部对象，然后选择合适的平衡方程，解出部分未知力。
3、选择总体或局部对象，然后选择合适的平衡方程，解出其余部分未知力。
4、如没有求解出全部未知，再回到步骤2。
例3－8 图3－12所示为三铰拱桥平面简图。已知在其上全跨作用均布荷载q ,拱顶左面作用集中力F=ql ,跨长2l,跨高l ,试分别求A、B支座的约束力和C铰所受的力。
解： 画总体ABC受力图b），画局部BC受力图c），用如下步骤求解：
1、选总体ABC：
2、选局部BC：
图3－12
例3－8
3、选总体ABC：
计算结果除FAx=0外,FAy、FCx、FCy、FBy与假设方向相同, FBx与假设方向相反。
图3－12
例3－9 图3－13a所示为平面静定多跨简支梁结构。求A、B、D支座的支座反力。
解： 画局部AC受力图3－13c),
画局部CD受力图3－13b)，
用如下步骤求解：
1、选局部CD:
图3－13
例3－9
2、选局部AC:
A、B、D支座的支座反力都为正或零，表示实际受力与原来假设方向相同。
图3－13
第六节 考虑摩擦时的平衡问题及摩擦规律应用
一、概述
摩擦是一种普遍存在的现象。在一些问题中，摩擦对物体的受力情况影响较小，为了计算方便而忽略不计。但在有些工程上摩擦问题是不能忽略的。按照接触物体之间可能会相对滑动或相对滚动，摩擦可分为滑动摩擦和滚动摩擦。
二、滑动摩擦
当两接触物体之间有滑动趋势时，物体接触表面产生的摩擦力称为静滑动摩擦力，简称静摩擦力。
当两接触物体之间发生相对滑动时，物体接触表面产生的摩擦力称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力。
由于摩擦对物体的运动起阻碍作用，所以摩擦力总是作用于接触面（点），沿接触处的公切线，与物体滑动或滑动趋势方向相反。因此画摩擦力前应先确定物体的运动或运动趋势。
二、滑动摩擦
1、库仑摩擦定律：临界静止状态下的静摩擦力为静摩擦力的最大值，其大小与接触面间的正压力FN（法向约束力）成正比，即
Ffmax=μsFN (3—14)
式中，Ffmax 称为最大静摩擦力；比例常数μs称为静滑动摩擦因数，简称静摩擦因数，其大小取决于相互接触物体表面的材料性质和表面状况（如光洁度、润滑情况以及温度、湿度等）。
2、一般静止状态下的静摩擦力随主动力的变化而变化，其大小由平衡方程确定，介于零和最大静摩擦力之间，即
0≤Ff ≤Ffmax
3、当物体处于相对滑动状态时，在接触面上产生的滑动摩擦力的大小与接触面间的正压力成正比，即
F’f= μFN (3－15)
式中，比例常数μ称为动摩擦因数，与物体接触表面的材料性质和表面状况有关。一般地， μs> μ ，这说明推动物体从静止开始滑动比较费力，一旦物体滑动起来后，要维持物体继续滑动就省力些。
三、摩擦角和自锁现象
设一物块放在粗糙的水平面上，物块的重力为FW ，它受水平推力FT的作用，此两主动力的合力为F′R ，设F′R与法线方向的夹角为α。当物块静止时，平面对物块作用的法向约束力为FN ，静摩擦力为Ff ，此两约束力的合力为FR ，称为合约束反力，简称全反力。
根据二力平衡条件，主动力合力F′R与全反力FR大小相等，作用线共线、方向相反，如图3—14a所示。
设全反力与法线方向的夹角为φ ，在保持物块静止的前提下，若增大推力FT ，摩擦力Ff 也随着增大，全反力FR与法线的夹角φ也相应增大。当到达从静止到运动的临界状态时，摩擦力达到最大值Ffmax ，全反力FR与法线夹角也达到最大值φm，φm称为摩擦角，如图3－14b所示。根据摩擦定律Ffmax=μsFN，由图3—14b可得
即摩擦角的正切等于静滑动摩擦因数。
(3-16)
图3－14
四、考虑摩擦时物体的平衡问题
受摩擦作用的物体或物体系统在外力作用下保持平衡，除了应满足静力平衡方程外，还必须满足静摩擦定律。分析这类问题时应注意以下几点：
(1)摩擦力Ff的方向总是与物体的相对滑动趋势方向相反。
(2)摩擦力Ff必须满足补充方程，即Ff≤Ffmax=μsFN，补充方程的数目与有摩擦的界面的数目相同。
(3)由于物体平衡时摩擦力有一定的范围 (0≤Ff≤Ffmax)，故有摩擦的平衡问题的解也有一定的范围，而不是一个确定的值。为了计算方便，一般先在临界状态下计算，求得结果后再分析，讨论其解的范围。
例3—10 梯子AB靠墙斜立，如图3—16a所示，梯子与墙面、地面之间的静摩擦因数均为μs =0.3，若人的重量Fw作用于梯子的3／4高度处，不计梯重，试求欲使梯子保持平衡，梯与地面间的夹角α所能取的最小值αmin。
解： 假设梯子刚好处于临界待动状态，此时各处摩擦力达到最大值，夹角α达到最小值。作梯子的受力图如图3－16b所示。
建立平衡方程：
(1)
联立求解(1)、(2)、(3)、(4)、(5)得：
要使梯子平衡，梯与地面间的夹角为：
(2)
(3)
由静摩擦定律
(4)
(5)
图3－16
例3—11 物体A放置在物体B和墙壁之间，斜面夹角α=30°，物体B重FWB=200N，各接触面的摩擦角均为φm=11.31°，如图3—17a所示。求使物体B静止，所需物体A的重量FWA的最大值。
解： 分别取物体A和B为研究对象，均取临界状态。物体A的受力图如图3—17b所示，物体B的受力图如图3—17c所示。
对物体A:
且
(1)
(2)
(3)
(4)
图3－17
例3—11
联立求解(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)得：
把值代入可得：
FWA≤308.89N
所以 FWAmax=308.89N
对物体B:
(5)
(6)
且
(7)
(8)
图3－17

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