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第二章 投影基本知识
2.2 点、线、面投影
点的投影
点的投影
用大写字母表示空间的点，相应的小写字母表示其水平投影，小写字母加一撇表示其正面投影，小写字母加两撇表示其侧面投影，如：空间的点A,其投影 a, a′,a″
一、点的三面投影
1、点的标注
点的投影
空间点A放置在三面投影体系中，过点A作垂直于H面、V面、W面的投影线 。水平投影a即投影线与H面的交点，正面投影a′即投影线与V面的交点，侧面投影a″，投影线与W面的交点
2、点的三面投影形成
3、点的三个投影面图展开
保持V面不动，H面向下旋转；W 面向后旋转；将三个投影面展开到同一平面上。
点的投影
二、点的投影规律
1、点的V面投影 a'和H面投影a的连线垂直于OX轴(aa'⊥OX轴)
2、点的V面投影a '和W面投影a"的连线垂直于OZ轴(a'a "⊥OZ 轴)；
3、点的H面投影a到OX轴的距离等于点的W面投影a"到OZ轴的距离(aax=a"az)。
点的投影
三、点的坐标
1、空间坐标系
将三面投影体系中的三个投影面看作是空间直角坐标系中的三个坐标面，则三条投影轴相当于坐标轴，原点相当于坐标原点。
2、点A的空间位置可用其直角坐标表示为A(x,y,z)
A点的x坐标＝aay=a'az
A点的y坐标＝aax=a''az
A点的z坐标＝a'ay=a''ay
点的投影
四、重影点
空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。
点的投影
五、两点的相对位置
1、两点的相对位置是指两点在空间两点的上下、前后、左右的位置关系。
2、在点的三面投影图中：V面投影反映两点的上下、左右位置关系；H面投影反映两点的左右、前后位置关系;W面投影反映两点的上下、前后位置关系。
两点中x值大的点 —在左
两点中y 值大的点—在前
两点中z 值大的点—在上
A点在B点的右、前、上方
点的投影
六、形体上点的投影识读
空间点A在形体的左、上、前角上
点的投影
形体上点的投影
点的投影
直线的投影
2.2 点、线、面投影
V
H
X
O
B
A
a'
b'
a
b
空间中一条直线可由其上任意两点确定，空间直线用大写字母表示，其投影用相应的小写字母表示，如：空间直线AB，其三面投影，水平投影为ab 、正面投影为a‘b’、侧面投影为a“b”。
一、直线的投影
1、直线的标注
直线的投影
2、直线对一个投影面的投影特性
直线垂直于投影面
投影重合为一点
积 聚 性
直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB
直线倾斜于投影面
投影比空间线段短
投影不反映线段实长ab=AB*cos
直线的投影
直线
投影面垂直线
投影面平行线
一般位置线
正平线
侧平线
水平线
正垂线
侧垂线
铅垂线
平行于V面，倾斜于H、W面
平行于W面，倾斜于H、V面
平行于H面，倾斜于V、W面
垂直于H面，平行于V、W面
垂直于W面，平行于H、V面
垂直于V面，平行于H、W面
在各投影面上的投影都倾斜于投影轴
二、直线的投影特性
1、直线的分类
直线的投影
名 称 铅垂线 正垂线
侧垂线
直观图
投影图
投影特性 投影面垂直线的投影为“一点两直线”，且“两直线（投影）”同时平行于不属于“点（投影）”所在投影面的投影轴（“一点”指投影面垂直线的投影在所垂直的投影面上的投影积聚成一个点，“两直线”指投影面垂直线在另两投影面上的投影） 判 别 空间直线的投影为“一点两直线”时，空间直线为“点”（指投影）所在投影面的垂直线 投影面的垂直线
投影面的垂直线
（1）投影面的垂直线
直线的投影
名 称 铅垂线 正垂线
侧垂线
直观图
投影图
投影特性 投影面平行线的投影为“一斜二直线”（“一斜”指该投影面平行线的投影为与投影轴倾斜的直线，且此斜线反应空间直线的实长。“二直”指该投影面平行线的投影为与相应投影轴平行的直线。） 判 别 空间直线的投影为“一斜二直线”时，空间直线为“斜线”（指投影）所在投影面的平行线 （2）投影面的平行线
直线的投影
（3）一般位置直线
（1）、对三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。
（2）、一般位置直线的投影特性： a b、 a' b' 、a " b"均小于实长。a b、a' b' 、a" b"均倾斜于投影轴。
直线的投影
三、直线上的点
直线的投影
四、一般位置直线的倾角和实长
直线的投影
例1.求直线的实长及对水平投影面的倾角 角
直线的投影
例2.求直线的实长及对正面投影面的倾角 角
直线的投影
例3.求直线的实长及对侧面投影面的倾角 角
直线的投影
例4：
已知平面四边形ABCD的V投影及其两条边的H投影，试完成四边形的H投影。
直线的投影
平面的投影
2.2 点、线、面投影
一、平面的表示法
1.几何元素表示
不在一直线上的三个点；
一直线和直线外一点；
相交二直线；
平行二直线；
任意平面图形。
平面的投影
一、平面的表示法
2.平面的迹线表示
平面的迹线为平面与投影面的交线。交线分别为PH、PV、PW。特殊位置平面可以用在它们所垂直的投影面上的迹线来表示。
平面的投影
平面和投影面平行，该平面的投影反映实形。
垂直于投影面的平面在该投影面上的投影积聚为一直线，且该平面（包括延展面）上所有的线和点的投影都积聚在该直线上。
平面和投影面倾斜，该平面的投影缩小为类似形，且不反映实形。
二、 各种位置平面的投影
平面的投影
平面
投影面垂直面
投影面平行面
一般位置面
正平面
侧平面
水平面
正垂面
侧垂面
铅垂面
平行于V面，倾斜于H、W面
平行于W面，倾斜于H、V面
平行于H面，倾斜于V、W面
垂直于H面，平行于V、W面
垂直于W面，平行于H、V面
垂直于V面，平行于H、W面
在各投影面上的投影都倾斜于投影轴
三、平面的投影特性
1、平面的分类
平面的投影
名 称 直观图 投影图 投 影 特 点
铅垂面 1?在H面上的投影积聚为一条与投影轴倾斜的直线2?β、γ反映平面与V、W面的倾角3?在V、W面上的投影小于平面的实形
正垂面 1?在V面上的投影积聚为一条与投影轴倾斜的直线2?α、γ反映平面与H、W面的倾角3?在H、W面上的投影小于平面的实形
侧垂面 1?在W面上的投影积聚为一条与投影轴倾斜的直线2?α、β反映平面与H、V面的倾角3?在V、H面上的投影小于平面的实形
（1）投影面的垂直面
平面的投影
名 称 直观图 投影图 投 影 特 点
水平面 1?在H面上的投影反映实形2?在V面、W面上的投影积聚为一直线，且分别平行于相应的OX轴和OY轴
正平面 1?在V面上的投影反映实形2?在H面、W面上的投影积聚为一直线，且分别平行于相应的OX轴和OZ轴
侧平面 1?在W面上的投影反映实形2?在V面、H面上的投影积聚为一直线，且分别平行于相应的OZ轴和OY轴
（2）投影面的平行面
平面的投影
（3）一般位置平面
一般位置平面倾斜于三个投影面，和三个投影面既不垂直也不平行，所以，如用平面形表示一般位置平面，则它的三个投影均不是实形，但具有相似性。
平面的投影
四、平面上的点
点在平面上的几何条件：点在平面内的某一直线上。
在平面上取点时，应先在平面内取一条直线作为辅助线，然后在辅助线上定点。这样才能保证所取点在平面上。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题：判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形的投影。
五、平面上的线
直线在平面上的几何条件是：①通过平面上的两点；②通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。
在平面上取直线，应先在平面上取点，并保证直线通过平面上两个点，或通过平面的一个点且与另一条平面上的直线平行。
平面的投影
[例题1] 已知点E在 ABC上，试求点E的正面投影 。
e
e'
平面的投影
平面的投影
六、平面上的投影面平行线
[例题2] 已知 ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，
过点A作属于该平面 的水平线。
m
n'
n
m
平面的投影
[例题3] 已知点E 在 ABC平面上，且点E距离H面15，距离V 面10，试求点E的投影。
m
n
m'
n'
r
s
r'
s'
10
15
e'
e
平面的投影
平面立体的投影
2.3 体的投影
平面立体的投影
一、平面立体
任何立体均占有一定的空间，并由围成该立体的各个表面确定其范围及形状。 根据立体表面的平、曲性质不同分为平面立体和曲面立体。
平面立体——表面由平面多边形围成的立体叫平面立体，平面与平面的交线为立体的棱线，侧表面称为棱面，上下表面分别叫顶面或底面。通常平面立体又分为棱柱体、棱锥体、棱台体等。
平面立体的投影特征：由各个棱面、棱线的投影构成投影图，通常由一些封闭的多边形组合而成，可见的棱线画成粗实线，不可见的棱线画成细虚线。
棱柱体
棱锥体
棱台体
平面体
平面立体投影特征
平面立体的投影
当正棱柱的侧棱垂直于投影面时，它在该投影面上的投影积聚为多边形，另外两个投影轮廓线为矩形。
当棱锥的底面平行于投影面时，它在该投影面上的投影为多边形，另外两个投影轮廓线为三角形。
平面立体的投影
二、 平面立体表面上取点
平面立体表面取点的原理与单一平面内取点、取线的方法基本相同。
平面立体可看作是由若干个平面图形所围成的，所以在平面立体表面上取点或取线时，应由已知点的投影位置及可见性，分析判断该点所属表面，若该表面有积聚性，利用积聚性的投影直接作出，若该表面没有积聚性，则过已知点在该表面内引辅助线求出。
但要注意判别所求点的所属性和可见性，处于不可见棱面上的点是不可见的点，用括号括起来表示。
平面立体的投影
棱柱表面上取点
A
C
B
判别点的可见性的原则是﹕某投影中,点的可见性与点所在表面的可见性相同。
平面立体的投影
棱锥表面上取点
S
A
B
C
S
A
B
C
F
E
D
平面立体的投影
正三棱锥
正三棱锥
三、平面立体的截交线
截割立体的平
面叫做截平面
由截交线围成的
平面图形称为截
断面(或断面)
截平面与立体表
面的交线叫做截
交线
多边形各顶点是立
体棱线与截平面
的交点
平面立体的投影
是正平面）、 SAB和 SBC（一般位置平面）
（1）平面立体的截交线是截平面与平面立体表面的共有线，截交线上的点是截平面与立体表面上的共有点。
（2）由于平面立体的表面都具有一定的范围，所以截交线通常是封闭的平面多边形。
（3）多边形的各顶点是平面立体的各棱线或边与截平面的交点，多边形的各边是平面立体的棱面与截平面的交线，或是截平面与截平面的交线。
平面立体截交线的性质
平面立体的投影
交点法：求出截平面与立体各棱线的交点，再按一定的连线原则将交点相连，即得截交线。
交线法：求出截平面与立体各棱面的交线，即得截交线。
交点连成截交线的原则是：位于立体的同一表面的两点才能相连，通常为闭合的平面折线。位于可见平面的截交线为可见线，画成粗实线，位于不可见平面的截交线为不可见线，画成细虚线。
求平面立体截交线的方法
平面立体的投影
分析图形
求截交线上的转折点
依次连接转折点
完成图形
例1：求五棱柱的截交线
平面立体的投影
例2﹕求作正垂面P截割六棱柱的截交线。
① 截平面与棱柱的
交点、交线
② 依次连接各点
③ 判断可见性
④ 整理轮廓线
⑤检查 加深图线
平面立体的投影
V
V
例3：作出带截面和缺口的四棱柱的水平投影。
平面立体的投影
四、平面立体的贯穿点
直线与立体表面的交点称为贯穿点。即贯穿点既是属于直线的点，又是属于立体表面的点，因此，求贯穿点的问题，就是求线与面交点的问题。
求贯穿点的方法：包含已知直线作一个辅助截平面，求此截平面与立体的截交线，截交线与已知直线的交点即为贯穿点。
平面立体的投影
例：求直线KL与三棱锥的贯穿点
包含直线作辅助平面,求得该辅助平面与立体的截交线，而贯穿点是直线与截交线的交点。
平面立体的投影
① 包含直线作辅助平面
② 求辅助平面与立体的截交线
③ 求上述截交线与被包含直线的交点即贯穿点。
作图步骤：
平面立体的投影

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