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苏科版八年级下册数学-正方形中十字架模型
十字架模型
分别连接正方形的两组对边上任意两点，得到的两条线段（如：图1中的线段AF与BE，图2中的线段EF与MN，图3中的线段BE与AF）满足：若垂直，则相等。
【典例1】问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题：
如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．那么AE与BF相等吗？
（1）直接判断：AE 　＝　BF（填“＝”或“≠”）；
在“问题情境”的基础上，继续探索：
问题探究：
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥BF，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论；
问题拓展：
（3）如图3，点E在边CD上，且MN⊥AE，垂足为H，当H在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△AHN沿着AN翻折，点H落在点H′处．
①四边形AHNH′是正方形吗？请说明理由；
②若AB＝6，点P在BD上，BD＝3BP，直接写出PH′+AN的最小值为 　2　．
【答案】（1）＝；
（2）相等，理由见解答部分；
（3）①四边形AHNH′是正方形；
②2．
【解答】解：（1）∵AE⊥BF，
∴∠EMB＝90°，
∴∠FBC+∠BEM＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，
∴∠FBC+∠BFC＝90°，
∴∠BEM＝∠BFC，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE＝BF．
故答案为：＝；
（2）GE＝BF，理由如下：
如图2，过点A作AN∥GE，交BF于点H，交BC于点N，
∴∠EMB＝∠NHB＝90°，
∴∠FBC+∠BNH＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB＝BC，∠BAD＝∠ABC＝∠C＝90°，
∵AD∥BC，AN∥GE，
∴四边形ANEG是平行四边形，
∴AN＝EG，
∵∠C＝90°，
∴∠FBC+∠BFC＝90°，
∴∠BNH＝∠BFC，
∴△ABN≌△BCF（AAS），
∴AN＝BF，
∵AN＝EG，
∴GE＝BF．
（3）①如图3，连接CH，
由（2）的结论可知，AE＝MN，
∵四边形ABCD是正方形，BD是正方形的对角线，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，AB＝BC，
∵BH＝BH，
∴△ABH≌△CBH（SAS），
∴∠BAH＝∠BCH，AH＝CH，
由折叠可知，AH＝AH′，NH＝NH′，
∵∠ABN+∠AHN＝180°，
∴∠BAH+∠BNH＝180°，
∵∠BNH+∠HNC＝180°，
∴∠BAH＝∠HNC，
∴∠HNC＝∠NCH，
∴NH＝CH，
∴NH＝CH＝AH＝AH′＝NH′，
∴四边形AHNH′是菱形，
∵∠AHN＝90°，
∴菱形AHNH′是正方形；
②如图4，作H′Q⊥BC交CB的延长线于点Q，作HF⊥BC于点M，
∴∠H′QN＝∠HFB＝90°，
由上知四边形AHNH′是正方形，
∴H′N＝HN，∠H′NH＝90°，AH′＝AN，
∴∠H′NQ+∠HNF＝∠HNF+∠NHF＝90°，
∴∠H′NQ＝∠NHF，
∴△H′QN≌△NFH′（AAS），
∴H′Q＝NF，QN＝HF；
∵∠HBF＝45°，∠HFB＝90°，
∴△BHF是等腰直角三角形，
∴HF＝BF＝NF+BN，
∵QN＝QB+BN，
∴NF＝QB＝QH′，
∴∠H′BQ＝∠ABH′＝45°，
∴∠H′BD＝90°；
如图4，作P关于BH′的对称点P′，则PH′＝P′H′，过点P′作PK⊥AB交AB延长线于点K，
则△PBK是等腰直角三角形，
∴PH′+AN＝PH′+AH′＝P′H′+AH′≥AP′，即当A，H′，P′三点共线时，PH′+AN最小，最小值为AP′的长．
∵AB＝6，
∴BD＝6，
∵BD＝3BP，
∴BP＝BP′＝2，
∴PK＝BK＝2，
∴AK＝8，
∴AP′＝＝2，即PH′+AN的最小值为2．
故答案为：2．
【变式1-1】如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G，若BC＝4，DE＝AF＝1，则CG的长是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，BC＝4，
∴∠CDF＝∠BCE＝90°，AD＝DC＝BC＝4，
又∵DE＝AF＝1，
∴CE＝DF＝3，
在△CDF和△BCE中，
，
∴△CDF≌△BCE （SAS），
∴∠DCF＝∠CBE，
∵∠DCF+∠BCF＝90°，
∴∠CBE+∠BCF＝90°，
∴∠BGC＝90°，
在Rt△BCE中，BC＝4，CE＝3，
∴BE＝＝5，
∴BE CG＝BC CE，
∴CG＝＝＝．
故选：D．
【变式1-2】如图，点E、F、G分别是正方形ABCD的边AD、BC、AB上的点，连接DG，EF，GF．且EF＝DG，DE＝2AG，∠ADG的度数为α，则∠EFG的度数为（　　）
A．α B．2α C．45°﹣α D．45°+α
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，
如图，过点F作FH⊥AD于点H，
则四边形CDHF为矩形，
∴FH＝CD，DH＝CF，∠FHE＝90°，
∴FH＝AD，
在Rt△FHE和Rt△DAG中，
，
∴Rt△FHE≌Rt△DAG（HL），
∴EH＝AG，∠HFE＝∠ADG＝α，
∵DE＝AG，
∴DE＝2EH，即点D为DE中点，
∴EH＝DH＝AG＝CF，
∴AB﹣AG＝BC﹣CF，即BG＝BF，
∴△BFG为等腰直角三角形，∠BFG＝45°，
∴∠EFG＝90°﹣∠BFG﹣∠HFE＝90°﹣45°﹣α＝45°﹣α．
故选：C．
【变式1-3】如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，正确结论的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解答】解：在正方形ABCD中，∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，
∵CE＝DF，
∴AD﹣DF＝CD﹣CE，
即AF＝DE，
在△ABF和△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴AE＝BF，故①正确；
∠ABF＝∠DAE，
∵∠DAE+∠BAO＝90°，
∴∠ABF+∠BAO＝90°，
在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠ABF+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
假设AO＝OE，
∵AE⊥BF（已证），
∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在Rt△BCE中，BE＞BC，
∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾，
所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF＝S△DAE，
∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，
即S△AOB＝S四边形DEOF，故④正确；
综上所述，错误的有③．
故选：B．
1．在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝8，可以裁出一个最大正方形的边长是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【解答】解：∵矩形的四个角都是直角，正方形的四个角都是直角、四条边相等，
∴只有沿着矩形长边裁剪才能得到最大的正方形，
∵在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝8，
∴在AD上取一点E，使AE＝AB，在BC上取一点F，使BF＝AF，
沿着直线EF裁剪即可得到最大的正方形ABFE，其中AB＝5．
故选：B．
2．如图所示，E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH＝AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝AD，∠DAB＝∠ABF＝90°，
∵AE＝AB，BF＝BC，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴∠ADM＝∠BAN，
∵∠BAN+∠DAM＝90°，
∴∠ADM+DAM＝90°，
∴∠AMD＝90°，
同理：∠ANB＝90°，
∴∠AMD＝∠ANB，
∴△DAM≌△ABN（AAS），
∴AM＝BN，
同理可以证明△BCP，△CDQ，△DAM，△ABN是全等的直角三角形，它们的面积相等，
∵BE＝AB，DG＝DC，AB∥DC，
∴四边形EBGD是平行四边形，
∴ED∥BG，
∴AM：AN＝AE：AB＝1：4，
令正方形ABCD的边长是a，AM＝b，则BN＝b，AN＝4b，
∴正方形ABCD的面积是a2，△ABN的面积是b 4b＝2b2，
∵AB2＝BN2+AN2，
∴a2＝b2+16b2＝17b2，
∵阴影的面积＝a2﹣4×2b2＝17b2﹣8b2＝9b2，
∴阴影部分的面积与正方形ABCD的面积的比是＝．
故选：A．
3．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（　　）
A．2.5 B．2 C． D．
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，
∴∠ABC＝∠GCE＝∠FEC＝90°，AB＝BC＝1，EF＝CE＝3，
∴AB∥GC∥EF，
∴四边形ABEF为直角梯形，
过点H作HM⊥BE于点M，
则HM∥AB∥EF，
∵点H为AF的中点，
∴HM为直角梯形ABEF的中位线，
∴，，
∴CM＝BM﹣BC＝2﹣1＝1，
在Rt△HMC中，CM＝1，HM＝2，
由勾股定理得：．
故选：D．
4．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于O；下列结论：
（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AD＝OE；（4）S△AOB＝S四边形DEOF．
其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAF＝∠ADE＝90°．
∵CE＝DF，
∴AF＝DE．
在△ABF和△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE．
∴AE＝BF，故（1）正确．
∵△ABF≌△DAE，
∴∠AFB＝∠AED．
∵∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠AFB+∠DAE＝90°，
∴∠AOF＝90°，即AE⊥BF，故（2）正确．
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF＝S△ADE．
∴S△AOB＝S△ABF﹣S△AOF，S四边形DEOF＝S△ADE﹣S△AOF，即∴S△AOB＝S四边形DEOF．
如图所示：过点E作EG⊥AB，则EG＝AD．
∵HE＞OE，GE＞HE，
∴GE＞OE．
∴AD＞OE，故（3）错误．
故选：B．
5．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF，②BO＝OE，③AE⊥BF，④∠ABO＝∠FAO，⑤S四边形DEOF＝S△AOB中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AD
∵CE＝DF
∴DE＝AF
∴△ADE≌△BAF
∴AE＝BF（故①正确），∠ABO＝∠FAO（故④正确），S△ADE＝S△BAF，∠DEA＝∠AFB，∠EAD＝∠FBA
∵S△AOB＝S△BAF﹣S△AOF，
S四边形DEOF＝S△ADE﹣S△AOF，
∴S△AOB＝S四边形DEOF（故⑤正确），
∵∠ABF+∠AFB＝∠DAE+∠DEA＝90°
∴∠AFB+∠EAF＝90°
∴AE⊥BF一定成立（故③正确）．
假设AO＝OE，
∵AE⊥BF（已证），
∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在Rt△BCE中，BE＞BC，
∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾，
∴，假设不成立，BO≠OE（故②错误）；
故错误的只有一个．
故选：D．
6．如图，正方形ABCD，点E，F在对角线AC上，连接BE、DF，满足BE∥DF，过点E作EG⊥DF，垂足为G，若DG＝4，EG＝3，则AD＝　　．
【答案】．
【解答】解：如图所示：连接BD，DE，
∵四边形ABCD是正方形，AC是其对角线，
∴AB＝BC＝DC＝AD，∠BCA＝∠DCA＝∠DAF＝45°，AC⊥BD，
∴BD＝2DH，
在△BCE和△DCE中，
，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴BE＝DE，
∵EG⊥DF，
∴∠DGE＝90°，
∵DG＝4，EG＝3，
∴，
∵BE∥DF，
∴∠DFE＝∠BEF，
∵∠AFD+∠DFE＝∠CEB+∠BEF＝180°，
∴∠AFD＝∠BEF，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴DF＝BE＝DE＝5，
∵DG＝4，
∴FG＝DF﹣DG＝5﹣4＝1，
∴，
∵，
∴DF EG＝EF DH，
5×3＝，
∴，
∴BD＝2DH＝，
∵AD2+AB2＝BD2，
∴，
AD2＝45，
∴，
故答案为：．
7．已知正方形ABCD的边长为4，CE＝DF＝3，DE和AF相交于点G，连接BG，点H是线段AE的中点，连接HG，若∠HGB＝∠DAF，则GB＝　　．
【答案】．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，边长为4，
∴AD＝DC＝AB＝BC＝4，∠ADC＝∠C＝90°，
在△ADF和△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠DAF＝∠CDE，
∵∠ADC＝∠ADG+∠CDE＝90°，
∴∠ADG+∠DAF＝90°，
∴∠AGD＝90°，
即：AF⊥DE，
在Rt△AGE中，点H为斜边AE的中点，
∴，
在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝BC﹣CE＝4﹣1＝3，
由勾股定理得：，
∴，
连接BH，过点H作HT⊥BG于点T，
在Rt△ABE中，点H为斜边AE的中点，
∴，
∴BH＝HG，
即：△HBG为等腰三角形，
又HT⊥BG，
∴BT＝GT，
∴GB＝2GT，
∵∠HGB＝∠DAF，∠HTG＝∠ADC＝90°，
∴△HTG∽△ADF，
∴，
即：，
∴，
在Rt△HTG中，由勾股定理得：HT2+GT2＝HG2，
即：，
解得：，
∴．
故答案为：．
8．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M是AD上的一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N，若四边形MOND的面积是3，则AB的长为 　2　．
【答案】．
【解答】解：过O作OE⊥AD，OF⊥DC，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD平分∠ADC，
∴OM＝ON，∠EOF＝90°，
∵∠MON＝90°，
∴∠MOE＝∠NOF，
∵∠OEM＝∠OFM＝90°，
∴△OEM≌△OFN（ASA），
∴S四边形MOND＝S四边形OEDF＝，
∵四边形MOND的面积是3，
∴正方形ABCD的面积为12，
∴AB＝，
故答案为：．
9．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，AE与BF相交于点G，连接AC交BF于点H．若CE＝DF，BG＝GH，AB＝2，则△CFH的面积为 　3﹣4　．
【答案】3﹣4．
【解答】解：如图：过点H作HM⊥CD，垂足为M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝2，AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠ACD＝45°，
∴AC＝AB＝2，
∵CE＝DF，
∴BC﹣CE＝CD﹣DF，
∴BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
∵∠ABC＝∠2+∠3＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠AGB＝180°﹣（∠1+∠3）＝90°，
∵BG＝GH，
∴AG是BH的垂直平分线，
∴AB＝AH＝2，
∴∠3＝∠AHB，CH＝AC﹣AH＝2﹣2，
∵AB∥CD，
∴∠3＝∠CFH，
∵∠AHB＝∠CHF，
∴∠CFH＝∠CHF，
∴CH＝CF＝2﹣2，
在Rt△HMC中，HM＝＝＝2﹣，
∴△CFH的面积＝CF HM＝×（2﹣2）×（2﹣）＝3﹣4，
故答案为：3﹣4．
10．如图，四边形ABCD是正方形，点E、N分别在DC、BC上，点F在CB的延长线上．△ADE≌△DCN，将△ADE顺时针旋转n度后，恰好与△ABF重合．
（1）请写出n的值；
（2）连结EF，试求出∠AFE的度数；
（3）猜想线段AE和DN的数量关系和位置关系，并说明理由．
【答案】（1）n＝90；
（2）∠AFE＝45°；
（3）AE＝DN，AE⊥DN，理由见解析．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAB＝90°，
由旋转可知，旋转角为∠DAB＝90°，
即将△ADE顺时针旋转90度后，恰好与△ABF重合，
∴n＝90；
（2）如图，
由（1）知，将△ADE顺时针旋转90度后，恰好与△ABF重合，
∴∠EAF＝90°，AE＝AF，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴∠AFE＝45°；
（3）AE＝DN，AE⊥DN．理由如下：
∵△ADE≌△DCN，
∴∠DAE＝∠CDN，AE＝DN，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DAE+∠AED＝90°，
∴∠CDN+∠AED＝90°，即∠EDP+∠PED＝90°，
∴∠DPE＝90°，
∴AE⊥DN．
11．【探索发现】（1）如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，我们知道，无论正方形A1B1C1O绕点O怎么转动，总有△AEO≌△BFO，连接EF，求证：AE2+CF2＝EF2；
【类比迁移】（2）如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E，CO与边CB相交于点F，连接EF，矩形A1B1C1O可绕着点O旋转，判断（1）中的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
【迁移拓展】（3）如图3，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，直角∠EDF的顶点D在边AB的中点处，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕着点D旋转，当BF＝1cm时，直接写出线段EF的长度．
【答案】（1）见解答，
（2）见解答．
（3）EF＝或（cm），
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD、A1B1C1O都是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，∠AOB＝∠EOF＝∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠AOE＝∠BOF，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴AE＝BF，
∴BE＝CF，连接EF，
在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，
∴AE2+CF2＝EF2．
（2）AE2+CF2＝EF2仍然成立．
连接AC，
∵O是矩形ABCD的中心，
∴O在AC上，且AO＝CO，
延长EO交CD于G，连接FG，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CGO，
∵△AOE≌△COG，
∴AE＝CG，OE＝0G，
又∵矩形A1B1C1O中，CG2+CF2＝FG2，
∴AE2+CF2＝EF2．
（3）当点F在边BC上时，如图：
∵BF＝1，
∴CF＝3，
设CE＝x cm，则AE＝（3﹣x）cm，
则（3﹣x）2+12＝x2+32，
解得x＝，即CE＝，
∴EF＝＝＝cm）．
当点F在边CB延长线上时，如图：
同理可证．AE2+BF2＝EF2，
设CE＝x，则AE＝3+x，
∵EF2＝CE2+CF2＝AE2+BF2，
∴x2+52＝（x+3）2+12，
解得x＝，即CE＝，
∴EF＝＝（cm），
综上所述，EF＝或（cm），
12．如图，已知四边形ABCD是正方形，点F是DC边上的动点（不与端点重合），点E在线段AF上，AD＝m2+1，AE＝2m，DE＝m2﹣1，M为线段BF的中点，点N在线段AF上（不与点F重合），且MN＝BF．
（1）求证：BN⊥AF；
（2）随着点F的运动，试猜想AB﹣AN的值是否是发生变化，若不变，请求出定值，若变化，请说明理由．
【答案】（1）答案见解答过程；（2）AB﹣AN的值不发生变化，值为2．
【解答】（1）证明：∵点M为BF的中点，
∴，
∵，
∴MB＝MF＝MN，
∴∠BFN＝∠MNF，∠FBN＝∠MNB，
∴∠BFN+∠FBN＝∠MNF+∠MNB＝∠FNB，
∵∠BFN+∠FBN+∠FNB＝180°，
即：2∠FNB＝180°，
∴∠FNB＝90°，
即：BN⊥AF．
（2）解：猜想AB﹣AN的值不发生变化，AB﹣AN＝2，理由如下：
∵AD＝m2+1，AE＝2m，DE＝m2﹣1，
∴AD2＝（m2+1）2＝m4+2m2+1，AE2＝（2m）2＝4m2，DE2＝（m2﹣1）2＝m4﹣2m2+1，
∴AE2+DE2＝4m2+m4﹣2m2+1＝m4+2m2+1
∴AE2+DE2＝AD2，
∴△ADE为直角三角形，即：∠AED＝90°，
由（1）可知：BN⊥AF，
∴∠BNA＝90°，
∴∠BNA＝∠AED＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝m2+1，∠BAD＝90°，
∴∠DAE+∠BAN＝90°，
又∠BNA＝90°，
∴∠ABN+∠BAN＝90°，
∴∠ABN＝∠DAE，
在△ABN和△ADE中，
，
∴△ABN≌△ADE（AAS），
∴AN＝DE＝m2﹣1，
∴AB﹣AN＝m2+1﹣（m2﹣1）＝2，
∴AB﹣AN的值不发生变化，值为2．
13．（1）如图1，在正方形ABCD中，AE、DF相交于点O且AE⊥DF则AE和DF的数量关系为 　AE＝DF　．
（2）如图2，在正方形ABCD中，E、F、G分别是边AD、BC、CD上的点，BG⊥EF，垂足为H．求证：EF＝BG．
（3）如图3，在正方形ABCD中，E、F、M分别是边AD、BC、AB上的点，AE＝2，BF＝5，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点恰好与CD边上的点N重合，求CN的长度．
【答案】（1）AE＝DF；
（2）见解答；
（3）4．
【解答】解：（1）∵∠DAO+∠BAE＝90°，∠DAO+∠ADF＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，
在△ABE和△DAF中，，
∴△ABE≌△DAF（ASA），
∴AE＝DF，
故答案为AE＝DF；
（2）如图1，故点E作EM⊥BC于点M，则四边形ABME为矩形，
则AB＝EM，
在正方形ABCD中，AB＝BC，
∴EM＝BC，
∵EM⊥BC，
∴∠MEF+∠EFM＝90°，
∵BC⊥EM，
∴∠CBG+∠EFM＝90°，
∴∠CBG＝∠MEF，
在△BCG和△EMF中，
，
∴△BCG≌△EMF（ASA），
∴BG＝EF；
（3）如图2，连接MN，
∵M、N关于EF对称，
∴MN⊥EF，过点E作EH⊥BC于点H，
过点M作MG⊥CD于点G，则EH⊥MG，
由（2）同理可得：△EHF≌△MGN（ASA），
∴NG＝HF，
∵AE＝2，BF＝5，
∴NG＝HF＝5﹣2＝3，
又∵GC＝MB＝1，
∴NC＝NG+CG＝3+1＝4．
14．（1）如图①，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过A点作AG⊥EB，垂足为G，求证：OE＝FO；
（2）如图②，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于G．AG的延长线交DB的延长线于F，其他条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）结论成立．证明见解析．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝BO，∠AOB＝∠BOC＝90°，
又∵AG⊥EB，
∴∠AGE＝90°，
∴∠2+∠3＝∠1+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△AOF和△BOE中，
，
∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴OE＝OF；
（2）结论成立．
证明如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝BO，∠AOB＝∠BOC＝90°，
又∵AG⊥EB，
∴∠AGE＝90°，
∴∠E+∠GAE＝∠F+∠GAE＝90°，
∴∠E＝∠F，
在△AOF和△BOE中，
，
∴△AOF和△BOE（ASA），
∴OE＝OF；
15．如图1，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP＝CQ，连接AP、BQ交于点E．
（1）求证：AP⊥BQ；
（2）当P运动到BC中点处时（如图2），连接DE，请你判断线段DE与AD之间的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，过A点作AM⊥DE于点H，交BQ、CD于点N、M，若AB＝2，求QM的长度．
【答案】（1）见解析；
（2）AD＝DE，理由见解析；
（3）QM＝．
【解答】解：（1）在正方形ABCD中有：AB＝BC，∠ABP＝∠BCQ＝90°，
∵BP＝CQ，
∴△ABP≌△BCQ（SAS），
∴∠PAB＝∠QBC，
∵∠QBC+∠ABQ＝90°，
∴∠PAB+∠ABQ＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴AP⊥BQ；
（2）AD＝DE，理由如下：
如图，延长BQ、AD交于一点F，
当点P为BC中点时，Q为CD中点，即CQ＝DQ，
∵∠FQD＝∠BQC，∠FDQ＝∠C，
∴△FDQ≌△BCQ（ASA），
∴FD＝BC，
∴FD＝AD，
由（1）得：∠FEA＝90°，
∴DE＝FA＝AD；
（3）由（1）得：AP⊥BQ，
∴∠ANE+∠NAE＝90°，
∵∠NAE+∠AEH＝90°，
∴∠ANE＝∠AEH，
设∠ANE＝∠AEH＝α，
∵DE＝DA，
∴∠DAE＝∠AEH＝α，
∵AD∥BC，
∴∠APB＝∠DAE＝α，
∵△PAB≌△QBC，
∴∠CQB＝∠APB＝α，
∵∠QNM＝∠ANE＝α，
∴∠CQB＝∠QNM，
∴QM＝MN，
∵CD∥AB，
∴∠ABQ＝∠CQB＝α，
∴∠ABQ＝∠ANE，
∴AN＝AB＝2，
设QM＝MN＝x，则DM＝DQ+QM＝1+x，AM＝AN+MN＝2+x，
∵AD2+DM2＝AM2，
∴22+（x+1）2＝（x+2）2，
解得：x＝，
∴QM＝．
16．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的点，连接CE，过点D作DF⊥CE，分别交BC，CE于点F、G．
（1）求证：CE＝DF；
（2）若AB＝3，图中阴影部分的面积和与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△DCG的面积为
　　，CG+DG的长为 　　．
【答案】（1）见解答；
（2）；．
【解答】解：（1）在正方形ABCD中，CD＝BC，∠DCF＝∠CBE＝90°，
∵DF⊥CE，
∴∠DFC+∠BCE＝90°，
∵∠BCE+∠BEC＝90°，
∴∠BEC＝∠CFD，
∴△DCF≌△CBE（AAS），
∴CE＝DF；
（2）∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为×9＝6
∴空白部分的面积为9﹣6＝3，
∵△BCE≌△CDF，
∴△DCG的面积与四边形BEGF的面积相等，均为×3＝，
设DG＝a，CG＝b，则ab＝，
又∵a2+b2＝32，
∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，
即（a+b）2＝15，
∴a+b＝，即DG+CG＝，
故答案为：；．
17．如图1，已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，连接BE，DG．
（1）请判断BE与DG的数量关系与位置关系，并证明你的结论．
（2）如图2，已知AB＝4，，当点F在边AD上时，求BE的长．
【答案】（1）BE＝DG，BE⊥DG；（2）．
【解答】解：（1）BE＝DG，BE⊥DG；
理由：如图1，∵正方形ABCD和正方形AEFG，
∴∠GAE＝90°＝∠BAD，AG＝AE，AD＝AB，∠ADB＝45°，
∴∠GAD＝∠BAE，
∴△GAD≌△BAE，
∴BE＝DG，∠GDA＝∠ABE，
∴∠BMD＝180°﹣∠GDA﹣∠ADB﹣∠DBM＝180°﹣﹣∠EBA﹣∠DBM﹣45°＝90°，
∴BE⊥DG．
总之，BE＝DG，BE⊥DG；
（2）
作EH⊥AB于H，
∵正方形ABCD和正方形AEFG，
∴∠GAE＝90°＝∠BAD，∠EAF＝45°，
∴∠HAF＝45°，
∵AB＝4，，
∴AH＝EH＝＝1，
∴BH＝4﹣1＝3，
∴BE＝．
18．如图1，在正方形ABCD中，，点E在边BC上，连接AE，且∠BAE＝30°，点F是AE的中点．
（1）求AE的长；
（2）过点F作直线GH，分别交AB，CD于点G，H，且GH＝AE，求AG的长；
（3）如图2，过点F作AE的垂线，分别交AB，BD，CD于点M，O，N，连接OE，求∠AEO的度数．
【答案】（1）4；
（2）或；
（3）45°．
【解答】解：（1）∵∠BAE＝30°，
∴AE＝2BE，
设BE＝x，则AE＝2x，
在Rt△ABE中，x2+＝（2x）2，
解得x＝2或﹣2（舍去），
∴AE＝4；
（2）如图，过点B作BR∥GH，交CD于R，
∵GH∥BR，AB∥CD，
∴四边形BRHG是平行四边形，
∴GH＝BR，∠BGH＝∠BRH，
∵GH＝AE，
∴BR＝GH＝AE．
又∵AB＝BC，
∴Rt△ABE≌Rt△BCR（HL），
∴∠BAE＝∠CBR＝30°，
∴∠BRC＝60°＝∠AEB，
∴∠BRH＝120°＝∠BGH，
∴∠AGH＝60°，
∴∠AFG＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠BAE＝30°，
∴AG＝2GF，
∴AG2＝GF2﹣AF2，
∴3GF2＝4．
∴GF＝，
∴AG＝；
如图，过点A作AR∥GH，交CD于R，过点G作GO⊥AE于点O，
同理可证：△ABE≌△ADR，
∴∠DAR＝∠BAE＝30°，
∴∠EAR＝30°，
∵AR∥GH，
∴∠RAF＝∠AFG＝30°，
∴∠BAE＝∠AFG，
∴AG＝GF，
∵GO⊥AF，
∴AO＝FO＝1，
∵∠BAE＝30°，
∴AG＝2GO，
∴AG2﹣GO2＝AO2，
∴3GO2＝1，
∴GO＝，
∴AG＝，
∴AG的长为或；
（3）如图，连接AO，过点O作OQ⊥AB于点Q，OP⊥BC于点P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵OQ⊥AB，OP⊥BC，
∴OQ＝OP，
∵MN⊥AE，AE＝EF，
∴AO＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵OA＝OE，OQ＝OP，
∴Rt△AOQ≌Rt△EOP（HL），
∴∠OAQ＝∠OEP，
∵∠BEA+∠AEO+∠OEP＝180°，
∴60°+∠AEO+∠OAE+30°＝180°，
∴∠AEO＝45°．
19．如图，Rt△ABC两条外角平分线交于点D，∠B＝90°，过点D作DE⊥BA于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：四边形BFDE是正方形；
（2）若BF＝6，点C为BF的中点，直接写出AE的长．
【答案】2．
【解答】（1）证明：如图所示：过点D作DH⊥AC，
∵DE⊥BA，DF⊥BC，
∴∠E＝∠F＝∠B＝90°，
∴四边形BFDE是矩形，
∵AD平分∠EAC，DE⊥BA，
∴DE＝DH，
∵CD平分∠ACF，DF⊥BC，DH⊥AC，
∴DH＝DF，
∴DE＝DF，
∴四边形BFDE是正方形；
（2）解：∵DH⊥AC，
∴∠AHD＝∠DHC＝90°，
由（1）∠E＝∠F＝90°，DE＝DH，DH＝DF，
∴∠AHD＝∠DHC＝∠E＝∠F＝90°，
在Rt△AED和Rt△AHD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AHD（HL），
∴AE＝AH，
同理可以证明Rt△DFC≌Rt△DHC（HL），
∴CH＝CF，
∵BF＝6，C为BF中点，
∴BC＝CF＝CH＝3，
∵四边形BFDE是正方形，
∴BE＝BF＝6，
设AE＝x，则AB＝BE﹣AE＝6﹣x，AC＝AH+CH＝x+3，
由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，
∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，
解之得：x＝2，
∴AE的长为2．
20．在正方形ABCD中，P是边BC上一动点（不与点B、C重合），E是AP的中点，
过点E作MN⊥AP，分别交AB、CD于点M，N．
（1）判定线段MN与AP的数量关系，并证明；
（2）连接BD交MN于点F．
①根据题意补全图形；
②用等式表示线段ME，EF，FN之间的数量关系，直接写出结论 　EF＝EM+FN　．
【答案】（1）MN＝AP，证明见解析；
（2）①补全图形见解析；②EF＝EM+FN．
【解答】解：（1）MN＝AP．
证明：过点M作MG⊥CD于点G，则四边形AMGD是矩形，
∴MG＝AD，∠MGN＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABP＝90°，AB＝BC＝AD，
∴MG＝AB，∠ABP＝∠MGN，
又∵MN⊥AP，
∴∠AEM＝90°，
∴∠AME+∠BAP＝90°，
又∵∠NMG+∠AME＝90°，
∴∠NMG＝∠BAP，
∴△ABP≌△MGN（ASA），
∴AP＝MN；
（2）①补全图形如图2，
②如图3，过点P作PH∥AB交MN于点H，交BD于点K，过点M作MG⊥CD于点G，
∵AM∥PH，
∴∠MAE＝∠EPH，
∵E为AP的中点，
∴AE＝EP，
又∵∠AEM＝∠PEH，
∴△AME≌△PHE（ASA），
∴ME＝EH，AM＝PH，
∵四边形AMGD是矩形，
∴AM＝DG，
∴DG＝PH，
∵∠CBD＝45°，∠BPK＝90°，
∴∠BPK＝∠BKP＝45°，
∴BP＝PK，
由（1）知△ABP≌△MGN，
∴BP＝NG，
∴PK＝NG，
∴HK＝DN，
又∵NK∥DN，
∴∠HKF＝∠NDF，
∴△HKF≌△NDF（AAS），
∴HF＝NF，
∴EF＝EH+HF＝EM+FN．
故答案为：EF＝EM+FN．
21．如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于M，CD于N，证明：AP＝MN；
如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB、AP、BD、DC于点M、E、F、N．
（1）求证：EF＝ME+FN；
（2）若正方形ABCD的边长为2，则线段EF的最小值＝　1　，最大值＝　　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）AP＝MN，
理由如下：
如图1，∵四边形ABD是正方形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC，
过B点作BH∥MN交CD于H，
∵BM∥NH，
∴四边形MBHN为平行四边形，
∵BH＝AP，
∵MN∥BH，MN⊥AP，
∴BH⊥AP，
∴∠BAP+∠ABH＝90°，
∵∠ABH+∠CBH＝900，
∴∠BAP＝∠CBH，
∴△ABP≌△BCH（ASA），
∴BH＝AP，
∴MN＝AP；
（2）如图2，连接FA，FP，FC
∵正方形ABCD是轴对称图形，F为对角线BD上一点
∴FA＝FC，
又∵FE垂直平分AP，
∴FA＝FP，
∴FP＝FC，
∴∠FPC＝∠FCP，
∵∠FAB＝∠FCP，
∴∠FAB＝∠FPC，
∴∠FAB+∠FPB＝180°，
∴∠ABC+∠AFP＝180°，
∴∠AFP＝90°，
∴FE＝AP，
由（1）知，AP＝MN
∴MN＝ME+EF+FN＝AP＝2EF，
∴EF＝ME+FN
（3）由（2）有，EF＝ME+FN，
∵MN＝EF+ME+NF，
∴EF＝MN，
∵AC，BD是正方形的对角线，
∴BD＝2，
当点P和点B重合时，EF最小＝MN＝AB＝1，
当点P和C重合时，EF最大＝MN＝BD＝，
故答案为1，苏科版八年级下册数学-正方形中十字架模型
十字架模型
分别连接正方形的两组对边上任意两点，得到的两条线段（如：图1中的线段AF与BE，图2中的线段EF与MN，图3中的线段BE与AF）满足：若垂直，则相等。
【典例1】问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题：
如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．那么AE与BF相等吗？
（1）直接判断：AE 　　BF（填“＝”或“≠”）；
在“问题情境”的基础上，继续探索：
问题探究：
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥BF，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论；
问题拓展：
（3）如图3，点E在边CD上，且MN⊥AE，垂足为H，当H在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△AHN沿着AN翻折，点H落在点H′处．
①四边形AHNH′是正方形吗？请说明理由；
②若AB＝6，点P在BD上，BD＝3BP，直接写出PH′+AN的最小值为 　　．
【变式1-1】如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G，若BC＝4，DE＝AF＝1，则CG的长是（　　）
A．2 B． C． D．
【变式1-2】如图，点E、F、G分别是正方形ABCD的边AD、BC、AB上的点，连接DG，EF，GF．且EF＝DG，DE＝2AG，∠ADG的度数为α，则∠EFG的度数为（　　）
A．α B．2α C．45°﹣α D．45°+α
【变式1-3】如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，正确结论的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
1．在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝8，可以裁出一个最大正方形的边长是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
2．如图所示，E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH＝AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（　　）
A．2.5 B．2 C． D．
4．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于O；下列结论：
（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AD＝OE；（4）S△AOB＝S四边形DEOF．
其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF，②BO＝OE，③AE⊥BF，④∠ABO＝∠FAO，⑤S四边形DEOF＝S△AOB中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，正方形ABCD，点E，F在对角线AC上，连接BE、DF，满足BE∥DF，过点E作EG⊥DF，垂足为G，若DG＝4，EG＝3，则AD＝　．
7．已知正方形ABCD的边长为4，CE＝DF＝3，DE和AF相交于点G，连接BG，点H是线段AE的中点，连接HG，若∠HGB＝∠DAF，则GB＝　　．
8．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M是AD上的一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N，若四边形MOND的面积是3，则AB的长为 　　．
9．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，AE与BF相交于点G，连接AC交BF于点H．若CE＝DF，BG＝GH，AB＝2，则△CFH的面积为 　　．
10．如图，四边形ABCD是正方形，点E、N分别在DC、BC上，点F在CB的延长线上．△ADE≌△DCN，将△ADE顺时针旋转n度后，恰好与△ABF重合．
（1）请写出n的值；
（2）连结EF，试求出∠AFE的度数；
（3）猜想线段AE和DN的数量关系和位置关系，并说明理由．
11．【探索发现】（1）如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，我们知道，无论正方形A1B1C1O绕点O怎么转动，总有△AEO≌△BFO，连接EF，求证：AE2+CF2＝EF2；
【类比迁移】（2）如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E，CO与边CB相交于点F，连接EF，矩形A1B1C1O可绕着点O旋转，判断（1）中的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
【迁移拓展】（3）如图3，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，直角∠EDF的顶点D在边AB的中点处，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕着点D旋转，当BF＝1cm时，直接写出线段EF的长度．
12．如图，已知四边形ABCD是正方形，点F是DC边上的动点（不与端点重合），点E在线段AF上，AD＝m2+1，AE＝2m，DE＝m2﹣1，M为线段BF的中点，点N在线段AF上（不与点F重合），且MN＝BF．
（1）求证：BN⊥AF；
（2）随着点F的运动，试猜想AB﹣AN的值是否是发生变化，若不变，请求出定值，若变化，请说明理由．
13．（1）如图1，在正方形ABCD中，AE、DF相交于点O且AE⊥DF则AE和DF的数量关系为 　　．
（2）如图2，在正方形ABCD中，E、F、G分别是边AD、BC、CD上的点，BG⊥EF，垂足为H．求证：EF＝BG．
（3）如图3，在正方形ABCD中，E、F、M分别是边AD、BC、AB上的点，AE＝2，BF＝5，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点恰好与CD边上的点N重合，求CN的长度．
14．（1）如图①，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过A点作AG⊥EB，垂足为G，求证：OE＝FO；
（2）如图②，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于G．AG的延长线交DB的延长线于F，其他条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
15．如图1，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP＝CQ，连接AP、BQ交于点E．
（1）求证：AP⊥BQ；
（2）当P运动到BC中点处时（如图2），连接DE，请你判断线段DE与AD之间的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，过A点作AM⊥DE于点H，交BQ、CD于点N、M，若AB＝2，求QM的长度．
16．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的点，连接CE，过点D作DF⊥CE，分别交BC，CE于点F、G．
（1）求证：CE＝DF；
（2）若AB＝3，图中阴影部分的面积和与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△DCG的面积为
　　，CG+DG的长为 　．
17．如图1，已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，连接BE，DG．
（1）请判断BE与DG的数量关系与位置关系，并证明你的结论．
（2）如图2，已知AB＝4，，当点F在边AD上时，求BE的长．
18．如图1，在正方形ABCD中，，点E在边BC上，连接AE，且∠BAE＝30°，点F是AE的中点．
（1）求AE的长；
（2）过点F作直线GH，分别交AB，CD于点G，H，且GH＝AE，求AG的长；
（3）如图2，过点F作AE的垂线，分别交AB，BD，CD于点M，O，N，连接OE，求∠AEO的度数．
19．如图，Rt△ABC两条外角平分线交于点D，∠B＝90°，过点D作DE⊥BA于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：四边形BFDE是正方形；
（2）若BF＝6，点C为BF的中点，直接写出AE的长．
20．在正方形ABCD中，P是边BC上一动点（不与点B、C重合），E是AP的中点，
过点E作MN⊥AP，分别交AB、CD于点M，N．
（1）判定线段MN与AP的数量关系，并证明；
（2）连接BD交MN于点F．
①根据题意补全图形；
②用等式表示线段ME，EF，FN之间的数量关系，直接写出结论 　 　．
21．如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于M，CD于N，证明：AP＝MN；
如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB、AP、BD、DC于点M、E、F、N．
（1）求证：EF＝ME+FN；
（2）若正方形ABCD的边长为2，则线段EF的最小值＝　　，最大值＝　　．

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