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2023-2024学年数学七年级下册（冀教版）
期中测试 基础卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共36分）
1．（本题3分）下列四组数值中，是方程组的解的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）用如图①中的长方形和正方形纸板为侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒（图2中两个盒子朝上的一面不用纸板）．现在仓库里有m张长方形纸板和n张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值有可能是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
3．（本题3分）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱，不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问甲、乙持钱各几何？”译文是：现有甲、乙二人各自带着钱，不知是多少，若甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50．问：甲、乙各有多少钱？设甲持钱数为，乙持钱数为，则下列符合题意的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
4．（本题3分）如图，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）如图，木棒分别与在处用可旋转的螺丝钉拧紧，已知，若将木棒绕点逆时针旋转到与木棒平行的位置，则至少要旋转的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）如图，将直角沿方向平移得到直角，已知，则阴影部分的面积为（ ）
A．36 B．37 C．38 D．39
7．（本题3分）《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图2所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）将图①中周长为40的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长58的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 （　　）
A．44 B．48 C．46 D．50
9．（本题3分）太阳直径大约是1392000千米，相当于地球直径的109倍．数据1392000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）若，，，．则（　　）
A． B． C． D．
11．（本题3分）已知 下列结论正确的个数为（　　）
①若是完全平方式，则；②的最小值是2；③若n是的一个根，则；④若，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（本题3分）如图，四边形是长方形，四边形是面积为15的正方形，点M、N分别在上，点E、F在上，点G、H在上，且四边形是正方形，连接，若图中阴影部分的总面积为6，则正方形的面积为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
评卷人得分
二、填空题（共18分）
13．（本题3分）若，则 ．
14．（本题3分）若，则 ．
15．（本题3分）已知和互为邻补角，且，平分，射线在内部，且，，，则 ．
16．（本题3分）如图，已知、相交于O，于O，，则的度数是 ．
17．（本题3分）在中，用含的代数式表示：
18．（本题3分）是二元一次方程，则
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）解方程组：
(1)； (2)．
20．（本题8分）阅读材料“轮换式方程组的解法”，然后解题．
材料：解方程组；解方程组．
解：将，得，即
将，得，即
将，得，即
将代入，得，即
所以原方程组的解为．
21．（本题10分）根据解答过程填空：
已知：如图，，求证：．

证明：∵（ ），
又∵（已知），
∴（ ），
∴（ ），
∴．
∵（已知），
∴，（ ）
∴（ ），
∴（ ）．
22．（本题10分）如图，已知直线、被直线所截，平分，求的度数．
将该题解题过程补充完整：
解：（ ）
____________
平分（已知）
____________
（已知）
（ ）
（ ）
______
23．（本题10分）已知，求的值．
24．（本题10分）先化简，再求值：，其中．
25．（本题10分）读材料，解答下列问题：
若，求的值．
小明的解题方法：
，，
∴10．
小亮的解题方法：
设：， ，则 ，
∴．
(1)任选材料中一种方法解答：若，求的值；
(2)如图1，长方形空地，米，米，在中间长方形上安放雕塑，四周剩余的宽度相同，设该宽度为x米，则长方形中， 米， 米（用含x的代数式表示）；
(3)在（2）的条件下，如图2，以长方形四边为直径在形外做半圆，在四个半圆里种花，若长方形的面积为平方米，求种花的面积．（结果保留π）
参考答案：
1．D
【分析】本题考查的是三元一次方程组的解，解题的关键是利用加减消元法进行求解．
方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】
得：
得：
把代入中
，
把，代入得：
，
方程组的解为，
故选：D．
2．A
【分析】设做竖式的无盖纸盒为x个，横式的无盖纸盒y个，由所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再由x、y的系数表示出m+n并判断m+n为5的倍数，然后选择答案即可．
【详解】解：设做竖式的无盖纸盒为x个，横式的无盖纸盒为y个，
根据题意得：，
整理得：m+n＝5（x+y），
∵x、y都是正整数，
∴m+n是5的倍数，
∵2020、2021、2022、2023四个数中只有2020是5的倍数，
∴m+n的值可能是2020．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3．C
【分析】此题考查了列二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．根据甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50列方程组即可．
【详解】解：设甲持钱为x，乙持钱为y，
甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50，得
乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50，得，
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，
根据邻补角的定义和平行线的性质：两直线平行，同位角相等，即可求解，
【详解】解：如图所示：
故选：C
5．B
【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，进行求解即可．
【详解】解：当时，，
∴至少要旋转的度数是：；
故选B．
6．D
【分析】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等．根据平移的性质可得，，则阴影部分的面积=梯形的面积，再根据梯形的面积公式即可得到答案．
【详解】解：∵沿的方向平移距离得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
7．C
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及实际应用，根据，结合图1可判断出：（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个数，为方程的右边；（2）“|”表示1，“—”表示10；根据图2中第一个方程求出x，y的值代入第二个代数式求值是解题关键．
【详解】根据题意，可知图2中第一个方程是．已知，代入即可解得．
第2个方程等号的左边是，将，代入，得．
被墨水所覆盖的图形为，
故选C．
8．B
【分析】此题考查整式加减的应用，平移的性质，利用平移的性质将不规则图形变化为规则图形进而求解，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题．
设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，根据图1中长方形的周长为40，求得，根据图中长方形的周长为58，求得，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长，计算即可得到答案．
【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，
由图1中长方形的周长为40，可得，，
解得：，
如图，∵图2中长方形的周长为58，
∴，
∴，
根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长，
∴
；
故选：B．
9．B
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：1392000用科学记数法表示为：，
故选：B．
10．D
【分析】先计算乘方、负整数指数幂、零指数幂，再进行有理数的大小比较即可．
【详解】解：∵，，，，
∴，即，
故选：D．
11．B
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，完全平方公式的应用：
①利用完全平方公式即可求出n的值；
②先利用整式的加减求出，再利用配方法即可求出的最小值；
③先利用整式的加减求出，根据n是的一个根，代入方程后即可求出答案；
④先设，求出，再利用完全平方式求出即可判断．
【详解】解：①∵是完全平方式，
∴，
∴，故结论正确；
②∵，而，
∴，
∴的最小值是2，故②结论正确；
③根据题意知，，
∵n是的一个根，
∴把代入，得：，即，
∴，
∴，故③错误；
④令，则，，
∴，即，
∴，即，故④错误；
综上所述，正确的个数有2个；
故选：B．
12．D
【分析】本题考查正方形的性质、平方差公式，解答的关键是掌握平方差公式并熟练运用．设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可．
【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
则阴影面积的底为，高之和为，
∴阴影面积为，即，
∵大正方形的面积为，
∴，即小正方形的面积为3，
故选：D．
13．或3
【分析】本题考查了同底数幂的除法．分两种情况：①当时；②当；然后分别进行计算即可解答．
【详解】解：分两种情况：
①，
，
；
②，
，
，
，
；
故答案为：或3．
14．2
【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法．根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
解得：，
故答案为：2．
15．或
【分析】本题考查了与角平分线有关的计算、邻补角，正确分两种情况讨论是解题关键．分两种情况进行讨论：在上方和在下方，先求得的度数，再根据，即可得到的度数．
【详解】解：①如图1，当在上方时，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，即，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图2，当在下方时，
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
综上，的度数为或，
故答案为：或．
16．50
【详解】本题主要考查垂线的性质、邻补角，熟练掌握垂线的性质、邻补角的定义是解决本题的关键．
根据垂线的性质、邻补角的定义解决此题．
【解答】：解：∵于O，
∴．
∴．
故答案为：50．
17．
【分析】本题考查的是二元一次方程的解，掌握“利用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数的方法”是解本题的关键．把二元一次方程中的未知数看作是常数，看作是未知数，解方程即可．
【详解】解： ，
，
，
故答案为：．
18．8
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，解二元一次方程组， 利用二元一次方程的定义，列出二元一次方程组，然后两式相加即可求解．
【详解】解∶∵是二元一次方程，
∴，即
两式相加，得，
故答案为：8．
19．(1)
(2)
【分析】
本题考查解二元一次方程组，用代入消元法是最基本的方法，熟练掌握基本方法是解题的关键．
（1）用代入消元法求解；
（2）用代入消元法求解．
【详解】（1）解：
由①得：，代入②得：，
解得：，
将代入，解得：，
∴原方程组的解为．
（2）解：
由②得：，代入①得：，
解得：，
将代入得：，
∴原方程组的解为．
20．
【分析】
本题考查了阅读型问题，解二元一次方程组，理解题意，弄清材料中的解题方法是解题的关键．
观察例题中方程组的特点找出规律，利用此规律解方程组即可．
【详解】
解：将得，，即，
将得，，
将，得，即，
将代入，得，即，
所以原方程组的解为．
21．见解析
【分析】本题考查了平行线的判定及性质，找准平行线判定的条件是解题的关键．结合图形根据平行线的判定与性质依次填写理由即可．
【详解】证明：∵（邻补角定义），
又∵（已知），
∴（同角的补角相等），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴．
∵（已知），
∴，（等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
故答案为：邻补角定义；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
22．平角的定义；∠2；；；50；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；130
【分析】本题考查了平行线的判定及性质、角平分线的定义以及邻补角，根据平行线的判定及性质求角的过程，一步步把求解的过程补充完整即可．
【详解】解：（ 平角的定义）
，
平分（已知）
，
（已知）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同旁内角互补）
故答案为：平角的定义；∠2；；；50；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；130
23．
【分析】此题考查了幂的乘方与积的乘方．根据积的乘方，可得同底数的幂，根据同底数的幂相等，可得答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
．
24．；0
【分析】先计算平方差，完全平方公式，多项式除以单项式，然后进行加减运算可得化简结果，最后代值求解即可．
【详解】解：
；
当时，原式．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，平方差，完全平方公式，多项式除以单项式．熟练掌握整式的化简求值，平方差，完全平方公式，多项式除以单项式是解题的关键．
25．(1)
(2)，
(3)平方米
【分析】本题综合考查了完全平方公式的应用，掌握公式的形式是解题关键．
（1）设，则，；根据即可求解；
（2）根据、即可求解；
（3）由题意得、，可得，根据种花的面积即可求解
【详解】（1）解：设，
则，，
∴
∴；
（2）解：由图可知：（米）；
（米）；
故答案为：，
（3）解：由题意得：
由（2）可得：
∵
∴种花的面积(平方米)
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