资源简介

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
（分层作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
题型1　 棱柱、棱锥、棱台的表面积
（2021·山东·高三专题练习）
1．《九章算术·商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尽……”，所谓“堑堵”，就是两底面为直角三角形的棱柱，如图所示的几何体是一个“堑堵”，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝4，AA1＝5，M是A1C1的中点，过点B，C，M的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则该三棱台的表面积为（ ）
A．40 B．50
C．25＋15＋3 D．30＋20
（2023上·江苏常州·高三统考期中）
2．已知四棱台的两底面均为长方形，且上下底面中心的连线与底面垂直，若，棱台的体积为，则该棱台的表面积是（ ）
A．60 B． C． D．
（2021·天津宝坻·校联考模拟预测）
3．已知四棱锥底面为边长为2的正方形，顶点在底面的投影为底面的中心，若该四棱锥的体积为，则它的表面积为（ ）
A．8 B．12 C． D．20
（2022·山东泰安·统考模拟预测）
4．在底面是正方形的四棱锥中，底面ABCD，且，则四棱锥内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
（2021上·北京·高二北京交通大学附属中学校考期中）
5．棱长为a的正四面体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
（1）多面体的侧面积
①棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长．
②棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼成的，则侧面积为各个三角形面积的和．
③棱台的侧面展开图是由若干个梯形拼接而成的，则侧面积为各个梯形面积的和．
（2）多面体的表面积
①棱柱的表面积S表＝S侧＋2S底．
②棱锥的表面积S表＝S侧＋S底．
③棱台的表面积S表＝S侧＋S上底＋S下底．
题型2　 棱柱、棱锥、棱台的体积
（2019上·重庆·高二校考阶段练习）
6．如图，在多面体中，已知是边长为1的正方形，且，是正三角形，，，则该多面体的体积为（ ）
A． B． C． D．2
（2023上·重庆·高三重庆市万州沙河中学校联考阶段练习）
7．若某圆锥的母线与底面所成的角为，且其母线长为 4 ，则该圆锥的体积为（ ）
A． B．
C． D．
（2021下·安徽·高一校联考阶段练习）
8．某几何体由圆锥挖去一个圆柱而得，且圆柱的上底面与圆锥内接，如图所示，已知该圆锥的底面半径，圆柱的底面半径，且圆锥侧面展开图的圆心角为，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
（2023下·安徽合肥·高二统考期末）
9．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也．甍，屋盖也．”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为3的正方形，上棱平面与平面的距离为，该刍甍的体积为（ ）

A． B． C．9 D．6
（2023上·江苏盐城·高三校联考阶段练习）
10．如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，设圆锥部分的高为0.5米，圆柱部分的高为2米，底面圆的半径为1米，则该组合体体积为（ ）
A．立方米 B．立方米
C．立方米 D．立方米
求几何体体积的常用方法
【能力提升】
一、单选题
（2022·高一单元测试）
11．如图，在长方体中，用截面截下一个棱锥，则棱锥的体积与剩余部分的体积之比为（ ）
A． B．
C． D．
（2023下·湖南长沙·高三校联考阶段练习）
12．为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的高与底面边长的比为，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
（2023上·江西新余·高三统考期末）
13．2022年卡塔尔世界杯称之为史上最豪的一届的世界杯，其足球场建设地美轮美奂，下图是2022年卡塔尔世界杯第六座完建球场阿图玛玛球场，其形状可近似看成底面直径240米，高50米的圆柱体内切出一个底面棱长为120米的正四棱台，其俯视图如图所示，则圆柱除去四棱台后剩余部分的体积约为多少立方米（ ）参考数据：，，棱台体积公式：
A．602400 B．1204800 C．1807200 D．301200
（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）
14．《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，不易之率也.”我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为阳马，这个三棱锥称为鳖臑.现已知某个鳖臑的体积是1，则原长方体的体积是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
（2021·福建三明·三明一中校考模拟预测）
15．已知球O的半径，三棱锥内接于球O，平面，且，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
（2022·高二单元测试）
16．我国古代数学名著《九章算术》中，定义了三个特别重要而基本的多面体，它们是：
（1）“暂堵”：两个底面为直角三角形的直棱柱；
（2）“阳马”：底面为长方形，且有一棱与底面垂直的棱锥；
（3）“鳖臑（biēnào）”：每个面都为直角三角形的四面体．
魏晋时期的大数学家刘徽进一步研究发现：任何一个“暂堵”都可以分割成一个“阳马”和一个“鳖臑”且“阳马”和“鳖臑”的体积比为定值．则此定值为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：1 D．3：1
（2021上·湖南·高三校联考阶段练习）
17．已知球O的半径为2，三棱锥P－ABC四个顶点都在球O上，球心O在平面ABC内，△ABC是正三角形，则三棱锥P－ABC的最大体积为（ ）
A．3 B．2 C． D．3
（2021·江西九江·统考三模）
18．如图所示，在三棱锥中，平面平面，为的中点，为的中点，，，，，则三棱锥体积的最大值为（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
（2022·高一课时练习）
19．在边长为2的菱形中，，，垂足为点E，以DE所在的直线为轴，其余四边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（ ）
A．该几何体为圆台 B．该几何体的高为
C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积
（2022下·安徽芜湖·高一校考期中）
20．如图1，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有a升水.平放在水平的地面上，水面正好过圆锥的顶点P，若将容器倒置如图2，水面也恰过点P.以下命题正确的是（ ）
A．圆锥的高等于圆柱高的
B．圆锥的高等于圆柱高的
C．将容器一条母线贴地，水面也恰过点P
D．将容器任意摆放，当水面静止时都过点P
（2023上·广东佛山·高三校考阶段练习）
21．如图所示，一个封闭的圆台容器（容器壁厚度忽略不计），圆台的上下底面半经分别为3和1，母线长为4，则（ ）
A．圆台容器的的容积为
B．圆台的外接球的半径为
C．容器中可放入一个半径为1.7球体
D．圆台容器内放入一个可以任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值为2
（2022下·重庆·高一校联考阶段练习）
22．如图，四边形为正方形，平面，，，记三棱锥，，的体积分别为，，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
（2021上·浙江·高二期末）
23．若一个圆锥的底面半径和高都是1，则它的母线长等于 ，它的体积等于 ．
（2022下·浙江温州·高二校联考期末）
24．在三棱锥中，垂直底面，，，若三棱锥的内切球半径为，则此三棱锥的侧面积为 .
（2023上·广西玉林·高二统考期中）
25．底面半径为4的圆锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面半径为2，高为3的圆锥，所得圆台的体积为 .
（2020下·湖南·高二校联考阶段练习）
26．在长方体中，，，，若体对角线长为，则长方体的表面积的最大值是 ．
四、解答题
（2023·高一课前预习）
27．如图，在棱长为的正方体中，求三棱锥的体积．
（2021下·吉林松原·高一长岭县第三中学校考阶段练习）
28．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，点是棱的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积.
（2023·全国·高一随堂练习）
29．如图，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为10cm，高为15cm．将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为．

(1)求水的体积；
(2)若水的体积恰为圆锥形水杯体积的一半，求h的值（精确到0.01cm）．
（2022上·上海静安·高二校考期中）
30．如图所示的几何体是圆柱的一部分，它由矩形ABCD的边AB所在的直线为旋转轴旋转得到的，.
(1) 求这个几何体的体积；
(2) 这个几何体的表面积.
（2023下·辽宁·高一校联考阶段练习）
31．如图，棱长为的正方体，点分别在棱上，过点的截面将正方体分割成两部分．

(1)请画出经过点的平面与正方体表面的交线；（无需证明，保留作图痕迹）；
(2)若点分别为中点，求过点的截面将正方体分割的较小部分几何体的体积.
（2023·全国·高一专题练习）
32．如图，已知正三棱锥S﹣ABC的底面边长为2，正三棱锥的高SO＝1．
(1)求正三棱锥S﹣ABC的体积；
(2)求正三棱锥S﹣ABC表面积．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据平面性质做出平面在几何体中的截面，找到三棱台，由面积公式计算表面积.
【详解】如图所示，记A1B1的中点为N，连接MN，则MN∥BC，
所以过点B，C，M的平面为平面BNMC，三棱台为A1MN -ACB，
其中，，，
所以其表面积S＝×4×4＋×2×2＋×(4＋2)×5＋×(4＋2)×5＋×(4＋2)×＝25＋15＋3.
故选：C
2．D
【分析】
根据棱台的性质以及体积公式、表面积公式求解.
【详解】
设棱台的上底面的面积为，下底面的面积为,
因为棱台的上下底面相似且，所以，
，，
设棱台的高为，
则，，

因为上下底面中心的连线与底面垂直，所以，
且四棱台的四条侧棱长相等，
因为，
侧棱，
则等腰梯形的高为，
，
等腰梯形的高为，
所以，
所以该四棱台的表面积为，
故选：D．
3．B
【分析】根据体积可求出四棱锥的高，再由此求出棱长，即可求出表面积.
【详解】如图，设底面中心为，
则，可得，
因为底面为正方形，则，，
则的边边上的高为，
则该四棱锥的表面积为.
故选：B.
4．B
【分析】由题意，设四棱锥内切球的半径为r，表面积为S，由即可求解.
【详解】解：由题意，设四棱锥内切球的半径为r，
因为，四棱锥的表面积，
所以，
所以四棱锥内切球的表面积为.
故选：B.
5．D
【分析】根据正四面体表面积公式计算出正确选项.
【详解】依题意棱长为的正四面体的表面积是.
故选：D
6．B
【分析】该几何体是一个直三棱柱截去两个四棱锥，先计算出三棱柱的底面积和高，得到其体积，再计算出四棱锥的体积，相减即为该多面体的体积．
【详解】将多面体补齐为一个直三棱柱，
则该直三棱柱的底面三角形的底为
因为为正三角形，且边长为，
所以其高为，
故可得底面三角形的高为，
所以直三棱柱的体积为.
割去的一个四棱锥的体积为：，
所以，所求的几何体的体积为：，
故选B.
【点睛】本题考查空间想象能力，割补法求几何体的体积，求棱柱和棱锥的体积，属于简单题.
7．A
【分析】
由题意可知圆锥的高与底面半径相等，再由母线长可求出高和底面半径，从而可求出圆锥的体积.
【详解】
因为该圆锥的母线与底面所成的角为, 且其母线长为 4，
所以该圆锥的高与底面半径相等, 且都等于,
所以该圆锥的体积,
故选：A
8．C
【分析】设圆锥的母线长为,进而根据得，圆锥的高,设圆柱的高为，进而由，解得，进而求解体积即可.
【详解】设圆锥的母线长为,因为圆锥侧面展开图的圆心角为，所以，
所以，圆锥的高，
设圆柱的高为，则，解得，
所以该几何体的体积为．
故选:C
9．D
【分析】
利用割补法将问题转化为棱柱与棱锥体积之和即可.
【详解】
如图，设E、F在底面的投影分别为，过分别作交正方形对应边于I、J、K、L，易知该刍甍被分割为四棱锥E-ADJI和F-BCLK，及三棱柱EIJ-FKL，设，则，故则该刍瞢的体积为：
．

故选：D．
10．D
【分析】
根据圆柱和圆锥的体积公式可得.
【详解】圆柱体积为，圆锥体积为，
所以，该组合体的体积为.
故选：D
11．A
【解析】设，，，计算三棱锥，进而得答案.
【详解】解：法一：
设，，，
则长方体的体积，
又，且三棱锥的高为，
∴，
则剩余部分的几何体体积，
则，
故选：A.
法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱，
设它的底面面积为，高为，则它的体积为，
而棱锥的底面面积为，高为，
∴棱锥的体积，
剩余部分的体积是，
∴棱锥的体积与剩余部分的体积之比为.
故选：A.
12．B
【分析】
设出相关棱长，利用面积公式求出正六棱锥与正六棱柱的侧面积，然后可得答案.
【详解】设正六边形的边长为，由题意正六棱柱的高为，
因为正六棱锥的高与底面边长的比为，所以正六棱锥的高为，正六棱锥的母线长为，
正六棱锥的侧面积；
正六棱柱的侧面积，
所以.
故选：B.
13．B
【分析】
依题意得到正四棱台的上、下底面边长，再根据圆柱、棱台的体积公式计算可得.
【详解】解：依题意可得圆柱的底面半径米，高米，
正四棱台下底面为边长为米的正方形，上底面为边长为米的正方形，高米，
所以圆柱的体积立方米，
正四棱台的体积
立方米，
所以剩余部分的体积立方米.
故选：B
14．B
【分析】根据柱体和锥体体积公式求得正确答案.
【详解】如图所示，原长方体，
设矩形的面积为，，
鳖臑的体积为，
即，所以，
即原长方体的体积是.
故选：B
15．A
【分析】首先计算外接圆的半径，再结合正弦定理和三角形内的边角关系，解决的面积，最后求三棱锥的体积.
【详解】设的外接圆圆心为，半径为，连接，，，，则，
即，解得．
所以，所以,
所以，
所以.
故选：A
【点睛】方法点睛：本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为，那么外接球的直径，（2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立的方程.
16．C
【分析】作出一个“嵌堵”（底面为直角三角形的直棱柱），并在“嵌堵”中截取“鳖臑”和“阳马”，算出体积得到答案.
【详解】如图，直三棱柱，，这是一个“嵌堵”.
若以作为“鳖臑”的底面，则可取点或，现在以选择点为例.
连接，三棱锥为“鳖臑”，四棱锥为“阳马”.
设，易得：“鳖臑”的体积，“阳马”的体积，“阳马”和“鳖臑”的体积比为2:1.
故选：C.
17．B
【分析】先求出，再求三棱锥体积的最大值.
【详解】由于球的半径为，是正三角形，所以，∴，
所以当平面时，三棱锥的体积最大.
∴三棱锥的最大体积为．
故选：B
18．C
【分析】设，过点在平面内作，垂足为点，过点在平面内作，连接，用表示、，利用锥体的体积公式结合二次函数的基本性质可求得三棱锥体积的最大值.
【详解】设，，，则，
过点在平面内作，垂足为点，
，为的中点，则，所以，，
，
过点在平面内作，连接，
因为平面平面，平面平面，，平面，平面，
平面，，
，，平面，
平面，，，
，所以，，
因此，
，
当且仅当时，等号成立，
因此，三棱锥体积的最大值为.
故选：C.
【点睛】方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：
（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；
（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
19．BCD
【分析】根据题意得到该几何体是半个圆锥和半个圆台组合而成求解.
【详解】解：由题意可知，该几何体的结构为半个圆锥和半个圆台，
该几何体的高为，
该几何体的表面积为，
体积为.
故选：BCD
20．BC
【分析】
根据圆柱和圆锥的体积公式和性质逐一判断即可.
【详解】
设圆柱的高为h，其内部圆锥的高为h1，圆柱的底面积为S，因为无论如何摆放，水的体积保持不变，所以，化简得h，故B正确；水的体积为Sh，小圆锥的体积为，所以当容器一条母线贴地时，水的体积正好占内部空间的一半，故水面过点P，圆柱内部关于点P不对称，故当斜放时，水面不过点P，
故选：BC.
21．ACD
【分析】对A，根据轴截面分析和台体体积公式求解；对B，圆台外接球的球心在圆台的轴上，作轴截面，则轴截面等腰梯形的外接圆的半径即为外接球的半径，由正弦定理求解；对C，根据题意可求出圆台内能放置的最大球的半径；对D，由C知圆台内能放下的最大球的直径，再根据该球为此正方体外接球求解即可.
【详解】圆台截面为等腰梯形 如图，可得圆台的高为，
由台体体积公式可得，
故A选项正确.
圆台外接球的球心在圆台的轴上，作轴截面，
则轴截面等腰梯形的外接圆的半径即为外接球的半径，
等价于的外接圆的半径.
由上图可得，
由正弦定理得.
B选项错误.
考虑该圆台是否有内切球.
圆台的轴截面为等腰梯形，如图，与两底面相切（如图所示）时，
球心在两底面圆心连线们中点，半径为；
接下来验证点到距离，
由题意，
则，即为直角三角形，
所以，解得，
故圆台存在内切球，且半径为，故C选项正确.
正方体可以任意转动，则最大正方体应是圆台容器内最大球的内接正方体，
由（3）可知，最大正方体对角线为，
所以，最大边长的值为2，故D选项正确.
故选：ACD
22．CD
【分析】利用直接法与等体积法直接计算各三棱锥的体积，进而得解.
【详解】设 ，则，，
如图所示，
连接交于点，连接、，
则 ，， ，
故，
,
所以，，
故选：CD.
23． ； .
【分析】直接求解即可.
【详解】由轴截面可得圆锥的母线长为，体积为.
故答案为：①；②.
24．
【分析】设三棱锥内切球圆心为，以为顶点将三棱锥分为四个小三棱锥，通过三棱锥体积不变即可求出三棱锥的表面积进而可求得三棱锥的侧面积.
【详解】设三棱锥内切球圆心为，以为顶点将三棱锥分为四个小三棱锥，则三棱锥的体积，
垂直底面，
三棱锥的体积，则通过三棱锥体积不变可知，
.
故答案为：.
25．
【分析】
根据相似可得高，进而利用圆锥的体积公式即可求解.
【详解】设原圆锥的高为，则，则，.
故答案为：
26．
【解析】由已知，，表面积，利用基本不等式，计算即可得到答案.
【详解】由已知得，，所以，所以长方体表面积
因为，，
所以，∴，当且仅当等号成立，
故表面积.
故答案为：.
【点睛】本题考查长方体表面积的计算，涉及到基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.
27．.
【分析】
根据正方体的结构特征，利用锥体体积公式求出体积作答.
【详解】在棱长为的正方体中，是三棱锥底面上的高，
所以三棱锥的体积.
28．(1)证明见解析；(2).
【分析】(1)连结交于点，连结，由中位线定理得，再根据线面平行的判定定理证明即可；
(2)由是中点可得，再求出三棱锥的体积，即可求三棱锥的体积．
【详解】(1)如图，连接交于点，连接，则是中点，又是中点，
所以，又平面，平面，
所以平面；
(2)由已知，又底面，，
所以，
又是中点，所以，
所以．
29．(1)
(2)
【分析】
（1）根据相似得到，代入体积公式计算即可.
（2）根据体积的关系结合体积公式解方程得到答案.
【详解】（1）设水形成的圆锥底面半径为，，则，
；
（2），
则，
所以cm.
30．(1)；
(2).
【分析】
（1）求出矩形旋转一周所得圆柱的体积，根据几何体与圆柱体积比求其体积即可；
（2）分别求出几何体外侧曲面、上下底面、两个矩形的面积，进而加总即可得结果.
【详解】（1）由题设，若将矩形旋转一周所得圆柱的体积为，
其中为底面积，且，故，
因为几何体是矩形旋转得到，故几何体体积为.
（2）由题设，则几何体外侧曲面的面积为，
上下底面的面积和为，矩形的面积和为，
综上，几何体的表面积为.
31．(1)答案见解析
(2).
【分析】
（1）作直线EF分别交DA、DC的延长线于M，N，连接交于G，连接交于点H，从而可得答案；
（2）求出，，可得正方体位于截面下方的几何体体积，进而可得答案.
【详解】（1）作直线EF分别交DA、DC的延长线于M，N，
连接交于G，连接交于点H，
连接GE、HF，如图五边形即为所求.

（2）
，则，则，且，
.为的中点，则，
，AM=BF=1，同理CN=1
，，，
所以，在直角中，DM=DN=3，
，，
，
所以正方体位于截面下方的几何体体积为
因此，较小部分几何体的体积为.
32．(1)
(2)
【分析】（1）由题意分别确定三棱锥的底面积和三棱锥的高即可确定其体积；
（2）连接CO延长交AB于E，连接SE，则E为AB的中点，分别求得底面积和侧面积，然后计算其表面积即可．
【详解】（1）在正三棱锥S﹣ABC中，,
所以.
（2）连接CO延长交AB于E，连接SE，则E为AB的中点，如图所示，
所以，
在直角三角形SOE中，，
在△ABS中，SA＝SB，所以SE⊥AB，
所以，
则表面积为：．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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