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2024中考数学模拟押题卷（四月）
一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图是两条平行线，则表示这两条平行线间距离的线段有（ ）
A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条
2. 对于下面两个等式①，②，下列说法正确的是（ ）
A. ①表示加法交换律 B. ②表示乘法结合律 C. ①表示加法结合律 D. ②表示乘法交换律
3. 在物联网时代的所有芯片中，芯片正在成为需求的焦点．已知即纳米，是长度的度量单位，．将用科学记数法表示为，则的值是 （ ）
A. B. C. D.
4. 如图，有A，B，C三地，B地在A地北偏西方向上，，则B地在C地的（　　）
A. 北偏西方向 B. 北偏东方向
C. 南偏西方向 D. 南偏西方向
5. 能与相乘得1的数是（　　）
A. B. C. D.
6. 图①是由五个完全相同的小正方体组成的立体图形，将图①中的一个小正方体改变位置后得到图②，则图①与图②的三视图不相同的是（ ）
A. 主视图 B. 俯视图
C. 左视图 D. 主视图、俯视图和左视图都不同
7. 在复习不等式的性质时，张老师给出以下两个说法：
①不等式一定不成立，因为不等式两边同时除以，会出现的错误结论；
②如果，那么一定会得到；
下列判断正确的是 （ ）
A. ①√，②× B. ①×，②× C. ①√，②√ D. ①×，②√
8. 下列说法正确的是（ ）
A. 调查全市各大超市蔬菜农药残留量最适宜采用普查的方式
B. “打开电视机，正在播放新闻”是必然事件
C. 天气预报“明天降水概率”是指明天有一半的时间会下雨
D. 甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，则甲的成绩较稳定
9. 如图，，，求的度数，下面为解答过程：
解：∵，
∴①，（依据②）
∴③，∴④
则下列说法正确的是（ ）
A. ① B. ②是同旁内角是互补，两直线平行
C. ③是 D. ④是
10. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，两点，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 点A的坐标为
C. 当时，y随x增大而减小 D. 图象的对称轴为直线
11. 如图所示四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个电阻在不同电路中通过该电阻的电流与该电阻阻值的情况，其中描述甲、丙两个电阻的情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个电阻两端的电压最小的是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
12. 如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB顶点B的坐标为(2，0)，点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为( )
A. (4，2) B. (3，3) C. (4，3) D. (3，2)
13. 如图，将四边形剪掉一个角得到五边形．下列判断正确的是（ ）
结论①：变成五边形后外角和不发生变化；
结论②：变成五边形后内角和增加了；
结论③：通过图中条件可以得到；
A. 只有①对 B. ①和③对 C. ①、②、③都对 D. ①、②、③都不对
14. 对于题目：“先化简再求值：，其中是方程的根．”甲化简的结果是，求值结果是；乙化简的结果是，求值结果是．下列判断正确的是（ ）
A. 甲的两个结果都正确
B. 乙的两个结果都正确
C. 甲的化简结果错误，求值结果正确
D. 甲化简结果和乙的求值结果合在一起才是正确答案
15. 如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（　　）
A. B. C. 2 D. 2
16. 题目：“如图，与相交于点C，且，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．连接，当线段经过点C时，求t的值．”对于其答案，甲答：，乙答：8s，则正确的是（　　）
A. 只有甲答的对
B. 只有乙答的对
C. 甲、乙答案合在一起才完整
D. 甲、乙答案合在一起也不完整
二、填空题（本大题有3个小题，共有4个空，每空3分，共12分）
17. 若与互为相反数，则_____________________．
18. 如图1，，将矩形纸片沿虚线第一次折叠得到图2，再沿图2中的虚线进行第二次折叠得到图3(点在上)，则的度数为_______________．
19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点M（–5，2），N（–1，2），已知点M在反比例函数的图象上，以点O为位似中心，在MN的上方将线段MN放大为原来的n倍得到线段．
（1）k的值为________；
（2）若在线段上总有在反比例函数图象上的点，则n的最大值为________；
三、解答题（本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m，
（1）求m的值.
（2）求丨m﹣3丨+m+2的值.
21. 发现　任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证　（1）(–1)2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸　任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
22. 如图，为的两条半径，直线l与相切于点B．
（1）请用无刻度的直尺和圆规过点O作线段的垂线（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，若（1）中所作垂线分别与，直线l交于点C和点D．
①求证：；
②若的半径为4，，求的长．
23. 一个不透明的口袋中放有6个涂有红、黑、白三种颜色的小球（除颜色外都相同），其中红球个数比黑球个数多2个从口袋中随机取出一个球是白球的概率为．
（1）求红球的个数；
（2）如下表，不同颜色小球分别标上数字“1”，“2”，“3”，则6个球上面的数字的众数是 ，中位数是 ；取走一个红球后，剩下球上数字的中位数是 ；
球种类 红球 黑球 白球
标注数字 1 2 3
（3）从口袋中随机取出一个球后不放回，之后又随机取出一个球，用列表法或画树状图的方法，求两次都取出红球的概率．
24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．
（1）求m，n的值；
（2）设一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，求点B，点C的坐标；
（3）写出使函数的值小于函数的值的自变量x的取值范围；
（4）在x轴上是否存在点P使为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25. 某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面米．
（1）以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内抛物线的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围；
（3）为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
26. 综合与实践课上，老师让同学们以“线段的旋转”为主题开展数学活动．
问题情境：在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得．
（1）操作判断
当时，如图1，连接，试判断四边形的形状，并证明；
（2）深入探究
连接，取的中点，连接．善于思考的小东发现当点在边上运动时，的值始终不变，请你利用图2求的值．
（3）解决问题
若，，如图3，在（2）的探究中，当时，直接写出两点之间的距离．
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2024中考数学模拟押题卷（四月）
一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图是两条平行线，则表示这两条平行线间距离的线段有（ ）
A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线间的距离定义，即可得出答案．
【详解】解：∵平行线是向两边无限延伸的直线，
∵两条平行线中,一条直线上的点到另一条直线的垂线段的长度叫两条平行线间的距离，
∴表示这两条平行线间距离的线段有无数条．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线间距离的定义，正确理解该定义是解题的关键．
2. 对于下面两个等式①，②，下列说法正确的是（ ）
A. ①表示加法交换律 B. ②表示乘法结合律 C. ①表示加法结合律 D. ②表示乘法交换律
【答案】C
【解析】
【分析】根据加法结合律、交换律，乘法交换律、结合律分析判断即可求解．
【详解】解：①表示加法结合律，
②表示乘法交换律与乘法结合律，
故选：C．
【点睛】本题考查了加法结合律、交换律，乘法交换律、结合律，熟练掌握有理数的运算律是解题的关键．
3. 在物联网时代的所有芯片中，芯片正在成为需求的焦点．已知即纳米，是长度的度量单位，．将用科学记数法表示为，则的值是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：，
∴，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，确定与的值是解题的关键．
4. 如图，有A，B，C三地，B地在A地北偏西方向上，，则B地在C地的（　　）
A. 北偏西方向 B. 北偏东方向
C. 南偏西方向 D. 南偏西方向
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查方向角的概念、平行线的性质及角度的计算．过点作，根据方向角的概念及平行线的性质求出的度数即可得答案．
【详解】解：如图，过点作，
根据题意得：，
，
，
，
，
，
地在地的北偏东方向上，
故选：B．
5. 能与相乘得1的数是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，求出每个选项中的运算结果，然后进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴能与相乘得1的数是，
A．，正确；
B．，错误；
C．，错误；
D．，错误．
故选：A．
6. 图①是由五个完全相同的小正方体组成的立体图形，将图①中的一个小正方体改变位置后得到图②，则图①与图②的三视图不相同的是（ ）
A. 主视图 B. 俯视图
C. 左视图 D. 主视图、俯视图和左视图都不同
【答案】A
【解析】
【分析】先分别确定①、②的三视图，然后再对比即可解答．
【详解】解：①的主视图是第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形；左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形；俯视图是第一层中间一个小正方形，第二层三个小正方形；
②主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形；左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形；俯视图是第一层中间一个小正方形，第二层三个小正方形；
所以将图①中的一个小正方体改变位置后，俯视图和左视图均没有发生改变，只有主视图发生改变，
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形．从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图．
7. 在复习不等式的性质时，张老师给出以下两个说法：
①不等式一定不成立，因为不等式两边同时除以，会出现的错误结论；
②如果，那么一定会得到；
下列判断正确的是 （ ）
A. ①√，②× B. ①×，②× C. ①√，②√ D. ①×，②√
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质分析即可求解．
【详解】解：①不等式，当时成立，故①错误，
②例如，则，故②错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
8. 下列说法正确的是（ ）
A. 调查全市各大超市蔬菜农药残留量最适宜采用普查的方式
B. “打开电视机，正在播放新闻”是必然事件
C. 天气预报“明天降水概率”是指明天有一半的时间会下雨
D. 甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，则甲的成绩较稳定
【答案】D
【解析】
【分析】根据普查与抽样调查，事件的分类，概率的意义，方差的意义，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 调查全市各大超市蔬菜农药残留量，具有破坏性，其范围广，最适宜采用抽样调查的方式，故该选项不正确，不符合题意；
B. “打开电视机，正在播放新闻”是随机事件，故该选项不正确，不符合题意；
C. 天气预报“明天降水概率”是指明天有一半可能会下雨，故该选项不正确，不符合题意；
D. 甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，则甲的成绩较稳定，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了普查与抽样调查，事件的分类，概率的意义，方差的意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
9. 如图，，，求的度数，下面为解答过程：
解：∵，
∴①，（依据②）
∴③，∴④
则下列说法正确的是（ ）
A. ①是 B. ②是同旁内角是互补，两直线平行
C. ③是 D. ④是
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的性质以及直角三角形的两个锐角互余，进行判断即可求解．
【详解】解：∵，
∴，（两直线平行，同旁内角是互补）
∴，∴
①是，②两直线平行，同旁内角互补，③是，④是，
故选：D．
【点睛】本题考查了两直线平行，同旁内角互补和直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，两点，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 点A的坐标为
C. 当时，y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴为直线
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与性质即可依次判断．
【详解】由图可得开口向上，故a＞0，A错误；
∵解析式为，故对称轴为直线x=-2，D正确
∵
∴A点坐标为（-3，0），故B错误；
由图可知当时，y随x的增大而减小，故C错误；
故选D．
【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点．
11. 如图所示的四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个电阻在不同电路中通过该电阻的电流与该电阻阻值的情况，其中描述甲、丙两个电阻的情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个电阻两端的电压最小的是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数的几何意义，即可求解．
【详解】解：∵甲、丙两个电阻的情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数为,
∴甲、丙两个电阻的电压相等，
如图所示，设乙表示的点为，点在反比例数上，则点与甲的电阻的电压相等，
根据反比例函数的几何意义，矩形的面积大于的面积，即乙的电压小于的电压，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
12. 如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB的顶点B的坐标为(2，0)，点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为( )
A. (4，2) B. (3，3) C. (4，3) D. (3，2)
【答案】A
【解析】
【分析】作AM⊥x轴，根据等边三角形的性质得出OA=OB=2，∠AOB=60°，利用含30°角的直角三角形的性质求出OM=OA=1，即可求出AM的长，进而可得A点坐标，即可得出直线OA的解析式，把x=3代入可得A′点的坐标，由一对对应点A与A′的移动规律即可求出点B′的坐标.
【详解】如图，作AM⊥x轴于点M，
∵等边△OAB的顶点B坐标为（2，0），
∴OA=OB=2，∠AOB=60°，
∴OM=OA=1，AM=OM=，
∴A（1，），
∴直线OA的解析式为：y=x，
∴当x=3时，y=3,
∴A′（3，3），
∴将A点向右平移2个单位，再向上平移2个单位后得到A′点，
∴将B（2，0）向右平移2个单位，再向上平移2个单位后可得到B′点，
∴点B′的坐标为（4，2），
故选A
【点睛】本题考查坐标与图形变化—平移及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到平移规律是解题关键.
13. 如图，将四边形剪掉一个角得到五边形．下列判断正确的是（ ）
结论①：变成五边形后外角和不发生变化；
结论②：变成五边形后内角和增加了；
结论③：通过图中条件可以得到；
A. 只有①对 B. ①和③对 C. ①、②、③都对 D. ①、②、③都不对
【答案】B
【解析】
【分析】根据多边形的外角和是，判断①，根据多边形内角和公式即可判断②，根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：①任意多边形的外角和是，故①正确；
根据多边形内角和定理，
四边形剪掉一个角得到五边形内角和增加了，故②错误，
如图所示，
∵
∴，故③正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14. 对于题目：“先化简再求值：，其中是方程的根．”甲化简的结果是，求值结果是；乙化简的结果是，求值结果是．下列判断正确的是（ ）
A. 甲的两个结果都正确
B. 乙的两个结果都正确
C. 甲化简结果错误，求值结果正确
D. 甲的化简结果和乙的求值结果合在一起才是正确答案
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式的混合运算化简，然后根据一元二次方程方程的根的定义，得出，代入化简结果即可求解．
【详解】解：
，
∵是方程的根．
∴，
∴原式，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键．
15. 如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（　　）
A. B. C. 2 D. 2
【答案】D
【解析】
【详解】【分析】莱洛三角形面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
【详解】过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=1，AD=BD=，
∴△ABC的面积为BC AD==，
S扇形BAC==，
∴莱洛三角形的面积S=3×﹣2×=2π﹣2，
故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．
16. 题目：“如图，与相交于点C，且，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．连接，当线段经过点C时，求t的值．”对于其答案，甲答：，乙答：8s，则正确的是（　　）
A. 只有甲答的对
B. 只有乙答的对
C. 甲、乙答案合在一起才完整
D. 甲、乙答案合在一起也不完整
【答案】C
【解析】
【分析】根据动点P以的速度移动,动点Q以的速度移动,运动时间为 ，
则，，，根据全等三角形的性质，分点P在和上，两种情况计算，熟练掌握全等的性质，分类计算是解题的关键．
【详解】解：动点P以的速度移动,动点Q以的速度移动,运动时间为 ，
则，，
∵，，
∴，，，
∴．
当点P在上时，最大时间为即，
此时，，，
∵，
∴
∴，
∴，
解得；
当点P在上时，最大时间为即，
此时，，，
∵，
∴
∴，
∴，
解得；
故选：C．
二、填空题（本大题有3个小题，共有4个空，每空3分，共12分）
17. 若与互为相反数，则_____________________．
【答案】
【解析】
【分析】先因式分解，然后根据相反数的定义得出，整体代入即可求解．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，相反数的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
18. 如图1，，将矩形纸片沿虚线第一次折叠得到图2，再沿图2中的虚线进行第二次折叠得到图3(点在上)，则的度数为_______________．
【答案】##度
【解析】
【分析】根据折叠的性质得到，，根据平行线的性质得到，即可得到结论．
【详解】解：如图：
由折叠的性质得：，，
，
长方形的对边平行，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，长方形的性质，熟记相关性质是解题的关键．
19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点M（–5，2），N（–1，2），已知点M在反比例函数的图象上，以点O为位似中心，在MN的上方将线段MN放大为原来的n倍得到线段．
（1）k的值为________；
（2）若在线段上总有在反比例函数图象上的点，则n的最大值为________；
【答案】 ①. –10 ②.
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）作射线ON，交y=-于点N′，求得点N′（–，2），据此即可求解．
【详解】解：（1）∵点M（–5，2）反比例函数的图象上，
∴k=–5×2=-10，
故答案为：-10；
（2）∵k=-10，
∴反比例函数的解析式为y=-，
如图，作射线ON，交y=-于点N′，
设ON的解析式为y=mx，
把N（–1，2）代入得：2=-m，
解得m=-2，
∴ON的解析式为y=-2x，
解方程-2x=-得x=，
由于点N′在第二象限，
∴点N′（–，2），
∴n==，
又∵n>1，
∴1∴n的最大值为，
故答案：．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，位似图形的性质，利用点的坐标表示相应线段的长度和利用线段的长度表示相应的坐标是解题的关键．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m，
（1）求m的值.
（2）求丨m﹣3丨+m+2的值.
【答案】（1）；
（2）5．
【解析】
【分析】（1）根据题意可知点B表示的数为点A表示的数加上2，据此可求出m的值；
（2）将m的值代入待求式中，根据绝对值的意义去掉绝对值符号，利用实数的加减运算求解．
【小问1详解】
蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，
点B表示的数比点A表示的数大２，
点A表示的数为，点B表示的数为m，
．
【小问2详解】
,
=
=
=5．
【点睛】此题主要考查了实数运算与数轴，熟练掌握绝对值的意义与根据已知求出m的值是解题的关键．
21. 发现　任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证　（1）(–1)2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸　任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
【答案】验证（1）(–1)2+02+12+22+32的结果是5的3倍；（2）见解析；延伸任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2，理由见解析.
【解析】
【分析】(1)直接计算这个算式的值；(2)先用代数式表示出这几个连续整数的平方和，再化简，根据代数式的形式作出结论.
【详解】解：验证（1）∵=1+0+1+4+9=15=5×3，
∴结果是5的3倍.
（2）.
∵n为整数，
∴这个和是5的倍数.
延伸 余数是2，理由：设中间的整数为n，被3除余2.
考点：完全平方公式，整式加减.
22. 如图，为的两条半径，直线l与相切于点B．
（1）请用无刻度的直尺和圆规过点O作线段的垂线（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，若（1）中所作垂线分别与，直线l交于点C和点D．
①求证：；
②若的半径为4，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）利用基本作图，先作直径，然后过O点作的垂线即可；
（2）①先根据切线的性质得到，再利用得到，接着利用等角的余角相等证明，然后利用得到；②先在中利用余弦的定义求出，则利用勾股定理计算出，再由①的结论得到，设，则，，在中利用勾股定理得到，然后解方程求出x，最后计算即可．
【小问1详解】
如图，为所作；
【小问2详解】
①证明：∵直线l与相切于点B，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
而，
∴；
②在中，
∵，
∴，
∴，
∵；
∴，
设，则，
在中，，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了圆周角定理、切线的性质和解直角三角形．
23. 一个不透明的口袋中放有6个涂有红、黑、白三种颜色的小球（除颜色外都相同），其中红球个数比黑球个数多2个从口袋中随机取出一个球是白球的概率为．
（1）求红球的个数；
（2）如下表，不同颜色小球分别标上数字“1”，“2”，“3”，则6个球上面的数字的众数是 ，中位数是 ；取走一个红球后，剩下球上数字的中位数是 ；
球种类 红球 黑球 白球
标注数字 1 2 3
（3）从口袋中随机取出一个球后不放回，之后又随机取出一个球，用列表法或画树状图的方法，求两次都取出红球的概率．
【答案】（1）3；（2）1，，2；（3）
【解析】
【分析】（1）设黑球为个，则红球为个，白球个数为个，由题意得出方程，解方程即可；
（2）由众数和中位数等于即可得出答案；
（3）画出图表，共有30个等可能的结果，两次都取出红球的结果有6个，由概率公式即可求解．
【详解】解：（1）∵（随机取出一个球是白球），
∴白球个数为2．
设黑球有个，则红球有个，
∴，解得：，
，
∴红球有3个；
（2）不同颜色小球分别标上数字“1”、“2”、“3”，红球有3个，
则6个球上面数字的众数是1；
排序为1，1，1，2，3，3，则中位数为；
取走一个红球后，剩下球上数字的中位数是2；
故答案为：1，，2；
（3）
红球1 红球2 红球3 白球1 白球2 黑球
红球1 红1，红2 红1，红3 红1，白1 红1白2 红1，黑
红球2 红2，红1 红2，红3 红2，白1 红2，白2 红2，黑
红球3 红3，红1 红3，红2 红3，白l 红3，白2 红3，黑
白球1 白1，红1 白1，红2 白1，红3 白1，白2 白1，黑
白球2 白2，红1 白2，红2 白2，红3 白2，白1 白2，黑
黑球 黑，红1 黑，红2 黑，红3 黑，白1 黑，白2
根据题意，列表求两次拿到红球的概率如下：
共有30个等可能的结果，两次都取出红球的结果有6个，
∴（两次拿到红球）．
【点睛】本题考查了列表法、概率公式以及众数、中位数，熟悉相关性质是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．
（1）求m，n的值；
（2）设一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，求点B，点C的坐标；
（3）写出使函数的值小于函数的值的自变量x的取值范围；
（4）在x轴上是否存在点P使为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）点B坐标为，点C坐标为
（3）
（4）存在，点P坐标为或或或
【解析】
【分析】（1）待定系数法求出m，n的值即可；
（2）令，分别求出相应的函数值和自变量，即可得出结果；
（3）结合图象法，即可得出结论；
（4）分三边两两相等，三种情况，进行讨论求解即可．
【小问1详解】
正比例函数的图象过点．
，
．
又一次函数的图象过点
，
．
【小问2详解】
解：由（1）可得，一次函数的解析式为，
令，则
，
点B坐标为，
令，则，
点C坐标为；
【小问3详解】
解：由图象可知：在A点右侧，函数的值小于函数的值；
故；
【小问4详解】
存在，点P坐标为或或或．
点，
，
当时，且点P在x轴上，
则点或；
当时，如图，过点A作于E，
则点，
，，
，
点；
当时，
，
，
点，
综上所述：点P坐标为或或或．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
25. 某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面米．
（1）以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内抛物线的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围；
（3）为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
【答案】（1）
（2）
（3）光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米
【解析】
【分析】（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点A坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式；
（2）直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可；
（3）先作辅助线，作出直线的平行线，使它与抛物线相切于点，然后设出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线的解析式，从而得到直线与轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线与直线之间的距离．
【小问1详解】
解：根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，，
设第一象限内的抛物线解析式为，
将点代入物线解析式，
，
解得，
第一象限内的抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：根据题意，令，
即，
解得，，
，抛物线开口向下，
当时，，
的取值范围为；
【小问3详解】
解：作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示，
，
设直线的解析式为，
联立直线与抛物线解析式，
整理得，
直线与抛物线相切，
方程只有一个根，
，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
即，
射灯射出的光线与地面成角，
，
，
，
，
光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，求二次函数解析式，二次函数的性质，直线的平移，直线和抛物线相切等知识，解题的关键是求抛物线解析式．
26. 综合与实践课上，老师让同学们以“线段的旋转”为主题开展数学活动．
问题情境：在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得．
（1）操作判断
当时，如图1，连接，试判断四边形的形状，并证明；
（2）深入探究
连接，取的中点，连接．善于思考的小东发现当点在边上运动时，的值始终不变，请你利用图2求的值．
（3）解决问题
若，，如图3，在（2）的探究中，当时，直接写出两点之间的距离．
【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据已知条件得出，进而证明，，得出四边形是菱形；
（2）延长至点，使，连接，依题意，，证明，得出，即可求解．
（3）延长至点，使，连接，过点作于点，可得是三角形是中位线，证明，则，，进而得出，，可得点在上，根据等边三角形的性质勾股定理求得，，进而分点在的左边和右边，分别求得，根据求得，即可求解．
【小问1详解】
四边形是菱形，
证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
【小问2详解】
解：如图所示，延长至点，使，连接，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即；
【小问3详解】
延长至点，使，连接，过点作于点，
∵是的中点，
∴是三角形是中位线
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
即，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴点在上，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或，
∴或，
∴或．
【点睛】本题考查了菱形的判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质，中位线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，中位线的性质与判定是解题的关键．
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