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5.2神奇的莫比乌斯带（同步练习）
一、填空题
1．图1的纸环是将一张长方形纸条两端粘上得到的，图2的纸环是将一张长方形纸条一端旋转180°，再将两端粘上得到的。图2的纸环叫( )。如果从A点沿着纸环一直涂色（不越过纸环的边缘），图1中涂色的部分占( )%，图2中涂色的部分占( )%。

2．如图所示的纸带，( )是莫比乌斯带，图①中的蚂蚁如果不爬过纸带的边缘，( )（填“能”或“不能”）吃到纸带内的面包屑。
3．沿着纸环的( )处剪就会使一个小纸环变成一个大纸环。
4．沿着纸环的( )处剪就会使纸环变成一大一小两个纸环套在一起。
二、判断题
5．过山车的跑道利用的是莫比乌斯带的原理。( )
6．打印机的色带就是莫比乌斯带。这样就不会只磨损一面，节约了材料。( )
7．下面各物体的造型都应用了莫比乌斯带。( )
8．把有些电动机的皮带做成莫比乌斯带，这样皮带就可以只磨损其中一面。( )
三、选择题
9．如图，取一条长方形纸条，沿平行于长的方向画2条三等分线，将纸条的两端粘上，做成一个莫比乌斯带。沿莫比乌斯带的2条三等分线剪开，纸带会变成（ ）个纸环。
A．1 B．2 C．3 D．4
10．关于莫比乌斯带，以下叙述错误的是（ ）。
A．普通纸能做成莫比乌斯带 B．莫比乌斯带在生活中有很多应用
C．莫比乌斯带只有一个面 D．莫比乌斯带是用物理学家的姓名命名的
11．如图，沿莫比乌斯圈的二分之一线剪下去，剪出来的结果会是（ ）。
A．两个独立的纸环 B．一个两倍长的大纸环（不是莫比乌斯圈）
C．一个长方形纸条 D．一个两倍长的莫比乌斯圈
12．一个纸环的内侧有一点面包屑，外面有一只蚂蚁。如果不让蚂蚁爬过纸环的边缘，蚂蚁则不能吃到面包屑。但如果将纸环做成莫比乌斯带，蚂蚁不需要爬过纸环的边缘就能吃到面包屑。这是因为莫比乌斯带只有（ ）个面。
A．三 B．两 C．一 D．四
四、解答题
13．做一做，想一想。
①取一条尺寸为10厘米×3厘米的长方形纸条，沿平行于长的方向画2条三等分线。
②将纸条的两端粘上，做一个莫比乌斯带。
③沿莫比乌斯带的2条三等分线剪开。纸带会变成什么样？是不是莫比乌斯带？
14．动手制作一个莫比乌斯带。与同学交流一下你是怎样制作的。
15．取一张长60厘米、宽5厘米的长方形纸条，把两条宽相对，然后把其中的一边扭转180°，与相对的另一边连接，用固体胶粘起来。如图所示，一只蚂蚁从某点开始沿着虚线爬行，直到回到出发点为止，它爬行的距离大约是多少厘米？
自己亲自动手做一条莫比乌斯带，在这个带子中间画一条线，用剪刀沿着这条虚线剪开，会得到一个更细更长的带子，这个新带子还是莫比乌斯带吗？你是怎样验证的？
17．图是小朋友玩的爬梯，不翻过爬梯边缘，爬梯两侧都能够到达吗？请你试着在图中画一画再回答。
18．取一张长50cm、宽4cm的长方形纸条，把两条宽相对，然后把其中一边的纸条扭转180°，与相对的另一边连接，用固体胶粘起来（接头处忽略不计）。一只蚂蚁从某点开始沿着所标出的线爬行，直到回到出发点为止，它爬行的距离大约是多少厘米？
1． 莫比乌斯带 50 100
【分析】把一根长方形纸条在某一处扭转一下，再将纸条两端黏起来，就形成了莫比乌斯带。所以，图2是莫比乌斯带。涂色时，图1只有外面一个面能够涂上色，那么涂色部分占50%。莫比乌斯带只有一个面，那么涂色时都能涂上色，涂色部分占100%。
【详解】图2的纸环叫莫比乌斯带。如果从A点沿着纸环一直涂色（不越过纸环的边缘），图1中涂色的部分占50%，图2中涂色的部分占100%。
【分析】本题考查了莫比乌斯带，掌握莫比乌斯带的特点是解题的关键。
2． ② 不能
【分析】根据莫比乌斯带的特点：莫比乌斯带是把纸条儿的一端扭转180°，再将两端粘在一起，做成只有一个面、一条封闭曲线作边界的纸圈。可以判断，图②是莫比乌斯带；根据图①的特点，蚂蚁不爬过纸带的边缘，无法进入纸带的内部，也就无法吃到面包屑。据此解答。
【详解】如图所示的纸带，②是莫比乌斯带，图①中的蚂蚁如果不爬过纸带的边缘，不能吃到纸带内的面包屑。
【分析】此题考查了数学常识，应注意平时数学常识知识的积累。
3．中心线
4．中心线
5．√
【分析】把一根长方形纸条在某一处扭转一下，再将纸条两端黏起来，就形成了莫比乌斯带。据此，再结合过山车跑道的实际形象，解题即可。
【详解】过山车的跑道，有扭转的部分，利用的是莫比乌斯带的原理。
故答案为：√
【分析】本题考查了莫比乌斯带，掌握莫比乌斯带的特点是解题关键。
6．√
【分析】根据莫比乌斯带的特点可知：打印机的色带是一个封闭的带子，它由一个面组成，这样可以使色带的油墨有效输送量增加一倍。据此解答。
【详解】打印机的色带就是莫比乌斯带，这样可以使色带的油墨有效输送量增加一倍，节约了材料。所以原说法正确。
故答案为：√
【分析】本题主要考查旋转思想的应用，关键培养学生的应用能力。
7．√
【分析】莫比乌斯把纸条儿的一端扭转180°，再将两端粘在一起，做成只有一个面、一条封闭曲线作边界的纸圈；这种纸圈就是“莫比乌斯带”；根据“莫比乌斯带”的特点直接进行判断即可。
【详解】由分析可知：
第一幅图纸条儿的一端扭转180°，再将两端粘在一起，做成只有一个面、一条封闭曲线作边界的纸圈，这就是“莫比乌斯带”，第二幅图整只鞋从鞋底、鞋跟、鞋床到鞋帮都由一整条带状皮革环绕而成，产生了有两个普通鞋跟的高度，它们的造型都如同“莫比乌斯带”；题干的说法是正确的。
故答案为：√
【分析】莫比乌斯带，它是德国数学家莫比乌斯在1858年发现的，莫比乌斯带在生活中和生产中都有应用。
8．×
【分析】把一根长方形纸条在某一处扭转一下，再将纸条两端黏起来，就形成了莫比乌斯带，莫比乌斯带只有一个面。据此解题。
【详解】把有些电动机的皮带做成莫比乌斯带，可以两面磨损，延长使用寿命。
故答案为：×
【分析】本题考查了莫比乌斯带，掌握莫比乌斯带的特点是解题的关键。
9．B
【分析】沿莫比乌斯带的2条三等分线剪开，纸带会变成两个纸环，并且相互套在一起，据此选择。
【详解】由分析可知，沿莫比乌斯带的2条三等分线剪开，纸带会变成2个纸环。
故答案为：B
【分析】此题考查了莫比乌斯带的相关认识，也可通过实验来证明。
10．D
【解析】公元1858年，德国数学家莫比乌斯（Mobius，1790～1868）和约翰·李斯丁发现：把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质。普通纸带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。这种纸带被称为“莫比乌斯带”（也就是说，它的曲面从两个减少到只有一个）。
【详解】根据分析可知，D.莫比乌斯带是用物理学家的姓名命名的，叙述错误，应该是用数学家姓名命名，
故答案为：D
【分析】理解并掌握“莫比乌斯带”是解答此题的关键。
11．B
【分析】拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端扭转180°，再把两端连上，就成为一个莫比乌斯带，据此解答。
【详解】沿莫比乌斯圈的二分之一线剪下去，剪出来的结果会是一个两倍长的大纸环（不是莫比乌斯圈）。
故答案为：B
【分析】学生可以制作一个莫比乌斯圈，动手操作一下，得出结果。
12．C
【分析】将长方形长条扭一下，再将两端粘合，得到了莫比乌斯带。视觉上，莫比乌斯带有两个面，但实际上它只有一个面。据此解题。
【详解】一个纸环的内侧有一点面包屑，外面有一只蚂蚁。如果不让蚂蚁爬过纸环的边缘，蚂蚁则不能吃到面包屑。但如果将纸环做成莫比乌斯带，蚂蚁不需要爬过纸环的边缘就能吃到面包屑。这是因为莫比乌斯带只有一个面。
故答案为：C
【分析】本题考查了莫比乌斯带，掌握莫比乌斯带的概念和特点是解题关键。
13．见详解
【分析】根据题中的步骤去操作，最后沿莫比乌斯带的2条三等分线剪开，观察形成的纸带形状，从而解题。
【详解】答：纸带会变成两个纸环，而且相互套在一起。不是莫比乌斯带。
【分析】本题考查了莫比乌斯带。把一个莫比乌斯带沿中线剪开，剪开后变成了一个大环。将莫比乌斯带沿着三等分线剪开，会形成相互套连的两个环。
14．见详解
【分析】可以通过动手进行实际操作莫比乌斯带：拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一个身，即可粘成一个莫比乌斯带。
【详解】动手制作一个莫比乌斯带，我是这样制作的：把其中一端翻一个身后，两端粘在一起。
【分析】本题考查图形的剪拼的问题，同时考查学生的动手和操作能力，有一定难度。
15．120厘米
【分析】看图，蚂蚁爬行的距离是两条长的距离。据此，将长乘2，即可求出蚂蚁爬行的距离。
【详解】60×2＝120（厘米）
答：它爬行的距离大约是120厘米。
【分析】本题考查了莫比乌斯带，掌握莫比乌斯带的特点是解题的关键。
16．见详解
【分析】通过动手进行实际操作，发现：如果沿着莫比乌斯环的中间剪开，将会形成一个比原来的莫比乌斯环空间大一倍的、具有正反两个面的环，而不是形成两个莫比乌斯环或两个其它形式的环。
【详解】用剪刀沿着“莫比乌斯带”的中线剪开，
发现：纸带会变成一个更大的细纸环。
【分析】本题考查图形的剪拼的问题，同时考查学生的动手和操作能力，做此类题目，亲自动手做一做最直观。
17．见详解
【分析】根据莫比乌斯带的特点，在图上画一画，即可得出结论。
【详解】如图：
爬梯是一个反转的莫比乌斯带，所以无需翻越即可到达爬梯的两侧。
【分析】本题主要考查旋转的应用，关键培养学生的观察能力和想象能力。
18．见详解
【分析】根据图示可知，这张直条做成的是一个莫比乌斯带，所以这只蚂蚁爬行的距离大约是长方形纸条的长50厘米。据此解答。
【详解】根据图示可知，这是一个莫比乌斯带，其特点之一是蚂蚁可以不接触边缘而爬完纸条的两面。一面长为50cm，两面则是100cm。
【分析】本题主要考查旋转的应用，关键考查学生的观察能力和想象能力。

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