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初中九上数学月考试题
一、单选题（36分）
1．若关于的一元二次方程的一个根是2，则a的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．在一元二次方程中，若，则称a是该方程的中点值．已知的中点值是3，其中一个根是2，则x的另一个根是（ ）
A． B． C．2 D．4
3．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
4．已知关于x的一元二次方程（m是常数），若一个等腰三角形的一边长为6，另两边长是该方程的两个实数根，则该三角形的周长为（　　）
A．17或19 B．15或17 C．13或15 D．17
5．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
6．m，n是方程的两根，则代数式的值是（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
7．若m，n为方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C．7.5 D．-1.8
8．已知二次函数，则（ ）
A．函数图象的对称轴为直线 B．函数的最大值为2
C．当时，随的增大而增大 D．函数图象与轴的交点坐标为
9．设是抛物线上的三点，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．廊桥是我国古老的文化遗产．如图是某座抛物线形廊桥的示意图，已知水面AB宽48m，拱桥最高处点C到水面的距离为12m，为保护该桥的安全，现要在该抛物线上的点E，F处安装两盏警示灯，若要保证两盏灯的水平距离是24m，则警示灯E距水面的高度为（ ）
A．12m B．11m C．10m D．9m
11．若将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（ ）
A．向左平移个单位，再向上平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位
C．向右平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向下平移个单位
12．二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点，下列结论：①； ②； ③点和在抛物线上，当时，；④不等式的解集是或；⑤一元二次方程的两根分别为，．其中错误的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（30分）
13．已知6是关于x的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是菱形两条对角线的长，则菱形的周长为 ．
14．已知，则= ．
15．某商场第二季度中，4月的营业额为1000万元，6月的营业额为1440万元，如果平均每月增长率为，由题意可列方程 ．
16．若，那么 ．
17．若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第 象限．
18．将抛物线沿轴翻折后对应的函数解析式为 ．
19．已知二次函数，当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为，则的值为 ．
20．如图，抛物线与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③当时，x的取值范围是；④．其中结论正确的是 （填序号）

21．如图，在，，，，点在边上，从点向点移动，点在边上，从点向点移动．若点，均以的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接，则线段的最小值是 ．
22．如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，若在抛物线上存在一点（与点不重合），使，则点的坐标为 ．
三、解答题（54分）
23．已知，是关于的一元二次方程的两实数根．
(1)若，求的值；
(2)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
24．2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某旅游商场以每件50元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件80元的价格出售，每日可售出200件．从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查，发现该吉祥物每降价1元，日销售量就会增加20件．设售价为元，日销售量为y件．
(1)直接写出日销售量为y（件）与每件售价x（元）之间的函数关系式______；
(2)为了让顾客得到更大的实惠，当该吉祥物售价定为多少元时，日销售利润达7500元？
(3)该商场如何定价，才能使日销售利润最大？最大利润是多少元？
25．悬索桥又名吊桥，其缆索几何形状由力的平衡条件决定，一般接近抛物线．如图1是某段悬索桥的图片，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为，如图2，以的中点为原点O，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
(1)求主索抛物线的函数表达式；
(2)距离点P水平距离为和处的吊索共四条需要更换，求四根吊索总长度为多少米？
26．已知二次函数．
(1)求证：对于任意实数m，二次函数的图象与x轴总有交点；
(2)若这个二次函数的图象与x轴交于点A，，求点A的坐标．
27．已知抛物线 (a，b为常数， 经过两点， 与y轴交于点C，其顶点为D．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求四边形的面积；
(3)若P是直线上方该抛物线上一点，且 ，求点P的坐标．
28．已知：二次函数的顶点P在直线上，并且图像经过点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)D是线段上的一个动点，过点D作轴于点E，E点的坐标为，的面积为S，
①求的面积S的最大值；
②在上是否存在点D，使为直角三角形？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，将代入方程可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出答案，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，是解此题的关键．
【详解】解：关于的一元二次方程的一个根是2，
，
解得：，
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解，以及解一元二次方程．先根据方程的中点值的定义得到，然后把代入方程求出n，然后解方程即可．
【详解】根据题意得，
解得，
方程化为，
把代入得，
解得，
∴，
∴，
∴或，
∴．
故选D．
3．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式．先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，，
解得：且．
故选：D．
4．A
【分析】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，以及一元二次方程与几何的综合应用．熟练掌握一元二次方程的判别式与根的个数的关系，一元二次方程的解的定义，是解题的关键．根据方程有两个实数根，得到6是等腰三角形的腰长，是方程的一个根，进行求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，
，
；
不管m去何值，方程都有两个不相等的实数根，
一个等腰三角形的一边长为6，另两边长是该方程的两个实数根，
∴6是腰长，是方程的一个根，
∴，整理，得：，
解得：或，
当时，，
解得，
此时等腰三角形的三边长：，周长；
当时，，
解得，
此时等腰三角形的三边长：，周长．
故选：A．
5．C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，把代入一元二次方程可得，又根据可得，进而求解，掌握一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义是解题的关键．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：．
6．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，先根据一元二次方程解的定义得到，，再由根与系数的关系得到，进而得到，，据此代值计算即可．
【详解】解：∵m，n是方程的两根，
∴，，，
∴，，
∴
，
故选；C．
7．A
【分析】本题考查根与系数关系，一元二次方程的解等知识，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
由，是方程的两个实数根，推出，，，推出，再利用整体代入的思想解决问题．
【详解】解：，是方程的两个实数根，
∴，，，
∴，
∴
．
故选：A．
8．C
【分析】本题考查二次函数的性质，依照二次函数的性质对比四个选项即可得出结论．
【详解】解：由可知，抛物线的对称轴为直线，故A错误；
函数的最大值为，故B错误；
因为，则抛物线开口向下所以当时，随的增大而增大，故C正确；
令，则，所以函数图象与y轴的交点坐标为，故D错误．
故选：C．
9．C
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
根据二次函数的性质得到抛物线抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小，距离越远，函数值越小，距离越短，函数值越大．
【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线，
而点离直线的距离为4，点离直线的距离为2，离直线的距离为3，
，
．
故选：C．
10．D
【分析】本题考查二次函数的实际应用，以的中点为原点，所在直线为横轴，建立直角坐标系，求出抛物线的的解析式，进而求出点的纵坐标即可．
【详解】解：如图，以的中点为原点，所在直线为横轴，建立直角坐标系，
由题意，得：，
设抛物线的解析式为：，把代入，得：，
∴；
∵，
∴点的横坐标为，
∴当时，，
即：警示灯E距水面的高度为9m；
故选D．
11．B
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，先把配成顶点式，然后根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键．
【详解】解：由抛物线
根据“上加下减，左加右减”规律要得到抛物线，
则即由抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，
故答案为：．
12．B
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
由抛物线对称轴为直线可判断①，由抛物线与轴的交点个数可判断②，由抛物线开口方向，对称轴及抛物线与轴交点位置可判断③，由抛物线经过及抛物线的对称性可判断④，由根与系数关系可判断⑤．
【详解】解：由图可知，抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，故②正确；
抛物线和轴交点在负半轴，
，
，
①正确；
当时，两点都在对称石侧．图象部分．随增大而增大，
，
③正确；
不等式，抛物线在轴上方时，取值范围，而抛物线和轴交点为和，
解集是或；
④错误．
的两个根，，
∴，，
，，
的两个根，，
⑤错误．
故选：B．
13．20
【分析】本题主要考查了菱形的性质，解一元二次方程，一元二次方程解的定义，勾股定理，首先利用一元二次方程的解得出m的值，再求得方程的两根，再结合菱形的对角线利用勾股定理求出边长，即可得出答案．
【详解】解：∵6是关于x的方程的一个根，
∴，
解得，
∴原方程为，
解方程得或，
∴菱形两条对角线的长分别为6和8，
∴菱形的边长为，
∴菱形的周长为，
故答案为：20.
14．
【分析】本题考查了分式方程，完全平方公式的运用，以及因式分解法，熟练掌握各知识点并灵活运用是解决本题的关键．
先对进行配凑处理，变形为，再利用整体的思想求出的值，最后尤其需要注意检验．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
因式分解，得
，
∴或，
∴或，
当时，化简得：，
此时，该方程无实数根，故舍去，
而 时，化简得：，
此时，该方程有解，符合题意．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．根据6月的营业额4月的营业额建立方程即可得．
【详解】解：由题意，可列方程为，
故答案为：．
16．或1
【分析】本题考查解一元二次方程，令，求出的值后再检验．
【详解】解：，
，
令
，
或，
或，
解得或，
经检验，或都是原方程的解，
故答案为：或1．
17．四
【分析】本题主要考查二次函数的性质以及一次函数的图像，由二次函数的定义得出即可得到答案．
【详解】解：由于是关于的二次函数，
且，
，
故一次函数的解析式为，
故一次函数过一、二、三象限，
故答案为：四．
18．
【分析】本题考查了翻折变换的性质，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征．由抛物线的顶点坐标是，可得沿轴翻折后的顶点坐标是，即可求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，则沿轴翻折后顶点坐标是，开口向下，
新抛物线解析式是：，
故答案是：．
19．2
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
根据题意可得二次函数的对称轴位于y轴的右侧，抛物线开口向上，从而得到当时，；时，函数值为，据此即可解题．
【详解】解：二次函数，当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为，．
二次函数的对称轴位于y轴的右侧，抛物线开口向上，如图.

∴，则，
当时，函数的最小值为，
当时，，
时，函数的最小值为，
时，函数值为，
即
解得：（因，故另一解不合题意，舍去），
故答案为：2．
20．①②③
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象判断式子符号，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．根据抛物线开口向下，与y轴交于y轴正半轴，得到，再由抛物线对称轴为，得到，即可判断①②；求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，即可根据函数图象判断③；根据当时，，得到，即可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于y轴正半轴，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∴当时，x的取值范围是，故③正确；
∵当时，，
∴，
∴，
，故④错误，
故答案为：①②③．
21．##厘米
【分析】设移动时间为，用含的代数式表示出，，在中，根据勾股定理，列出关于的代数式，应用配方的方法，即可求出线段的最小值，
本题考查了二次函数的最值，勾股定理，解题的关键是：熟练应用配方法，求二次函数的最值．
【详解】解：设移动时间为，则，，，
在中，，
整理得：，
当时，取得最小值，此时，
故答案为：．
22．或．
【分析】先求出二次函数表达式，求出C点坐标，再根据得到的高等于5，故可求解．
此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知待定系数法求出函数表达式．
【详解】∵二次函数的图象与轴交于两点，
∴代入得，
解得，
∴二次函数为，
令，解得，
∴C点坐标为，
∴，，
设P点的纵坐标为p，故的高为，
∵，
∴，
∴，
令，即，
此时方程无解，
令，即，
解得，，
∴则点的坐标为或．
23．(1)m的值为6
(2)这个三角形的周长为17
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式和等腰三角形的性质．
（1）根据判别式的意义可得，再根据根与系数的关系得，，接着利用得到，解得，，于是可得的值为6；
（2）分类讨论：若时，把代入方程，解得，，当时，由根与系数的关系，解得，根据三角形三边的关系，舍去；当时，，解得，则三角形周长为；若，则，方程化为，解得，根据三角形三边的关系，舍去．
【详解】（1）解：根据题意得判别式，解得，
，，
，即，
，
整理得，解得，，
而，
的值为6；
（2）解：当腰长为7时，则是一元二次方程的一个解，
把代入方程得，
整理得，解得，，
当时，，解得，而，故舍去；
当时，，解得，则三角形周长为；
当7为等腰三角形的底边时，则，所以，方程化为，解得，则，故舍去，
所以这个三角形的周长为17．
24．(1)
(2)为了让顾客得到更大实惠，该吉祥物售价为65元时，日销售利润达7500元
(3)每件售价为70元时，可使日销售利润最大，最大利润为8000元
【分析】本题考查一次函数在销售问题的应用，一元二次方程在销售问题中应用，二次函数在销售问题中的应用，找出等量关系式是解题的关键．
（1）销售量降价前每日销售量降价所增加的销售量，据此即可求解；
（2）每件所获利润日销售量元，据此即可求解；
（3）设日销售利润为W元，日销售利润每件所获利润日销售量，据此即可求解．
【详解】（1）解：
，
故答案为：；
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得：，
∵为了让顾客得到更大的实惠，
∴舍去，
∴，
答：该吉祥物售价为65元时，日销售利润达7500元．
（3）解：设日销售利润为W元，由题意得：
，
∵，
∴当时，（元）；
答：每件售价为70元时，可使日销售利润最多．
25．(1)主索抛物线的函数表达式为
(2)四根吊索的总长度为
【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
（1）设抛物线的表达式为，根据待定系数法求解即可；
（2）将和代入解析式求得吊索长度，再将四条吊索长度相加，即可解题．
【详解】（1）由图可知，点C的坐标为．
设该抛物线的函数表达式为．
又点P坐标为，
，
，
∴主索抛物线的函数表达式为；
（2）由题意，当时，，
此时吊索的长度为．
由抛物线的对称性得，当时，此时吊索的长度也为．
当时，，此时吊索的长度为．
由抛物线的对称性得，当时，此时吊索的长度也为．
，
∴四根吊索的总长度为
26．(1)见解析
(2)点A的坐标为或
【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点坐标，把二次函数与x轴的交点的问题，转化为求的问题进行解答即可．
（1）依题意可计算出，得出，即可得出二次函数图象与x轴总有公共点；
（2）令求出两交点为，从而分类讨论得解．
【详解】（1）证明：，
，
对于任意实数，二次函数的图象与轴总有公共点；
（2）解：令，则，
解得：，
即这个二次函数的图象与x轴交于点，
当即为点时，，；
当即为点时，，；
∴点A的坐标为或
27．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）求出，根据即可求出答案；
（3）设，求出由得到，则． 得到．求出的解析式为联立得到解得 (舍去) 或 即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解∶ ∵ 点在抛物线上，
，
解得 ，
∴ 该抛物线的解析式为；
（2）由得顶点 ，
如图， 过点D作轴， 垂足为E．
当时，， 可得点C的坐标为．
∴，

；
（3）如图， 过点C作， 交于点F， 过点 F作轴， 垂足为G，
设，
∵，
∴．
∴，
由 ，
，
又，
∴．
∴．
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴ 直线，
即 ，
解得 (舍去) 或 ，
∴，
∴点P的坐标为．
【点睛】此题考查了二次函数综合题，考查了待定系数法、解直角三角形、一次函数的图象和性质等知识，数形结合是解题的关键．
28．(1)
(2)①；②或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理等等，
（1）设抛物线顶点坐标为，则抛物线解析式为，然后代入点A坐标进行求解即可；
（2）①由（1）得点P坐标为，先求出点B坐标，进而求出直线解析式，从而得到点D的坐标，则，则，由此利用二次函数的性质求解即可；②先求出点C的坐标，再利用勾股定理求出，再分，两种情况利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：设抛物线顶点坐标为，则抛物线解析式为，
把代入中得：，解得，
∴抛物线解析式为；
（2）①解：由（1）得点P坐标为
在中，当时，解得或，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
∵，E点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
②在中，当时，，
∴；
∵，E点的坐标为，
∴，
∴，，，
当时，则，
∴，
解得或（舍去），
∴点D的坐标为；
当时，则，
∴，
解得或（舍去），
∴点D的坐标为；
综上所述，点D的坐标为或．

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