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浦东新区2023学年度第二学期初三年级模拟考试
数学试卷
考生注意：
1．本试卷共25题，试卷满分150分，考试时间100分钟．
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．下列实数中，无理数是
（A）0； （B）； （C）； （D）．
2．下列计算中，结果等于的是
（A）； （B）； （C）； （D）．
3．直线经过的象限是
（A）第一、二、三象限； （B）第一、二、四象限；
（C）第一、三、四象限； （D）第二、三、四象限．
4．如图，，，，那么等于
（A）； （B）； （C）； （D）．
5．下列命题中，真命题是
（A）对角线相等的四边形是平行四边形； （B）对角线相等的平行四边形是矩形；
（C）对角线互相垂直的四边形是菱形； （D）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．
6．如图，在中，，，．点D在边上，且，交边于点E，那么以E为圆心，为半径的和以D为圆心，为半径的的位置关系是
（A）外离； （B）外切； （C）相交； （D）内含．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7．分解因式：________．
8．化简：________．
9．方程的解是________．
10．如果关于x的方程没有实数根，那么实数m的取值范围是________．
11．在去掉大小王的52张扑克牌中任意抽取一张牌，抽到梅花的概率是________．
12．沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是________．
13．正五边形的中心角是________度．
14．如果梯形的下底长为7，中位线长为5，那么其上底长为________．
15．如图，小丽在大楼窗口A处测得校园内旗杆底部C的俯角为度，窗口离地面高度（米），那么旗杆底部与大楼的距离________米（用和h的式子表示）．
16．如图，已知中，中线、相交于点G，设，，那么向量用向量、表示为________．
17．如图，点A、C在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，且轴，轴，那么的面积等于________．
18．定义：四边形中，点E在边上，联结、，如果的面积是四边形面积的一半，且的面积是及面积的比例中项，我们称点E是四边形的边上的一个面积黄金分割点．
已知：如图，四边形是梯形，且，，如果点E是它的边上的一个面积黄金分割点，那么的值是________．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
计算：．
20．（本题满分10分）
解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
21．（本题满分10分，其中每小题各5分）
如图，在中，是边上的高．已知，，．
（1）求的长；
（2）如果点E是边的中点，联结，求的值．
22．（本题满分10分）
某校六年级200名学生参加了环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，满分100分．随机抽取了部分学生的竞赛成绩作为一个样本，数据整理后分成6个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图，如图1所示（每个小组可包括最小值，不包括最大值），同时画出竞赛成绩等第的扇形统计图，如图2所示（设竞赛成绩为a分，为不合格、为合格，为良好，为优秀）．根据图中的信息回答下列问题：
（1）估计六年级参赛学生中成绩为良好的学生有________人；请把图1补画完整、补齐图2中缺失的数据；
（2）小明对统计图进行了研究，得出了如下结论：
①中位数一定落在80分—90分这一组内；
②众数一定落在80分—90分这一组内；
③仍有不合格的学生，该校环保知识宣传需进一步加强；
④从这两个统计图中能准确求出样本的平均数．
上述结论中错误的是________（填序号）．
（3）估计本次六年级参赛学生中荣获优秀的共有m人．学校“环保社团”决定：这m名学生都光荣的成为学校的小小环保“宣传员”，从中选派x人帮助本年级参赛得分60分以下的学生普及环保知识．经计算，x与的积恰好等于样本容量的15倍．你认为x的值取多少比较合理，为什么？
23．（本题满分12分，其中每小题各6分）
已知：如图，在菱形中，点E是边上的任意一点（不与点D、C重合），交对角线于F，过点E作交于点G．
（1）求证：；
（2）当时，求证：．
24．（本题满分12分，其中每小题各4分）
在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，抛物线经过点A、B两点，顶点为点C．
（1）求b、c的值；
（2）如果点D在抛物线的对称轴上，射线平分，求点D的坐标；
（3）将抛物线平移，使得新抛物线的顶点E在射线上，抛物线与y轴交于点F，如果是等腰三角形，求抛物线的表达式．
25．（本题满分14分，其中第（1）小题5分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）
已知：和相交于A、B两点，线段的延长线交于点C，、的延长线分别交于点D、E．
（1）联结、，、分别与连心线相交于点H、点G，如图1，求证：；
（2）如果．
①如图2，当点G与O重合，的半径为4时，求的半径；
②联结、，与连心线相交于点F，如图3，当，且的半径为2时，求的长．

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