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第2章 点、直线、平面的投影
第2章 点、直线、平面的投影
知识要点
投影基本理论；点、直线、平面投影的投影规律。
能力要求
了解形体投影的形成、投影法分类；掌握点的投影规律及作图方法；掌握点的三面投影特性；了解重影点的特性。掌握各种位置直线的投影特性；掌握一般位置直线求真长及倾角的方法。了解各种位置平面的投影特性，掌握特殊位置平面的投影特点及作图；理解点和直线在平面上的几何条件，掌握投影图的作图方法。
新课导入
在生产实际工作中，设计部门、建设（制造）部门，普遍使用图形来表达物体的形状。这些图形是用投影的方法得到的。所以投影知识是最基础的知识，要想学好工程图，首先要学好投影知识。本章介绍投影的一些基本知识及点、直线、平面的投影规律和作图方法。
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2.1 投影的基本知识
2.2 点的投影
2.3 直线的投影
2.4 平面的投影
本 章 小 结
复习思考题
2.1 投影的基本知识
学习目标
投影的基本概念；投影法的分类（中心投影法、平行投影法）；正投影的基本特征（显实性、积聚性、类似性）；三面投影图的产生及投影规律。
知识链接
初高中的几何知识
2.1.1 投影的基本概念和分类
2.1.1.1 投影的基本概念
在日常生活中，人们对“形影不离”的现象已习以为常，知道其形成要有光线、物体及投影面。经阳光或灯光照射的物体，会在地面或墙面上产生影子，这就是投影现象。如图2-1所示为经阳光照射的物体，在地面上产生影子的图片。
a）树木产生影子 b）木围栏产生影子 c）钓鱼人产生影子
图2-1 阳光照射物体产生影子的图片
如果把这种现象抽象总结，将发光点称为光源，光线称为投射线，地面或墙面称为投影面，形体在投影面上的影像称为形体在投影面上的投影。这种用光线照射形体，在投影面上投影产生影像的方法，称为投影法。
如图2-2所示，三角形ABC在点光源S照射下，在平面P上投射的影像为三角形abc，该影像称为投影；光源S称为投射中心；光线SAa、SBb、SCc称为投射线；投影所在的平面P称为投影面。
2.1.1 投影的基本概念和分类
图2-2 中心投影法
2.1.1.2 投影法的分类
投影法分为中心投影法和平行投影法两大类。
（1）中心投影法。如图2-2所示。投射中心S（光源）在有限的距离内发出放射状投射线SA、SB、SC，延长这些投射线与投影面P相交，做出的投影点a、b、c即为三角形各顶点A、B、C在P平面上的投影。由于投射线均从投射中心出发，所以这种投影法称为中心投影法。
（2）平行投影法。如图2-3（a）、图2-3（b）所示。当投射中心S（光源）在无限远处时，所有投射线互相平行，用平行投射线做出投影的方法称为平行投影法。在平行投影法中，S表示投射方向。根据投射方向S与投影面P倾角的不同，平行投影法又可分为斜投影法和正投影法两种。
① 斜投影法：当投射线采用平行光线，而且投射线倾斜于投影面时所做出的平行投影，称为斜投影，如图2-3（a）所示，做出斜投影的方法称为斜投影法。
② 正投影法：当投射线采用平行光线，而且投射线垂直于投影面时所做出的平行投影，称为正投影，如图2-3（b）所示，做出正投影的方法称为正投影法。根据正投影法所得到的图形称为正投影图。正投影图直观性不强，但能准确反映形体的真实形状和大小，图形度量性好，便于尺寸标注，而且投影方向垂直于投影面，作图方便。绝大多数工程图纸都是采用正投影法画出的。
2.1.1.2 投影法的分类
a）斜投影 b）正投影
图2-3 平行投影法分类
2.1.2 正投影的基本特征
在建筑施工图中，最常使用的投影法是正投影法。正投影有如下基本特征。
（1）显实性。如图2-4（a）、图2-4（d）所示，当直线段或平面图形平行于投影面时，直线段的正投影反映真长，平面图形的正投影反映真形，这种特性称为度量性或显实性。反映线段或平面图形的真长或真形的投影，称为真形投影。
（2）积聚性。如图2-4（b）、图2-3（e）所示，当直线段或平面图形垂直于投影面时，直线段的正投影积聚成为一点，平面图形的正投影积聚成一条直线，这种投影特性称为积聚性。具有积聚性的投影称为积聚投影。
（3）类似性。 如图2-4（c）、图2-4（f）所示，当直线段或平面图形倾斜于投影面时，直线段的投影仍为直线，但小于真长，平面图形的投影小于真实形状，但类似于空间平面图形，图形的基本特征不变，如多边形的投影仍为多边形，其边数、平行关系、凹凸、曲直等保持不变，这种投影特性称为类似性。
依据正投影法得到的空间形体的图形称为空间形体的正投影，简称投影。若无特殊说明，本教材中所指的投影均为正投影。
2.1.2 正投影的基本特征
a）直线平行于投影面 b）直线垂直于投影面 c）直线倾斜于投影面
d）平面平行于投影面 e）平面垂直于投影面 f）平面倾斜于投影面
图2-4 正投影的基本特性
2.1.3 三面投影
2.1.3.1 三面投影体系的建立
形体的一个投影不能确定形体的形状。如图2-5所示的两个完全不同形状的形体，在同一投影面上的投影却相同。这说明仅仅根据一个投影是不能完整地表达形体的形状和大小的。要确切地反映形体的完整形状和大小，必须增加由不同的投射方向、在不同的投影面上所得到的投影，互相补充，才能将形体表达清楚。
根据实际的需要，通常将空间形体放在3个互相垂直相交的平面所组成的投影面体系中，然后将形体分别向3个投影面做投影。这3个相互垂直相交的投影面就组成了三投影面体系。3个投影面分别称为正投影面（简称正面，用V表示）、水平投影面（简称水平面，用H表示）和侧面投影面（简称侧面，用W表示）。3个投影面分别两两相交，形成3条投影轴。V面和H面的交线称为OX轴；H面和W面的交线称为OY轴；V面和W面的交线称为OZ轴。3个轴线的交点O称为投影原点，如图2-6所示。
2.1.3.1 三面投影体系的建立
图2-5 不同形状形体的投影相同 图2-6 三投影面体系的建立
2.1.3.2 三面投影的投影规律
如图2-7（a）所示，将形体放置于三投影面体系中，按照正投影法分别向V、H、W 3个投影面进行投影，即可得到该形体的三面投影。由形体的前方向后投射，在正面上所得到的投影称为正面投影或V面投影；由形体的上方向下投射，在水平面上所得到的投影称为水平投影或H面投影；由形体的左方向右投射，在侧面上所得到的投影称为侧面投影或W面投影。
在工程图纸上，形体的3个投影是画在同一平面上的。为了使处于空间位置的三面投影能画在同一张图纸上，在绘图时必须将相互垂直的3个投影面展开为一个平面。其展开的方法是：正面保持不动，将水平面绕OX轴向下旋转90°，将侧面绕OZ轴向右旋转90°，把V、H、W面展开为同一平面，如图2-7（b）所示。
当投影面展开时，OX轴和OZ轴保持不动，OY轴展开后分为两根，一根随H面旋转到OZ轴的正下方，与OZ轴成一条直线，用OYH轴表示；另一根随W面旋转到OX的正右方，与OX轴成一条直线，用OYW轴表示。由于在实际画图时不必画出投影面的边框，所以省去边框不画就得到如图2-7（c）所示的三面投影图。
2.1.3.2 三面投影的投影规律
a）直观图 b）展开图 c）投影图
图2-7 三面投影图的形成及其投影规律
形体的左右、前后、上下及长、宽、高是初学容易错的内容，如图2-7所示。
从图2-7可以看出3个投影图之间存在下述投影关系：
（1）正面投影与水平投影——长对正；
（2）正面投影与侧面投影——高平齐；
（3）水平投影与侧面投影——宽相等。
“长对正、高平齐、宽相等”的投影对应关系是三面投影之间的重要特性，也是画图和读图时必须遵守的投影规律。这种对应关系无论是对整个形体，还是对形体的每一个组成部分都成立。在运用这一规律画图和读图时，要特别注意形体的水平投影与侧面投影的前后对应关系即“宽相等”的关系。
2.1.3.2 三面投影的投影规律
下面以如图2-8（a）所示形体为例，说明三面投影图的绘制方法与步骤：
（1）建立坐标轴；
（2）据尺寸及选定的投影方向，确定布图方位，先作出V面或W面投影图，按照“长对正、高平齐、宽相等”投影对应关系，做出H面投影图如图2-8（b）所示。
（3）检查无误后，描深完成三面投影图，如图2-8（c）所示。
2.1.3.2 三面投影的投影规律
（a）立体图 （b）作图过程 （c）投影图
图2-8 直角弯板三面投影图的作图步骤
巩固提高
课堂练习：认真复习三面投影的投影规律，熟记长、宽、高在三面投影图中的关系。
知识扩展
多注意观察周围各种物体的形状，可用纸张勾画其在三面投影的示意图。
要点回顾
投影的基本概念和分类；正投影的基本特征；三面投影体系的建立；3个投影图之间关系：
（1）正面投影与水平投影——长对正；（2）正面投影与侧面投影——高平齐；（3）水平投影与侧面投影——宽相等。
建筑常识
建筑术语之一
建筑面积 ：住宅的建筑面积是指建筑物外墙外围所围成空间的水平面积，如果计算多、高层住宅的建筑面积，则是各层建筑面积之和。建筑面积包含了房屋居住的可用面积、墙体柱体占地面积、楼梯走道面积、其他公摊面积等。
使用面积：住宅的使用面积，指住宅各层平面中直接供住户生活使用的净面积之和。计算住宅使用面积，可以比较直观地反应住宅的使用状况，但在住宅买卖中一般不采用使用面积来计算价格。 计算使用面积时有一些特殊规定：跃层式住宅中的户内楼梯按自然层数的面积总和计入使用面积；不包含在结构面积内的烟囱、通风道、管道井均计入使用面积；内墙面装修厚度计入使用面积。计算住宅租金，都是按使用面积计算。
公用面积：住宅的公用面积是指住宅楼内为住户出入方便、正常交往、保障生活所设置的公共走廊、楼梯、电梯间、水箱间等所占面积的总和。开发商在出售商品房时计算的建筑面积存在公共面积的分摊问题。
实用面积 ：它是“建筑面积”扣除公共分摊面积后的余额。
居住面积：住宅的居住面积是指住宅建筑各层平面中直接供住户生活使用的居室净面积之和。所谓净面积就是要除去墙、柱等建筑构件所占有的水平面积（即结构面积），一般作为衡量居住水平的面积指标。
计租面积：作为计算房租的面积。在住房制度改革中，作出统一规定，住宅用房按使用面积计算，包括居室，客厅，卫生间，厨房，过道，楼梯，阳台（闭合式按一半计算），壁橱等。非住宅用房按建筑面积计算。

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