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7.1.1数系的扩充和复数的概念
班级 姓名
学习目标
1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．
2．理解复数的概念、表示法及相关概念．
3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 一、复数的概念及其表示1．复数的定义我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做 ，其中i叫做 ．全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做 ．规定i·i＝i2＝ ．2．复数的表示复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈ )．其中的a叫作复数z的 ,与b叫作复数z的 ．【即时训练1】(1)复数z＝2＋5i的实部等于________，虚部等于________．(2)若复数z＝(2a－1)＋(3＋a)i(a∈R)的实部与虚部相等，则a＝________．二、复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当 且 ．【即时训练2】已知x，y∈R，若x＋3i＝(y－2)i，则x＋y＝________．三、复数的分类1．复数a＋bi(a，b∈R)2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示．【即时训练3】若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i是纯虚数，则实数m＝________．
复数的概念 【例1】给出下列说法：①复数2＋3i的虚部是3i；②形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数；③若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数；④若两个复数能够比较大小，则它们都是实数．其中错误说法的是 .【变式1】下列说法中正确的是(　　)A．复数由实数、虚数、纯虚数构成B．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有x≠0C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数D．若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i
复数的分类 【例2】实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
复数相等的充要条件 【例3】求满足下列条件的实数，的值：(1)； (2)x2－y2＋2xyi＝2i .【例4】(1)若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于________．(2)已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，则实数m的值等于________．
课后作业
一、基础训练题
1．复数z＝－i的实部和虚部分别是(　　)
A．－，－　　 B．，－ C．， D．－，
2．下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；
③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；
④实数集是复数集的真子集．
其中正确的命题是(　　)
A．①　　　　 B．② C．③ D．④
3．下列命题中正确的是(　　)
A．0是实数不是复数
B．实数集与复数集的交集是实数集
C．复数集与虚数集的交集是空集
D．若实数a与ai对应，则实数集中的元素与纯虚数集中的元素一一对应
4．若复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为 (　　)
A．－2 B．3 C．－3 D．±3
5．集合M＝{4,5，－3m＋(m－3)i}(其中i为虚数单位)，N＝{－9,3}，且M∩N≠ ，则实数m的值为(　　)
A．－3 B．3 C．3或－3 D．－1
6．若复数a2－a－2＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则(　　)
A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2 C．a≠－1 D．a≠2
7．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________．
8．已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i(m，n∈R)，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________．
9．若x，y∈R，且(x－1)＋yi＞2x，求x，y的取值范围．
10．求满足下列条件的实数x，y的值：
(1)xi－i2＝y＋2i； (2)(x2＋y2)＋2xyi＝6－6i； (3)(2x－1)－(3－y)i＝0.
11．已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(m∈R)．
(1)若复数z是实数，求实数m的值；
(2)若复数z是虚数，求实数m的取值范围；
(3)若复数z是纯虚数，求实数m的值；
(4)若复数z是0，求实数m的值．
二、综合训练题
12．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z＝(　　)
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
13．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝m2－2m－3＋(m2＋3m＋2)i(i为虚数单位)，b＝12，c＝13，∠ACB＝90°，则实数m＝________．
14．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，则实数x＝________，
y＝________．
三、能力提升题
15．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，求λ的取值范围．
7.1.1数系的扩充和复数的概念
参考答案
1、【答案】B　
【解析】复数z＝－i的实部为，虚部为－．故选B．
2、【答案】D
【解析】对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数．
对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即①错误；
对于②，两个虚数不能比较大小，则②错误；
对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，
此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0不是纯虚数，则③错误；
显然，④正确．
3、【答案】B
【解析】A中，0是实数也是复数，A不正确；
B中，实数集与复数集的交集是实数集，B正确；
C中，复数集与虚数集的交集是虚数集，C不正确；
D中，当a＝0时，ai＝0，所以实数0在纯虚数集中没有对应元素，D不正确．
4、【答案】B　
【解析】由题意知解得m＝3，故选B．
5、【答案】B　
【解析】因为M∩N≠ ，所以M中的－3m＋(m－3)i必须为实数，
所以m＝3，此时实部恰为－9，满足题意．
6、【答案】C
【解析】复数a2－a－2＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，
则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.
7、【答案】－2　
【解析】由题意知，∴m＝－2．
8、【答案】2　±2　
【解析】由复数相等的充要条件有
9、【解】∵(x－1)＋yi＞2x，∴y＝0且x－1＞2x，∴x＜－1，
∴x，y的取值范围分别为x＜－1，y＝0．
10、【解】(1)由i2＝－1可得xi＋1＝y＋2i，根据复数相等的充要条件可得
(2)根据复数相等的充要条件可得解得 或
(3)由于0＝0＋0i，则根据复数相等的充要条件可得解得
11、【解】(1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，所以m＝5或－3.
(2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数．所以m≠5且m≠－3.
所以实数m的取值范围为{m|m≠5且m≠－3}．
(3)当时，复数z是纯虚数，所以m＝－2.
(4)当时，复数z是0，所以m＝－3.
12、【答案】B　
【解析】由题意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0．
所以解得所以z＝3－i．
13、【答案】－2　
【解析】由题意知a＝＝5，则解得m＝－2．
14、【答案】－1　2　
【解析】由定义运算＝ad－bc得＝3x＋2y＋yi，
故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi．
因为x，y为实数，所以有解得x＝－1，y＝2．
15、【解】由z1＝z2得消去m得λ＝4sin2 θ－3sin θ＝42－.
由于－1≤sin θ≤1，故－≤λ≤7.
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