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7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
班级 姓名
学习目标
1. 掌握复数代数形式的加法、减法运算法则；
2. 理解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义.
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 一、复数的加、减运算1．复数加法、减法的运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则有：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ．2．复数加法的运算律设z1，z2，z3∈C，则有：交换律：z1＋z2＝ ；结合律：(z1＋z2)＋z3＝ ．【即时训练1】(1)已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝________．(2)若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是________．
阅读教材，完成右边的内容 二、复数加减法的几何意义如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为1，2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数 对应，向量与复数 对应．|z1－z2|的几何意义： ． 【即时训练2】已知向量1对应的复数为2－3i，向量2对应的复数为3－4i，则向量对应的复数为________．
复数代数形式的加、减运算 【例1】(1)计算：＋(2－i)－；(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z．【变式1】已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________．
复数代数形式加、减运算的几何意义 【例2】如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)所表示的复数，所表示的复数；(2)对角线所表示的复数；(3)对角线所表示的复数及的长度．【变式2】(1)复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝．则|z1－z2|＝________．(2)若复数z满足条件|z－(2－2i)|＝1，则在复平面内z对应的点所在的图形的形状为________．
复数模的最值问题 【例3】如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值．【变式3】若复数z满足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．
课后作业
一、基础训练题
1．若实数x，y满足(x＋i)＋(1－yi)＝2，则xy的值为(　　)
A．1　　　　 B．2　　　　
C．－2　　　 D．－1
2．已知复数z满足z＋3i－3i2＝3－3i，则z＝(　　)
A．0 B．－6i
C．6 D．6－6i
3．在复平面内，O是坐标原点，向量，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么对应的复数为(　　)
A．4＋7i B．1＋3i
C．4－4i D．－1＋6i
4．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为(　　)
A．3 B．2
C．1 D．－1
5．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
6．已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________．
7．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝________．
8．若复数z满足z＋|z|＝5＋i，则复数z＝________．
9．计算：
(1)(2＋i)－[(6＋5i)－(4＋3i)]＋(－1＋i)；
(2)(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 022＋2 023i)＋(2 023－2 024i)．
10．在平行四边形ABCD中，已知，对应的复数分别为z1＝3＋5i，z2＝－1＋2i.
(1)求对应的复数；
(2)求对应的复数；
(3)求平行四边形ABCD的面积．
二、综合训练题
11．(多选题)已知i为虚数单位，下列说法中正确的是(　　)
A．若复数z满足|z－i|＝，则复数z对应的点在以(1,0)为圆心，为半径的圆上
B．若复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝15＋8i
C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
D．复数z1对应的向量为，复数z2对应的向量为，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则⊥
12．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为(　　)
A．0 B．1
C． D．
三、能力提升题
13．若复数z满足|z|＝2，则|1＋i＋z|的取值范围是(　　)
A．[1,3] B．[1,4]
C．[0,3] D．[0,4]
14．已知z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1－z2|＝1，则|z1＋z2|＝________．
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
参考答案
1、【答案】A　
【解析】依题意，得x＋1＝2且1－y＝0，所以x＝y＝1，所以xy＝1．
2、【答案】B　
【解析】∵z＋3i－3i2＝3－3i，∴z＝(3－3i)－(3i＋3)＝－6i．
3、【答案】C　
【解析】由题意得＝(－2,1)，＝(3,2)，＝(1,5)，
所以＝＋＋＝－－＋＝(－1，－5)＋(2，－1)＋(3,2)＝(4，－4)，
所以对应的复数为4－4i，故选C．
4、【答案】D　
【解析】z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i．
∵z1＋z2所对应的点在实轴上，∴1＋a＝0，∴a＝－1．
5、【答案】B　
【解析】设z＝x＋yi，则由|z＋2－2i|＝1得(x＋2)2＋(y－2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图
所示，则|z－2－2i|＝表示圆上的点与定点(2,2)的距离，
数形结合得|z－2－2i|的最小值为3．
6、【答案】3　
【解析】由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是纯虚数，
所以解得a＝3．
7、【答案】－1＋10i　
【解析】∵z1＋z2＝5－6i，∴(x＋2i)＋(3－yi)＝5－6i，
∴即
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i．
8、【答案】＋i　
【解析】因为z＋|z|＝5＋i，所以z的虚部为．
设z＝a＋i(a∈R)，则a＋＝5，解得a＝，所以z＝＋i．
9、【解】(1)法一：原式＝(2＋i)－[(6－4)＋(5－3)i]＋(－1＋i)
＝(2＋i)－(2＋2i)＋(－1＋i)＝－i＋(－1＋i)＝－1.
法二：原式＝(2＋i)－(6＋5i)＋(4＋3i)＋(－1＋i)＝(2－6＋4－1)＋(1－5＋3＋1)i＝－1.
(2)法一：原式＝[(1－2)＋(3－4)＋…＋(2 021－2 022)＋2 023]＋[(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋(－2 022＋2 023)－2024]i＝(－1 011＋2 023)＋(1 011－2 024)i＝1 012－1 013i.
法二：因为(1－2i)＋(－2＋3i)＝－1＋i，(3－4i)＋(－4＋5i)＝－1＋i，…，
(－2 022＋2 023i)＋(2 023－2 024i)＝－1＋i，
所以原式＝(－1＋i)×1 011＋2 023－2 024i＝1 012－1 013i.
10、【解】(1)由于＝＋＝＋，所以＝－.
故对应的复数为z＝z1－z2＝(3＋5i)－(－1＋2i)＝4＋3i.
(2)由于＝－＝－，所以对应的复数为(4＋3i)－(－1＋2i)＝5＋i.
(3)由(1)(2)可知在平行四边形ABCD中，＝＝(－1,2)，＝＝(4,3)，
所以cos∠DAB＝＝＝.因此sin∠DAB＝＝.
于是平行四边形ABCD的面积S＝||||sin∠DAB＝×5×＝11.
11、【答案】CD　
【解析】满足|z－i|＝的复数z对应的点在以(0,1)为圆心，为半径的圆上，A错误；
在B中，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝．由z＋|z|＝2＋8i，
得a＋bi＋＝2＋8i，∴解得
∴z＝－15＋8i，B错误；由复数的模的定义知C正确；
由|z1＋z2|＝|z1－z2|的几何意义知，以，为邻边的平行四边形为矩形，
从而两邻边垂直，D正确．故选CD．
12、【答案】C　
【解析】由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离，即为．
13、【答案】D
【解析】复数z对应的点Z(a，b)的轨迹为以原点为圆心、2为半径的圆，
|1＋i＋z|表示点Z(a，b)到点M(－1，－)的距离．
因为(－1，－)在|z|＝2这个圆上，所以距离最小是0，最大是4.故所求取值范围是[0,4]．
14、【答案】　
【解析】如图，设对应的复数为z1，对应的复数为z2．
由|z1|＝|z2|知，以||，||为邻边的平行四边形OACB是菱形，
向量表示的复数为z1－z2，
∴||＝|z1－z2|＝1，则△AOB为等边三角形，
∴∠AOC＝30°，∴||＝，∴||＝．
∵表示的复数为z1＋z2，∴|z1＋z2|＝．
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