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7.2.2复数的乘、除运算
班级 姓名
学习目标
1．掌握复数的乘法和除法运算．
2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 一、复数的乘法1．复数代数形式的乘法法则已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ ．2．复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝ 乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝ 【即时训练1】(1)复数(3＋2i)i等于 ．(2)已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是____．
阅读教材，完成右边的内容 二、复数的除法法则(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)．【即时训练2】已知i是虚数单位，则＝ ．
复数代数形式的乘法运算 【例1】计算：(1)(2＋3i)(2－3i)； (2)(1＋i)2； (3)(－2－i)(3－2i)(－1＋3i)．【变式1】 ； ； ； ； .()
复数代数形式的除法运算 【例2】(1)复数z＝的虚部为 ；(2)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z为 .【变式2】计算：(1)＝ ；(2)＝ .
在复数范围内解方程 【例3】在复数范围内解下列方程:(1)x2＋x＋1＝0； (2)x2＋4x＋6＝0.【变式3】已知3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值．
课后作业
一、基础训练题
1．＝(　　)
A．1＋i　　 　　B．1－i C．－1＋i D．－1－i
2．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于(　　)
A．第一象限　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．设复数z的共轭复数是，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是实数，则实数t等于(　　)
A． B． C．－ D．－
4．已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．(多选题)下面是关于复数z＝(i为虚数单位)的命题，其中真命题为(　　)
A．|z|＝2 B．z2＝2i
C．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－1
6．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝________．
7．在复数范围内，方程x2＋6x＋10＝0的根为x＝________．
8．计算：(1)＋； (2)；
(3)＋＋.
9．已知复数z满足(1＋i)z＝1－3i(i是虚数单位)．
(1)求复数z的虚部；
(2)若复数(1＋ai)z是纯虚数，求实数a的值；
(3)若复数z的共轭复数为，求复数的模．
10．已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根．
(1)求实数a，b的值；
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明．
二、综合训练题
11．(多选题)设z为复数，则下列命题中正确的是(　　)
A．|z|2＝z
B．z2＝|z|2
C．若|z|＝1，则|z＋i|的最大值为2
D．若|z－1|＝1，则0≤|z|≤2
12．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________，z1z2＝________．
7.2.2复数的乘、除运算
参考答案
1、【答案】D　
【解析】＝＝－1－i，选D．
2、【答案】B
【解析】由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，
所以＝＝－1＋2i，对应的点在第二象限．
3、【答案】A　
【解析】∵z2＝t＋i，∴2＝t－i．z1·2＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i，
又∵z1·2∈R，∴4t－3＝0，∴t＝．
4、【答案】A
【解析】i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，i5＋i6＋i7＋i8＝i＋i2＋i3＋i4＝0，
所以i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2025＝i.
所以z＝＝＝＋i，所以对应点在第一象限，故选A.
5、【答案】BD　
【解析】∵z＝＝＝－1－i，
∴|z|＝，A错误；z2＝2i，B正确；
z的共轭复数为－1＋i，C错误；
z的虚部为－1，D正确．故选BD．
6、【答案】1　
【解析】∵＝b＋i，∴a＋2i＝(b＋i)i＝－1＋bi，
∴a＝－1，b＝2，∴a＋b＝1．
7、【答案】－3±i
【解析】因为b2－4ac＝62－4×1×10＝－4<0，
所以x＝＝＝＝－3±i.
8、【解】(1)＋＝＋＝i－i＝0.
(2)＝＝＝
＝＝－2－2i.
(3)原式＝＋1012＋＝i＋(－i)1012＋＝i+1＋0＝1＋i.
9、【解】(1)由(1＋i)z＝1－3i，得z＝＝＝＝－1－2i，
∴复数z的虚部为－2.
(2)(1＋ai)z＝(1＋ai)(－1－2i)＝2a－1－(2＋a)i，
∵复数(1＋ai)z是纯虚数，∴解得a＝.∴实数a的值为.
(3)由z＝－1－2i，得＝－1＋2i.
则＝＝＝＝－1－i，∴|z|＝＝.
∴复数的模为.
10、【解】(1)把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，
∴解得a＝2，b＝2.
(2)由(1)知方程为x2＋2x＋2＝0.设另一个根为x2，由根与系数的关系，得－1＋i＋x2＝－2，∴x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，则左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边，
∴x2＝－1－i是方程的另一个根
11、【答案】ACD　
【解析】对于A∶z＝a＋bi(a，b∈R，则＝a－bi，∴|z|2＝a2＋b2，
而z＝a2＋b2，所以|z|2＝z成立；
对于B∶z＝a＋bi(a，b∈R)，当ab均不为0时，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，
而|z|2＝a2＋b2，所以z2＝|z|2不成立；
对于C∶|z|＝1可以看出以O(0,0)为圆心，1为半径的圆上的点P，
|z＋i|可以看成点P到Q(0，－1)的距离，所以当P(0,1)时，可取|z＋i|的最大值为2；
对于D∶|z－1|＝1可以看出以M(1,0)为圆心，1为半径的圆上的点N，
则|z|表示点N到原点距离，故O，N重合时，|z|＝0最小，
当O，M，N三点共线时，|z|＝2最大，故0≤|z|≤2．
12、【答案】　16－i　
【解析】＝＝＝＝，
∵为纯虚数，∴∴a＝．
∴z1·z2＝(3－4i)＝8－i＋6i＋8＝16－i．
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