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2023-2024学年中考数学复习习题精选
专题(5) 无刻度直尺作图
1．(1)如图1，在每个小正方形边长为1的网格中，A，B，C为格点，点P为线段上一点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画出的角平分线；

(2)如图2，在四边形中，，，点E是的中点，请仅用无刻度的直尺在图2中，画出的边上的中线．（友情提醒：保置作图痕迹，并用黑笔描线加深）

2．图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，点均在格点上，用无刻度的直尺作图．
(1)在图1中，作射线平分，且点在格点上．
(2)在图2中，作线段平分，且点在格点上．
(3)在图3中，作直线垂直，且点在格点上．
3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，不写画法，保留作图痕迹．
(1)在图①中的上确定一点，连结，是的高线．
(2)在图②中的上确定一点，连结，使得．
(3)在图③中的上确定一点，连结，使与面积比为 ．
4．如图，在的网格中，线段的端点都在格点上，请按要求用无刻度直尺作图．
(1)在图1中作点Q，使得；
(2)在图2线段上作点P，使得．
5．如图是边长为的正方形网格，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺，按要求画出下列图形．
(1)的周长为______；
(2)如图，点、分别是与竖格线和横格线的交点，画出点关于过点竖格线的对称点；
(3)请在图中画出的角平分线．
6．在中，E为的中点，请仅用一把无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
(1)如图1，在上找出一点P，使点P是的中点．
(2)如图2，在上找出一点Q，使点Q是的一个三等分点．
7．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，四边形为平行四边形，点、均为格点.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图：
(1)在图①中，点、、为格点，在边上找一点，连结，使得．
(2)在图②中，点、为格点，点为边上任意一点，连结，在上找一点，使得.（保留作图痕迹）
(3)在图③中，点、为为网格线上的点，点为边上任意一点连结，在边上找一点，连结，使得．（保留作图痕迹）
8．如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺，在给定网格中完成下列画图：
(1)在图1中的内部画一点，使得；
(2)在图2中，是边的中点，连接，在线段上画一点，使得；
(3)在图3中边的延长线上画一点，使得．
9．如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）．
(1)在图1中作出的外心D；
(2)图2中D是的中点，作出边上的点F（不与点B重合），使得．
10．如图，在一个的正方形网格中，格点A，B，C均在圆上，请按要求画图，仅用无刻度的直尺（不能用直尺的直角），保留必要的作图痕迹．
(1)在图1中作图：画出直径．
(2)在图2中作图：在上找一点，使．
11．如图是由小正方形组成的（网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C三点是格点，点P在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．

(1)在图1中，画，再在上画点E，使得；
(2)在图2中，画出线段的中点M，然后在上画一点F，使．
12．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹。
(1)图①中的边上确定一点D，连接，使得；
(2)在图②中画出，点M、N分别在边和上，满足，且的面积为；
(3)在图③中的的内部（不含边界）有一点P，且的面积等于面积的一半，画出点P所在的线段．
13．如图，是的直径，点C，D均在上，且，．
(1)请你在图1中，用无刻度的直尺作出的平分线；
(2)请你在图2中，用无刻度的直尺作出的平分线．
14．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，A、B、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中作图（保留作图痕迹）．
(1)将绕着点C顺时针旋转，在图①中作出旋转后的对应线段．
(2)在图②中作线段，使点E在边上，且．
(3)在图③中作的角平分线．
15．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．
(1)在图①中以线段为边画，使点C在格点上，且；
(2)如图②中以线段为边画，；
(3)如图③中以线段为边画，使，．
16．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图：
(1)如图①，在上画一点E，连结，使；
(2)如图②，在上画一点F，连结，使；
(3)如图③，在上画一点M，连结，使．
17．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，以为边画一个等腰；
(2)在图②中，以为边画一个成中心对称的四边形；
(3)在图③中的边上确定一点，连接，使．
18．已知四边形是平行四边形，为对角线，分别在图、图中按要求作图保留作图痕迹，不写做法．

(1)如图，点为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出另一点，使；
(2)如图，点为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出一点，使．
19．请仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示．

(1)在图1所示的小正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点、、是格点．经过、两点，点是与格线的交点，在优弧上作点，使得；
(2)如图2，是的弦，是圆上一点，点在上，，作，使得．
20．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法．

(1)如图①，在AB上找一点D，使；
(2)如图②，在网格中找一点E，使，此时的值为______．
21．如图，在的网格中，的三个顶点都在格点上．
(1)在图①中画出一个以为边的，使顶点D，E在格点上．
(2)在图②中画出一条恰好平分周长的直线l（至少经过两个格点）．
(3)如图③，中，于点M，若于点N，请仅用无刻度的直尺在图③中作出符合题意的点N．（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
22．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）．
（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC边上，且AD＝AE，作出∠BAC的角平分线AF；
（2）如图2，四边形BCED中，BD＝CE，∠B＝∠C，M为BC边上一点，在BC边上作一点N，使CN＝BM．
23．（1）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想要测量A、B间的距离，一位同学帮他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的点O，分别延长、至点M、N，使得，再连接，则的长度即为池塘A、B间的距离．请说明理由．

（2）在下面的网格图中有三个点A、B、D，其中点A和点D在网格线的交点处，点B在网格线上，请找出点C，使得四边形是平行四边形．（仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不需说明理由）

24．如图，已知是锐角三角形．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图；作直线，使上的各点到、两点的距离相等；设直线与、分别交于点、，作一个圆，使得圆心在线段上，且与边、相切；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，，则的半径为________．
25．请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
(1)如图1，内接于，，请在图中画一个含有圆周角的直角三角形；
(2)如图2，为的内接三角形，D是的中点，E是的中点，请画出的角平分线．
26．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图（）中，是格线上一点连接，直接写出__________．
(2)在图（1）中，在线段上作出点，而且；
(3)在图（2）中，是边上一点，．先将绕点顺时针旋转，得到线段，画出线段，再画点，使，两点关于直线对称．
27．综合探究
学习几何时，通常是先用几何的眼光去观察，再用代数的方法去验证．网格是研究几何图形的一种工具，也是培养几何直观的一种方式．
(1)如图是正方形网格，每一个小正方形的边长为1，其顶点称为格点．
①如图1，点均在格点上，仅用无刻度的直尺找出线段的中点（不写画法，保留画图痕迹）；
②如图2，点均在格点上，求；
(2)如图3，仅用无刻度的直尺找出的内心的位置，并说明点的位置是如何找到的；
(3)如图4，在和中，点在边上，且，连接．若，求的长．
28．如图，由小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，经过，，三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图画图过程用虚线，结果用实线．
(1)在图中标出圆心，并在圆上找一点，使平分弧；
(2)在图中的圆上画一点，使平分．
(3)如图，的顶点，均在格点上，顶点在网格线上，，是如图所示的的外接圆上的动点，当时，请用无刻度的直尺，在圆上画出点．
29．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A、B、C三点是格点，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．

(1)如图1，点P在线段上，请在图1中完成以下作图：画菱形，在线段上画出一点E，使BE=BP：
(2)在图2中完成以下作图：在线段上画出一点F，使tan∠ ；
30．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形四个顶点都是格点，E是上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．

(1)在图（1）中，先将线段绕点B顺时针旋转，画对应线段，再在上画点G，并连接，使；
(2)在图（2）中，M是与网格线的交点，先画点M关于的对称点N，再在上画点H，使得四边形为菱形．
参考答案：
1．(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，作中线，
（1）先求出，即可得出点，连接，交格点于点D，作射线，则即为所求作；
（2）连接，，四边形是平行四边形，可知点M是的中点，再连接，则即为所求作．
【解析】（1）如图所示．

（2）如图所示．

2．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】
本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特点及矩形的性质是截图的关键．
（1）根据网格线的特点作图；
（2）根据网格线的特点及矩形的性质作图；
（3）根据网格线的特点作图；
【解析】（1）
如图：射线即为所求；
（2）如图：线段即为所求；

（3）如图：直线即为所求．

3．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的性质与判定，三角形高的定义与性质；
（1）找到的中点，连接，则点即为所求；
（2）找到的格点，则，则点即为所求；
（3）取点，使得，点即为所求．
【解析】（1）解：如图所示，找到的中点，连接，则点即为所求；
∵
∴
∴是等腰三角形，
∵
∴，即是的高线．
（2）如图所示，找到的格点，则，则点即为所求；
∵
∴
∵
∴
即
（3）如图所示，取点，使得，点即为所求
∵，根据网格的特点取，则
∴与面积比为 ．
4．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了无刻度直尺作图，矩形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似三角形的性质合理添加辅助线是解题关键．
（1）根据矩形的性质“对角线互相平分”，取矩形对角线交点即可；
（2）根据相似三角形的性质“相似三角形对应角相等，对应边成比例”，作图即可．
【解析】（1）解：如图1，连接，交于点，则点即为所求；
四边形由3个的网格组成的矩形，点是对角线，的交点，
，
点即为所求的点．
（2）解：如图2，连接，交于点，则，点即为所求；
，
，，
，
，
，，
，
点即为所求的点．
5．(1)
(2)图见解析
(3)图见解析
【分析】（1）利用勾股定理求出，，可得结论；
（2）根据对称性作出图形即可；
（3）利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可．
【解析】（1）解：由题意，，，
的周长，
故答案为：；
（2）如图，点即为所求；
（3）如图，线段即为所求．
【点睛】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
6．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接和，它们的交点为，延长并延长交于，则P点为所作；
（2）连接交于点Q，则Q点为所作．
【解析】（1）解：如图1，点P就是所求作的点：
∵，
∴，，即点O是、的中点，
∵E为AB的中点，
∴是的中位线，
∴，即
∴
∴，即点P为的中点；
（2）解：如图2，点Q就是所求作的点：
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵E为AB的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点Q是AC的一个三等分点．
【点睛】本题考查无刻度直尺作图，平行四边形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，三角形中位线性质，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质的应用是解题的关键．
7．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了无刻度直尺作图，平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质；
（1）取的中点，连接即可；
（2）取BC的中点，的中点，连接交一点，点即为所求；
（3）取BC的中点，的中点，连接交一点，连接交于点，连接即可．
【解析】（1）如图①中，线段即为所求；
（2）如图②中，点即为所求；
（3）如图③中，线段即为所求．
8．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据三角形的外心的定义解决问题；
（2）作直线，交于点，利用重心的性质解决问题；
（3）由．判断出，可得，在的延长线寻找一点，使得即可．
【解析】（1）如图1中，点即为所求；
（2）如图2中，线段，点即为所求；
（3）如图3中，点即为所求．
9．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
（1）如图1中，分别作及的垂直平分线，相交于点D，点D即为所求．
（2）如图2中，过点A作的垂线，垂足即为点F，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一亲，可得．
【解析】（1）如图1，点D即为的外心；
（2）如图2，点F即为所作；
10．(1)见解析
(2)见解析
【分析】
（1）由勾股定理逆定理可得，根据圆周角定理得出为直径，取格点、，找出中点，连接并延长交于，即为所求；
（2）延长交格点于，连接交于，由垂直平分线的性质可得，根据弧、弦、圆心角的关系可得点即为所求．
【解析】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∴为直径，
取格点、，连接交于，可得点为圆心，连接并延长交于，即为所求．
（2）解：延长交格点于，连接交于，由网格可知，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查无刻度直尺作图，主要知识点有：网格特征、圆周角定理、弧、弦、圆心角的关系、勾股定理逆定理、垂直平分线的判定与性质、等腰三角形“三线合一”的性质，熟练掌握圆周角定理及网格特征是解题关键．
11．(1)见解析
(2)见解析
【分析】
本题考查格点作图，平行四边形的性质，等腰三角形的性质．
（1）根据平行四边形的性质，取格点D，连接，使得，再连接，然后连接，交与一点，连接点P于这一点，并延长交于点E，则，点E即为所求；
（2）取格点，连接交于点G，利用格点再取的中点Q，连接交于点M；再取格点，连接，使得，连接，交与点于点O，连接并延长交于点Z，最后连接交于点F，点M，点F即为所求．
【解析】（1）解：如图所示，，点E即为所求；

（2）
解：点M，点F即为所求．

12．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查无刻度直尺作图，掌握相似三角形的性质和中线分出的两个三角形的面积相等是解题的关键．
（1）取与水平线的交点D，连接，则；
（2）取与竖直线的交点M，取与竖直线的交点，连接即可；
（3）取的中点，连接，则，即为点所在的线段．
【解析】（1）解：如图，取与水平线的交点D，连接，则；
（2）取与竖直线的交点M，取与竖直线的交点，连接即可；
∵，
∵M，是与的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）取的中点，连接，则，即为点所在的线段，点不与重合；
根据作图可知：，
∴，且相似比为，
∴点到的距离等于的点到的距离，
∴点到的距离也等于的点到的距离，
∴的面积等于面积的一半；
∴即为所求．
13．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图——复杂作图，角平分线的性质，圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）如图，延长交于，交于，连接，即为所求；
（2）如图，在（1）的基础上，连接交于，连接并延长交于，即为所求．
【解析】（1）解：如图，延长交于，交于，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，即平分，
即：即为所求；
（2）在（1）的基础上，连接交于，连接并延长交于，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴平分，
又∵平分，
∴点为角平分线的交点，
∴平分，
即：即为所求．
14．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据旋转的性质，画图即可．
（2）根据，得到，构造相似比即可．
（3）根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，画图即可，
本题考查了网格作图，熟练掌握旋转性质，相似的性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【解析】（1）根据旋转的性质，作图如下：
如图，
则线段就是所求的线段．
（2）根据相似的性质，作图如下：
如图， 线段就是所求的线段．
则线段就是所求的线段．
（3）根据旋转的性质，作图如下：
如图， 根据线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形三线合一性质，画图如下：
则线段就是所求的的角平分线．
15．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图应用与设计作图，正切的定义，解题的关键是掌握网格的特征，作出符合条件的图形．
（1）取格点，连接，，使为等腰直角三角形，此时，故为所求；
（2）取格点，连接交格线于，连接，是等腰直角三角形，可得，，得出，，所以，故即为所求；
（3）取格点，，，连接，交的延长线于点，连接， 可得，即，四边形是平行四边形，且其面积等于9，所以的面积等于，故即为所求．
【解析】（1）如图：取格点，连接，，即为所求；
（2）如图：取格点，连接交格线于，连接，即为所求；
（3）如图：取格点，，，连接，交的延长线于点，连接，即为所求；
16．(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
【分析】（1）根据网格线的特点作图即可；
（2）过点D作的垂线与的交点即为所求；
（3）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质作图即可．
【解析】（1）
解：
（2）解：过点D作的垂线，与相交于点F，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：取格点G，连接，交于点M，
由图可得，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查作图的应用与设计、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及对顶角相等，掌握网格的特点及线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了作图—复杂作图，等腰三角形的定义、菱形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）取格点，由勾股定理得出，再根据等腰三角形的定义即可得解；
（2）取格点，由勾股定理得出，则四边形为菱形，再由菱形的性质即可得解；
（3）在取一点，使，连接即可．
【解析】（1）解：如图，等腰即为所作，
由勾股定理得：，
为等腰三角形；
（2）解：如图，四边形即为所作，
由勾股定理可得：，
四边形为菱形，
由菱形的性质可得四边形为中心对称图形；
（3）解：如图，即为所求，
由图可得，
，
，
．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接交于点，作直线交于点，点即为所求作；
（2）连接交于点，连接并延长，交于点，作直线交于点，连接交于点，点即为所求作．
【解析】（1）解：如图，点即为所求作的点．

∵四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：点即为所求作．

∵四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等，作图即可；
（2）根据同弧或等弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角是直角，进行作图即可．
【解析】（1）如图

根据同弧或等弧所对的圆周角相等，故在正方形网格内找到点在圆上，且能够在，，和内构建直角三角形，如，找点关于的对称点，连接并延长交于点，即为所求．

（2）如图，延长交于点，连接，连接并延长交于点，连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，故，因为是直径，根据直径所对的圆周角是直角，即，故．

【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．(1)见解析
(2)图见解析，
【分析】（1）根据相似三角形的性质作图；
（2）以点B为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交得两边于点M，N；分别以点M，N为圆心，以大于的长度为半径画弧交于点O；作射线，则射线为得角平分线，延长到网格E，并在网格中找到点F，使为直角三角形，然后利用同角的正切相等即可得出答案．
【解析】（1）如图：点D即为所求；

，
（2）如图：点E即为所求

．
【点睛】本题考查了作图的应用与设计，熟练掌握相似三角形的性质及正切的概念是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】(1)根据平行四边形的定义画出图形即可；
(2)根据，，，可知，在上取一点F，使得，作直线即可；
(3)连接交于点O，延长交于点J，连接，延长交于点K，连接交于点N，点N即为所求．
【解析】（1）解：如图①中，四边形即为所求（答案不唯一）；
（2）解：如图②中，直线l即为所求（答案不唯一）；
（3）解：如图③中，点N即为所求．
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在与中，
，
，
四边形是平行四边形，
，
于点M，
于点N．
【点睛】本题考查了作图 应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，全等三角形的性质及判定定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接BE、CD相交于P，连接AP并延长交BC于F，AF为∠BAC的角平分线；
（2）延长BD、CE相交于A，连接BE、CD相交于P，连接AP并延长交BC于点F，连接EM交AF于点O，连接DO并延长交BC于N，则CN=BM．
【解析】解：（1）如图所示，AF为∠BAC的角平分线：
在△ADC和△AEB中，,
∴△ADC≌△AEB(SAS)，
∴∠ACD=∠ABE，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∴∠PBC=∠PCB，
∴PB=PC，
在△APC和△APB中，,
∴△APC≌△APB(SSS)，
∴∠PAB=∠PAC，
即AF为∠BAC的角平分线；
（2）如图所示，点N即为所求作：
由（1）得AF为∠BAC的角平分线，又AB=AC，
∴AF为线段BC的垂直平分线，
∴OM=ON，
∴FM=FN，
∴CN=BM．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定与性质，线垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定和性质．
23．（1）理由见解析（2）图见解析
【分析】（1）证明，即可得出结论；
（2）连接，交网格线于点，连接并延长，交网格线于点，连接，四边形即为所求．
【解析】（1）证明：在和中
，
∴，
∴；
（2）连接，交网格线于点，连接并延长，交网格线于点，连接，四边形即为所求，如图：

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，无刻度尺作图．解题的关键是掌握全等三角形的判定定理，以及对角线互相平分的四边形为平行四边形．
24．（1）见解析；（2）
【分析】（1）由题意知直线为线段BC的垂直平分线，若圆心在线段上，且与边、相切，则再作出的角平分线，与MN的交点即为圆心O；
（2）过点作，垂足为，根据即可求解．
【解析】解：（1）①先作的垂直平分线：分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，连接两个交点即为直线l，分别交、于、；
②再作的角平分线：以点B为圆心，任意长为半径作圆弧，与的两条边分别有一个交点，再以这两个交点为圆心，相同长度为半径作弧，连接这两条弧的交点与点B，即为的角平分线，这条角平分线与线段MN的交点即为；
③以为圆心，为半径画圆，圆即为所求；
（2）过点作，垂足为，设
∵，，∴，∴
根据面积法，∴
∴，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了尺规作图，切线的性质等内容，解题的关键是掌握线段垂直平分线、角平分线的尺规作图．
25．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图 应用与设计，圆周角定理，三角形的重心，角平分线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）连接，，延长交于，即为所求；
（2）连接，交于点，连接并延长交于，连接并延长交于，连接，则射线即为所求．
【解析】（1）解：连接，，,由圆周角定理可知，
∵，
∴，
延长交于，即为所求；
（2）连接，交于点，连接并延长交于，连接并延长交于，连接，
∵D是的中点，E是的中点，
∴为的重心，则为中边上的中线，
∴为的中点，
∴垂直弦且平分，
∴，
则射线即为所求．
26．(1)；
(2)见解析；
(3)见解析
【分析】（1）构造直角三角形ACW，直接根据正切的定义求解即可；
（2）取格点，、连接，交点，该点就是所求的点；
（3）取格点、，连接，平行于，取格点，连接交于一点，连接，连接，交于点，连接并延长交于点，则线段即为所求作线段，点即为所求的点．
【解析】（1）解：如图，在中，，
故答案为：；
（2）解：如图，点为所求作图形，
理由如下：如图，连接，，
∵，
∴，
∴；
（3）解：作图如下：
理由如下：取格点、，，连接、、，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点、、三点共线，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，与关于直线成轴对称，即点与点关于直线成轴对称，
∴，
∴，
∴将绕点顺时针旋转，得到线段，
∵点与点关于直线成轴对称，
∴与关于直线成轴对称，
∴点与点关于成轴对称．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理，平行四边形的判定及性质，解直角三角形，用无刻度直尺在网格中作图的知识，找准格点作出平行四边形和垂直平分线是解决本题的关键．
27．(1)①见解析②
(2)见解析
(3)
【分析】（1）①根据格点，构造全等三角形，即可求解，②根据格点，构造全等三角形，，由，即可求解，
（2）由图可知，，根据等腰三角形三线合一的性质，找到的中点，是的角平分线，以为临边，找到菱形，根据菱形的性质，得到是的角平分线，，的交点，即为所求，
（3）过点作的垂线，过点作的垂线，交于点，设，在中，应用勾股定理，得到，进而求出、的长，在中，求出的长，由，得到，即可求解，
本题考查了无刻度直尺作图，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是：作辅助线构造全等三角形．
【解析】（1）解：①如图：
②连接、，
由图可知，，
∴，、、共线，，
∴，
故答案为：，
（2）解：无刻度的直尺作图如下：
点向右个单位，找到点，
点向右个单位，找到点，
点向右个单位，找到点，
连接，，交于点，
点即的内心．
（3）解：过点作的垂线，过点作的垂线，交于点，连接，
∵，，，
设，则，
在中，，
∵，
∴，解得：，
∴，则，,，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
∵，，
∴，即：，
∵，，
∴，
∴．
28．(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
【分析】（1）由图知是圆的直径，取格点，连接，可得中点，作射线交圆于点，利用网格中线段是矩形对角线的特征，借助全等直角三角形性质，得到可知点即为所求；
（2）由图知是圆的直径，取格点，连接，可得中点，连接并延长得到直线交圆于点，利用网格中线段是直径的特征，中垂线性质，得到，连接，由同弧所对圆周角相等即可知点即为所求；
（3）取格点，作射线交圆于，由网格中矩形对角线的关系可知，连接，可知为直径，取格点，由网格中矩形对角线的关系连接交于，连接并延长交圆于，则为直径，连接，由圆周角定理可知，再根据直角三角形两锐角互余即可得到答案．
【解析】（1）解：，
，即，
是圆的直径；
如图所示：
点即为所求；
（2）解：，
，即，
是圆的直径；
如图所示：
点即为所求；
（3）解：如图所示：
点即为所求．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，涉及圆周角定理、矩形性质、直角三角形性质、互余、垂径定理等知识点，熟练掌握网格中矩形对角线相互垂直的性质以及圆的相关性质是解决问题的关键．
29．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）将点A向右平移5个格得到点D，连接即得菱形，连接、交于点Q，作射线交于点E，点E即为所作；
（2）连接交格点于点M，连接交格点于点N，作射线交于点，则，即点F即为所作．
【解析】（1）如图所示，四边形即为所作的菱形，点E即为所作；

（2）如图，点F即为所作．

【点睛】题考查作图﹣应用与设计，涉及菱形的判定与性质、全等三角形、等腰三角形的性质解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识找到关键信息作图．
30．(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）如图，取格点，连接，则为所作图形，在图上取格点，连接交于点Q，连接并延长，交于，则点为所作图形；可证，从而证得，再证，从而证得，根据等腰三角形的性质可求得；
（2）取格点，连接、，交格线于，再取格点，，连接交于，连接并延长交于，连接，则点、为所作点，四边形为所作菱形；可证：，而，证得关于对称，又，可证得、关于对称；再证，得到，再根据，有，根据对应线段成比例，可证，得到对应角相等，证得，再证，从而证得，证得四边形为平行四边形，又根据，可证四边形是菱形．
【解析】（1）解：如图，线段和点为所求；

理由：∵，，，
∴
∴，
∴，
∴线段绕点顺时针旋转得，
∵
∴，，
∴，
∴
∴，
∴；
（2）解：如图，点和点即为所求，

理由：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴与关于对称，
∵，
∴，关于对称，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵．
∴，
∴，
∴，
∴，
由轴对称可得，
∴．
∴，
又∵，
∴
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换，轴对称变换，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定等知识，解决本题的关键是掌握旋转和轴对称的性质．
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