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与圆有关的计算 专项练习
一、课标导航
课标内容 课标要求 目标层次
弧长 会计算弧长 ★
能利用弧长解决有关的简单问题 ★★
扇形 会计算扇形面积 ★
能利用扇形面积解决有关的简单问题 ★★
圆锥的侧面积和全面积 会求圆锥的侧面积和全面积 ★
能解决与圆锥有关的简单实际问题
二、核心纲要
1.正多边形与圆
(1)正多边形的定义：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形.
(2)正多边形的相关概念
①正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
②正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.
③正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
④正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
(3)正多边形的性质
①正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.
②正多边形都是轴对称图形，正 n边形共有 n条通过正n边形中心的对称轴.
③偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心.
(4)正多边形的有关计算
①正 n边形的每个内角都等于
②正n边形的每一个外角与中心角相等，等于
③设正 n边形的边长为an，半径为R，边心距为rn，周长为 Pn，面积为( 则
2.圆中计算的相关公式
设⊙O的半径为R，n°圆心角所对的弧长为l，
(1)弧长公式:
(2)扇形面积公式：
(3)圆柱体表面积公式：
(4)圆锥体表面积公式： (l为母线).
3.常见组合图形的周长、面积的几种常见方法
① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④等积变换法.
本节重点讲解：一个方法，两个计算(正多边形的有关计算，图中的相关计算)，五个概念.
三、全能突破
基础演练
1.(1)在半径为18的圆中，120°的圆心角所对的弧长是( ).
A.12π B.10π C.6π D.3π
(2)一段圆弧的半径是 12，弧长是 4π，则这段圆弧所对的圆心角是( ).
A.60° B.90° C.120° D. 150°
2.圆锥的母线长是3，底面半径是1，则这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为( ).
A.90° B.120° C.150° D.180°
3.现有一扇形纸片,圆心角∠AOB 为120°,半径R 为 cm，用它围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则该圆锥的侧面积为( ).
A.π/12 B.π/3 c.2π/3 D.π
4.将边长为3cm的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为( ).
5.一个正多边形的一个内角为 120°，则这个正多边形的边数为( ).
A.9 B.8 C.7 D.6
6.如图24-3-1所示，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形(阴影部分)外轮廓线的周长是( ).
A.7 B.8 C.9 D.10
7.如图24-3-2所示,⊙O的半径为2,OA=4,AB 切⊙O于点B,弦BC∥OA,连接AC,图中阴影部分的面积为 .
8.如图24-3-3所示,⊙O的半径为2,C 是函数 的图像，C 是函数 的图像，C 是函数 y=x的图像，则阴影部分的面积是 .
9.李红同学为了在新年晚会上表演节目，她利用半径为40cm的扇形纸片制作成一个圆锥形纸帽(如图24-3-4 所示，接缝处不重叠)，若圆锥底面半径为 10cm，那么这个圆锥的侧面积是 cm .
能力提升
10.如图24-3-5 所示,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∠CDB=30°,CD=2 ，则阴影部分图形的面积为( ).
A.4π B.2π C.π D. π/3
11.如图24-3-6 所示,在△ABC中,AB=AC,AB=8,BC=12,分别以AB、AC 为直径作半圆,则图中阴影部分的面积是( ).
B.16π-32
12.如图24-3-7 所示,△ABC是一个圆锥的左视图,其中 AB=AC=5,BC=8,则这个圆锥的侧面积是( ).
A.12π B.16π C.20π D.36π
13.如图24-3-8所示,正方形 ABCD 内接于⊙O,直径MN∥AD,则阴影面积占圆面积( ).
A. B. C. D.
14.如图24-3-9 所示，从一个直径为2 的圆形铁皮中剪下一个圆心角为( 的扇形 ABC，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为( ).
15.如图24-3-10 所示,在梯形 ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AB=AD=4,BC=6,以点A 为圆心在这个梯形内画出一个最大的扇形(图中阴影部分)，则这个扇形的面积是 .
16.如图24-3-11所示,正方形OA B C 的边长为1,以O为圆心、OA 为半径作扇形 OA C ,弧. 与OB 相交于点 B ,设正方形 OA B C 与扇形OA C 之间的阴影部分的面积为 S ;然后以OB 为对角线作正方形 OA B C ,又以O为圆心,OA 为半径作扇形 OA C 弧 A C 与 OB 相交于点 B ,设正方形OA B C 与扇形OA C 之间的阴影部分面积为 S ；按此规律继续作下去，设正方形 OA B C 与扇形OAnCn之间的阴影部分面积为Sn.
(1)S = ;(2) S = ;(3)试猜想。 (用含 n的代数式表示，n为正整数).
17.用两个全等的含30°角的直角三角形制作图24-3-12(a)所示的两种卡片，两种卡片中扇形的半径均为1，且扇形所在圆的圆心分别为长直角边的中点和30°角的顶点，按先A 后B 的顺序交替摆放A、B 两种卡片得到图24-3-12(b)所示的图案. 若摆放这个图案共用两种卡片8张，则这个图案中阴影部分的面积之和为 ；若摆放这个图案共用两种卡片(2n+1)张(n为正整数)，则这个图案中阴影部分的面积之和为 (结果保留π).
18.如图24-3-13 所示,正方形 ABCD边长为4,以 BC为直径的半圆O 交对角线BD 于点E.则直线CD与⊙O的位置关系是 ，阴影部分面积为(结果保留π) .
19.如图 24-3-14所示,矩形 ABCD中, 以 AD 的长为半径的⊙A 交BC 边于点E，则图中阴影部分的面积为 .
20.图24-3-15(a)所示是以 AB 为直径的半圆形纸片,AB=6cm,沿着垂直于 AB 的半径OC 剪开,将扇形 OAC沿AB 方向平移至扇形O'A'C',如图24-3-15(b)所示,其中 O'是OB 的中点,O'C'交BC于点F,则BF的的长为 cm.
中考链接
21.(宜宾)如图24-3-16 所示,△ABC是正三角形,曲线CDEF 叫做正三角形的渐开线,其中 DE、EF的圆心依次是A、B、C,如果 AB=1,那么曲线CDEF 的长是 .
22.(天津)正六边形的边心距与边长之比为( ).
C.1 : 2
23.(泰安)如图 24-3-17 所示,AB,CD 是⊙O 的两条互相垂直的直径,点 O ,O ,O ,O 分别是OA、OB、OC、OD 的中点,若⊙O 的半径为2,则阴影部分的面积为( ).
A.8 B.4 C.4π+4 D.4π-4
24.(浙江温州)在△ABC中,∠C 为锐角,分别以AB,AC为直径作半圆,过点 B、A、C作 如图 24-3-18 所示,若 则 的值是( ).
巅峰突破
25.如图24-3-19 所示,在 Rt△ABC中,. ,点 P 是半圆弧 AC 的中点,连接 BP,线段BP把图形APCB(指半圆和△ABC组成的图形)分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 .
26.如图24-3-20所示,等腰 的直角边长为4，以 A 为圆心，直角边 AB 为半径作 交斜边 AC 于点 于点 设 围成的阴影部分的面积为 然后以 A 为圆心, 为半径作 交斜边AC 于点 于点 设围成的阴影部分的面积为 S ，按此规律继续作下去，得到的阴影部分的面积
1.(1)A (2)A 2. B 3. D 4. A 5. D 6. B7. π 8. π 9.400π
能力提升
10. D 11. D 12. C 13. B 14. B 15.4π
18.相切。
20.π
中考链接
21.4π 22. B 23. A 24. D
巅峰突破
25.4

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