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相似三角形的性质和判定 培优练习
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相似三角形的性质和判定 了解两个三角形相似的概念
会利用相似三角形的性质和判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题 ★
二、核心纲要
1.比例的性质
(1)基本性质:
(2)反比性质:
(3)更比性质:
(4)合比性质:
(5)分比性质:
(6)等比性质:
2.比例线段的相关概念
(1)两条线段的比：两条线段长度的比叫做这两条线段的比.
(2)成比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果线段a与b的比等于c与d的比，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.记作： 或
注：线段的单位要统一.
(3)比例中项:在线段a,b,c中,若 则称b是a、c的比例中项.
(4)黄金分割点：在线段 AB上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和 若 即 ，则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC与AB 的比叫做黄金比. 其中
注：线段的黄金分割点有两个.
3.相似图形：形状相同的图形叫相似图形.
4.相似三角形
(1)相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形.
(2)相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”.
注：经常把表示对应角顶点的字母写在对应位置上.
(3)相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比.
(4)相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等.
②相似三角形的对应边成比例.
③相似三角形的对应高的比等于相似比.
④相似三角形的周长比等于相似比.
⑤相似三角形的面积比等于相似比的平方.
(5)平行线分线段成比例定理
①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如下图所示：
则
②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.
(6)相似三角形的判定定理
①预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.
②相似三角形的判定定理
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.简述为：两个角对应相等，两个三角形相似.
判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.
判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.简述为：三边对应成比例，两个三角形相似.
(7)直角三角形相似
①判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.
②直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似.如下图所示,在 Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD 是斜边AB 上的高.则有如下结论:
即
即
即
5.位似
(1)定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行(或共线)，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.
注：①两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形.
②两个位似图形的位似中心只有一个.
③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧.
④位似比等于相似比.
(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比(相似比).
6.常见的基本相似图形(如下图所示)
(1)“A”字型、反“A”字型(斜“A”字型);(2)“8”字型、反“8”字型(蝴蝶型).
本节重点讲解：两个性质(相似三角形和位似的性质)，两个定义，两类图形，五个定理.
三、全能突破
基础演练
1.已知a:b=2:3,那么下列等式中成立的是( ).
A.3a=2b B.2a=3b
2.如图27-1-1 所示,在△ABC中, ，则下列比例式一定成立的是( ).
3.(1)如图27-1-2所示,P是Rt△ABC的斜边AB 上异于A、B的一点,过 P 点作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线共有( )条.
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)如图 27-1-3 所示,在正方形网格上有 6个三角形①△ABC,②△BCD,③△BDE,④△BFG,⑤△FGH,⑥△EFK,其中②~⑥中与三角形①相似的是( ).
A.②③④ B.③④⑤ C.④⑤⑥ D.②③⑥
4.如图27-1-4所示，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A B C (顶点均在格点上)，若它们是以 P点为位似中心的位似图形，则 P 点的坐标是( ).
A.(-4,-3) B.(-3,-3)
C.(-4,-4) D.(-3,-4)
5.(1)已知 则
(2)若 则k的值为 .
6.如果线段 AB=4cm，点 P 是线段AB 的黄金分割点，那么较长的线段BP= cm.
7.为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计图27-1-5 所示的测量方案.已知测量同学眼睛 A、标杆顶端 F、树的顶端 E 在同一直线上,此同学眼睛距地面1.6m,标杆为3.1m,且 BC=1m,CD=5m,请你根据所给出的数据求树高 ED.
8.如图27-1-6所示,要在高 AD=8,底边 BC=12 的三角形中截出一个矩形PQMN,PN=y,NM=x,
(1)写出y与x之间的函数关系式.
(2)当x为何值时,四边形 PQMN的面积S 最大.
能力提升
9.(1)已知菱形 ABCD的边长是8,点E 在直线AD 上,若DE=3,连接BE 与对角线AC 相交于点M,则 的值是 .
(2)在△ABC中,AB=6,AC=9,点D 在边AB 所在的直线上,且AD=2,过点 D 作DE∥BC交边AC所在直线于点 E，则CE的长为 .
10.如图27-1-7 所示,直角三角形纸片 ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.折叠该纸片使点 B 与点C重合,折痕与 AB、BC的交点分别为D、E.(1) DE 的长为 ;(2) 将折叠后的图形沿直线 AE 剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于 .
11.如图27-1-8 所示,在△ABC中,D为AB 的中点,E为AC 上一点,且 BE、CD相交于点 F，则 的值为 .
12.将三角形纸片 ABC按图 27-1-9 所示的方式折叠,使点 B 落在边 AC 上,记为点 折痕为 EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以点B′、F、C为顶点的三角形与 相似，那么 BF的长度是 .
13.(1)如图 27-1-10 所示,点 A 、A 、A 、A 在射线 OA 上,点 在 射线 OB 上,且 若 的面积分别为1和4，则图中阴影三角形面积之和为 .
(2)如图27-1-11 所示，n+1个边长为2 的等边三角形有一条边在同一直线上，设 的面积为 S ,△B D C 的面积为 S ,…,△B + D C 的面积为S ,则 (用含 n的式子表示).
14.如图27-1-12所示,在正方形ABCD中,AB=1,E、F分别是BC、CD边上点,
(1)若 则图中阴影部分的面积是 .
(2)若 则图中阴影部分的面积是 (用含 n的式子表示，n是正整数).
15.如图27-1-13所示,AD 是 Rt△ABC 中∠A的平分线, AD 的垂直平分线交 AD 于点 E,交 AC 于点 M,延长 EM 与 BC 的延长线交于一点 N.
求证:(1)△AME∽△NDE.
16.如图 27-1-14 所示,四边形 ABEG、GEFH、HFCD都是边长为a 的正方形，
求证:(1)△AEF∽△CEA.
(2)∠AFB+∠ACB=45°.
17.如图 27-1-15 所示,正方形 ABCD的边长为a,BM、DN分别平分正方形的两个外角，且满足. ,连接 MC、NC、MN.
(1)填空:与 相似的三角形是 ，BM DN=_(用含a的代数式表示).
(2)求 的度数.
18.如图27-1-16 所示,正方形 ABCD 和正方形AEFG 有公共顶点 A,点( 分别为两个正方形的对称中心，连接DE、( 它们交于点 H，求 的度数和 的值.
19.已知,在菱形 ABCD中,BD为对角线,P、Q两点分别在AB、BD上,且满足∠PCQ=∠ABD.
(1)如图27-1-17(a)所示,当∠BAD=90°时,求证:
(2)如图27-1-17(b)所示,当∠BAD=120°时,求 的值.
中考链接
20.(浙江宁波)如图27-1-18 所示,等腰) 顶点A、C在x轴上,∠BCA=90°,AC=BC=2 反比例函数 的图像分别与 AB、BC交于点 D、E,连接DE,当△BDE∽△BCA 时,点E 的坐标为 .
21.(山东菏泽改编)如图27-1-19 所示,在△ABC中,BC=6,E、F分别是AB、AC的中点,点 P在射线EF上,BP 交CE 于点D,点 Q在CE 上且BQ 平分∠CBP,设 BP=x,PE=y.当 时，y与x 之间的函数式是 ； 当 (n为不小于2的常数)时，y与x之间的函数关系式是 .
22.(湖北武汉)已知,在△ABC中,
(1)如图27-1-20(a)所示,点 M为AB 的中点,在线段 AC上取点 N,使△AMN 与△ABC 相似,求线段 MN 的长.
(2)如图27-1-20(b)所示，是由 100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形.
①请你在所给的网格中画出格点△A B C 与△ABC全等(画出一个即可，不需证明)；
②试直接写出所给的网格中与△ABC 相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个(不需证明).
巅峰突破
23.如图27-1-21 所示,已知在 ABCD 中,M、N 为 AB 的三等分点,DM、DN 分别交AC 于 P、Q两点,则AP: PQ: QC= .
24.在△ABC中,∠ACB=90°.经过点 B 的直线l(l不与直线 AB 重合)与直线 BC 的夹角等于∠ABC,分别过点 C、点 A 作直线l的垂线,垂足分别为点 D、点 E.
(1)若∠ABC=45°,CD=1(如图 27-1-22所示),则 AE的长为 .
(2)写出线段 AE、CD之间的数量关系，并加以证明.
(3)若直线CE、AB交于点F, 求 BD 的长.
基础演练
1. A 2. B 3.(1)C (2)B 4. A 5.(1) .(2) 或-1.6.2 -2
7.过点 A 作AG⊥DE 于点G,交 CF 于点 H. 由题意可得∵四边形ABCH、ABDG、CDGH都是矩形.
∵AB∥CF∥DE.∴△AHF∽△AGE.∴AU=HE.
由题意可得:AH=BC=1. AG=BD=6.
FH=FC-HC=FC-AB=3.1-1.6=1.5.
∴ED=GE+DG=GE+AB=9+1.6=10.6.
答:树高 ED为 10.6m.
∴当x=4时，S的最大值为24.
能力提升
9.(1) 或 (2)6 或12 10.4.4 11.3 12. 或2
13.(1)10.5
15.(1)连接 NA,如下图所示
∵NE是AD 的垂直平分线,∴∠NED=∠NEA=90°,
∴∠3+∠ADC=90°.
∵∠ACB=90°,∴∠2+∠ADC=90°,∴∠2=∠3.
∴△AME∽△NDE.
(2)∵AD是∠BAC的平分线,∴∠1=∠2.
∵NE是AD 的垂直平分线,∴NA=ND,NE⊥AD,
∴∠3=∠4.∴2∠3=2∠2.
即∠ANC=∠CAB.
∴∠CAN=∠B,∠ANC=∠ANC.
∴△NAC∽△NBA.
即 ND =NC·NB..
16.(1)∵四边形ABEG、GEFH、HFCD是正方形,
∴AB=BE=EF=FC=a,∠ABE=90°
又∵∠CEA=∠AEF,∴△CEA∽△AEF.
(2)∵△CEA∽△AEF,∴∠EAF=∠BCA.
∵四边形ABEG是正方形,∴∠AEB=45°.
∴∠AFB+∠ACB=∠AFB+∠EAF=∠AEB=45°.
∴∠AFB+∠ACB=45°.
17.(1)△NDA. a
(2)由(1)△ABM∽△NDA可得
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DC,DA= BC,∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°.
∵BM. DN分别平分正方形ABCD的两个外角.
∴∠CBM=∠NDC=45°.
∴△BCM∽△DNC. ∴∠BCM=∠DNC.
∴∠MCN=360°—∠BCD—∠BCM-∠DCN=270°—
18.连接O A,O D,O A,O E,如下图所示.
∵点O ，O 分别是正方形的中心。
∴△AO D和△AO E都是等腰直角三角形.
∴△AO O ∽△ADE.
19.(1)如下图所示,连接AC,则∠ACD=∠PCQ=45°.
∴∠ACP=∠DCQ.∵∠QDC=∠PAC=45°.
∴△APC∽△DQC.
∵AP+PB=AB=CD,∴/2DQ+PB=CD.
(2)连接 AC.作 CH⊥AD 于点 H 交 BA 的延长线于点K.
∴∠K=∠CDQ=30°,∠PCK=∠QCD=30°+∠QCK.
∴△PKC∽△QDC.
∴PB+ DQ=PB+PK=BK=2BC=2CD.
中考链接
21. y=-x+6;y=-x+6(n-1)
22.(1)如下图所示,①过点 M作MN∥BC交AC 于点 N,则△AMN∽△ABC.
∵M为AB 中点,∴MN 是△ABC 的中位线.
∵BC=6,∴MN=3.
②过点 M 作 交 AC 于 点 N',则
∵BC=6,AC=4 ,AM= ,
综上所述，线段MN的长为3或 .
(2)①如下图所示:
②每条对角线处可作 4个三角形与原三角形相似.那么共有8个.
巅峰突破
23.5:3:12
24.(1)AE=2.
(2)线段AE、CD之间的数量关系为AE=2CD.
证明：如下图所示，延长AC与直线l交于点G.
依题意,可得∠1=∠2.
∵∠ACB=90°.∴∠3=∠4.∴BA=BG.
∴CA=CG.∵AE⊥l,CD⊥l,∴CD∥AE.
(3)当点 F 在线段AB 上时，如下图所示，
过点 C作CG∥l交AB于点H,交 AE 于点G.
∴∠2=∠HCB.∵∠1=∠2,∴∠1=∠HCB.
∴CH=BH.
∵∠ACB=90°,∴∠3+∠1=∠HCB+∠4 =90°.
∴∠3=∠4.∴CH=AH=BH.∵CG∥l.
∴△FCH∽△FEB.∴EF=CB= .
设CH=5x,BE=6x,则AB=10x.
∴在△AEB中,∠AEB=90°. AE=8x.
由(2)得,AE=2CD.
∵CD=4,∴AE=8.∴x=1.
∴AB=10,BE=6,CH=5.
∵CG∥l,∴△AGH∽△AEB,∴HC=AB= .
∴HG=3.∴CG=CH+HG=8.∵CG∥l,CD∥AE.
∴四边形CDEG为平行四边形.
∴DE=CG=8.∴BD=DE-BE=2.
当点 F 在线段BA 的延长线上时，
如下图所示,同理可得CH=5,GH=3,BE=6.
∴DE=CG=CH-HG=2.∴ BD=DE+BE=8.
∴BD=2或8.

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