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锐角三角函数 培优练习
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锐角三角函数 了解锐角三角函数；知道 30°、45°、60°角的三角函数值 ★
由某个角的一个三角函数值，会求这个角的其余三角函数值；会计算含有 30°、45°、60°角的三角函数式的值 ★★
能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单计算 ★★★
二、核心纲要
1.锐角三角函数的概念
(1)定义:在 中，锐角 A的正弦、余弦和正切统称为锐角 A 的三角函数.
(2)如下图所示，在 中,
①正弦：锐角 A 的对边与斜边的比叫做 的正弦,记作 sinA,即
②余弦：锐角 A的邻边与斜边的比叫做 的余弦,记作 cosA,即
③正切：锐角 A的对边与邻边的比叫做 的正切,记作 tanA,即
注：(1)锐角三角函数没有单位.
(2)锐角三角函数值只与角的大小有关，与直角三角形的大小和位置无关.
(3)sinA是一个整体符号，即表示 的正弦，习惯省去角的符号“∠”，但不能写成 sin·A，三个大写字母表示一个角时，角的符号“∠”不能省略，如：
(4)当 时,
2.特殊角的三角函数(如下表所示)
三角函数 锐角α sina cosα tanα
30°
45° 1
60°
注：特殊角的锐角三角函数值的记忆方法
(1)数形结合记忆法
如下左图、中图所示，由定义可得各角的三角函数值.
(2)增减规律记忆法
①sinα的值随α的增大而增大，依次为：
②cosα的值随α的增大而减小，依次为：
③tanα的值随α的增大而增大，依次为：
3.锐角三角函数之间的关系
如下右图所示,在 Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)互余关系:sinA=cos(90°-∠A)=cosB,cosA=sin(90°-∠A)=sinB.
(2)平方关系:
(3)倒数关系:tanA·tanB=1.
(4)商数关系:
4.通过构造合适的图形，求 15°和75°的三角函数值(如下表所示)
角 度 图 形 三角函数值
15°和 75° sin15°=cos75°= cos15°=sin75°= tan15°=2-,tan75°=2+
5.求三角函数值的常用方法
①根据特殊角的三角函数值求值.
②借助边的数量关系求值.
③借助等角求值.
④根据三角函数关系求值.
本节重点讲解：一个概念，一个特殊值，一个方法.
三、全能突破
基础演练
1.(1)在△ABC中,. 则 BC的长为( ).
C.6 D.
(2)在 Rt△ABC中,∠C=90°,若 BC=1,AB= ,则 tanA 的值为( ).,则
C. D.2
2.如图28-1-1 所示,菱形 ABCD的边长为10cm, 则这个菱形的面积为( )cm .
A. 40 B. 60 C. 80 D.100
3.在平面直角坐标系中,已知点 A(2,1)和点 B(3,0),则 sin∠AOB 的值等于( ).
B. D.
4.如图28-1-2 所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点D,若 则tan∠BCD的值为( ).
A./ B./
5.点 A(sin30°,-tan30°)关于原点对称的点 A 的坐标是 .
6.在△ABC中,若∠A、∠B 满足 则∠C= .
7.计算:
8.如图28-1-3 所示,AB 是⊙O的直径,C 是⊙O上一点,CD⊥AB,垂足为点 D,F 是. 的中点，OF与AC 相交于点.E,AC=8cm,EF=2cm.
(1)求 AO的长.
(2)求 sinC的值.
能力提升
9.已知α为锐角，且 则α的取值范围是( ).
10.直线y=2x与x轴正半轴的夹角为α，那么下列结论正确的是( ).
A.tanα=2 B.cotα=2 C.sinα=2 D.cosα=2
11.如图28-1-4 所示,在四边形 ABCD中,E、F分别是AB、AD 的中点,若EF=2,BC=5,CD=3,则 tanC等于( ).
A. B.
C. D.
12.在 Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B的对边是a、b,且满足 则tanA=( ).
A.1
13.小明在学习“锐角三角函数”中发现，将图28-1-5 所示的矩形纸片 ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在 BC 上的点 E 处，还原后，再沿过点 E 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 F 处，这样就可以求出67.5°角的正切值是( ).
C.2.5 D.
14.(1)如图28-1-6 所示，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点都在图中相应的格点上，则 sin∠A 的值为 .
(2)如图28-1-7 所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上,AB、CD相交于点 P,则tan∠APD的值是 .
15.(1)如图 28-1-8 所示,⊙O是△ABC 的外接圆,AD 是⊙O的直径,若⊙O的半径为 则cosB 的值为 .
(2)如图 28-1-9 所示,已知△ABC 的外接圆⊙O 的半径为1,D、E 分别为 AB、AC 的中点,则sin∠BAC的值等于线段 的长.
16.如图28-1-10所示,在 Rt△ABC中,∠C=90°,AB 的垂直平分线与BC、AB的交点分别为D、E.
(1)若 求 AC的长和tanB的值.
(2)若 AD=1,∠ADC=α,参考(1)的计算过程直接写出: 的值(用 sina和cosα的值表示).
17.已知a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边,关于x的一元二次方程( 有两个相等的实数根，且3c=a+3b.
(1)判断△ABC的形状.
(2)求 sinA·sinB 的算术平方根.
18.当 时，下列关系式中有且仅有一个正确.
(1)正确的选项是 .
(2)如图28-1-11(a)所示,在△ABC中,AC=1,∠B=30°,∠A=α,请利用此图证明(1)中的结论.
(3)两块分别含45°和30°的直角三角板按图 28-1-11(b)所示方式放置在同一平面内，. 求.S△ADC.中考链接
19.(四川乐山改编)如图28-1-12所示,定义:在) 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切,记作 cotα, 即根据上述角的余切定义，解下列问题：
(2)已知 其中∠A 为锐角,试求 cotA的值.
(3)已知第一象限内的点 A 在反比例函数 的图像上，第二象限内的点 B 在反比例函数 的图像上，且 直接写出k的值.
20.(广东湛江改编)阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：
则.
则:
则.
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有：
(1)如图28-1-13 所示，在锐角三角形 ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A 证明你的猜想.
(2)已知:∠A 为锐角(cosA>0),且 求 cosA.
(3)在 Rt△ABC中,∠C=90°,且 sinA、cosA是关于x的方程 的两根，m 为实数，则
巅峰突破
21.在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=15°,BC=1,则 AC=( ).
C.0.3
22.如图28-1-14所示,在等腰直角三角形 ABC中,∠C=90°,D 为 BC 的中点,将△ABC折叠,使 A 点与 D 点重合,若 EF 为折痕,则 sin∠BED 的值为 , 的值为 .
基础演练
1.(1)C (2)C 2. B 3. A4. B 6.60° 7.1
8.(1)∵F 是AC的中点。
又∵OF是半径,∴OF⊥AC,AE=CE.
∵AC=8cm.∴AE=4cm.
在 Rt△AEO中,AE +EO =AO .
又∵EF=2cm,∴4 +(AO-2) =AO ,解得:AO=5,
∴AO=5cm.
(2)∵OE⊥AC.∴∠A+∠AOE=90°.
∵CD⊥AB,∴∠A+∠C=90°,
∴∠AOE=∠C.∴sinC=sin∠AOE.
能力提升
9. D 10. A 11. B 12. B 13. B
14.(1) (2)2 15.(1) (2)DE
16.(1)在1Rt△ACD 中,∠C=90°. AD=10,sin∠ADC= .
∵DE垂直平分AB,∴BD=AD=10.
∴ BC=CD+BD=16.
在 Rt△ABC中.
(写成 也可)
17.(1)将方程整理得:
∵方程有两个相等的实数根，
∴△ABC是直角三角形.
(2)由(1)得. ,又3c=a+3b.∴(3c-3b) +b =c . ∴(4c-5b)(c-b)=0.
在 Rt△ABC 中.
∴sinA·sinB的算术平方根为
18.(1)C
(2)如下图所示,过点 A 作AD⊥BC交BC 的延长线于点D.
∵∠B=30°,∠BAC=α,AC=1,∴∠ACD=α+30°.
∴在△ADC 中,∠ADC= 90°,AD= AC·sin∠ACD=sin(α+30°).
∵在△ABD中,∠B=30°,
∴AB=2AD=2sin(α+30°).
过点C作CE⊥AB于点E.
∴在△CEA中,∠AEC=90°,CE=sinα,AE=cosα.
在△BEC中,
∴AB=AE+BE=cosα+√ sinα.
(3)由上面证明的等式易得 如下图所示，过点 A 作AG⊥CD交CD 的延长线于点G.
∵△ABD和△BCD是两个含45°和30°的直角三角形,BD=8/2,∴∠ADG=75°,AD=8,CD=4/2.
∴在△ADG 中,∠AGD=90°,AG=AD·sin∠ADG=
中考链接
19.(1)
设BC=3k,AC=4k,
(3)-6
20.1;1;1;1. (1)如下图所示,过点 B 作 BD⊥AC,垂足为 D,
在Rt△ABD中.
在 Rt△ABD中,根据勾股定理,得
(2)由(1)可得。
(3)
巅峰突破
21. B

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